江西省上饶市第七中学2022年高三数学理上学期期末试卷含解析

江西省上饶市第七中学2022年高三数学理上学期期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 设f(x)是定义域为R的偶函数，且对任意实数x，恒有f(x＋1)＝－f(x)，已知时，，则函数在（1，2）上               （     ） A．是增函数，且 B．是增函数，且 C．是减函数，且 D．是减函数，且 参考答案： D 略 2. 函数f（x）=1+log2x与g（x）=2x+1在同一直角坐标系下的图象大致是(   )    参考答案： C 3. 已知等差数列{an},{{bn}}的前n项和分别为Sn，Tn，若对于任意的自然数n，都有，则 A．               B．              C．               D． 参考答案： A 4. 下列命题中，错误的是(  ) （A） 一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个平面相交 （B）平行于同一平面的两个不同平面平行 （C）若直线不平行平面，则在平面内不存在与平行的直线 （D） 如果平面不垂直平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面 参考答案： C 5. 函数f(2x+1)的图象可由f(2x-1)的图象经过怎样的变换得到                                                                                                                                  (   ） A．向左平移2个单位 B．向右平移2个单位 C．向左平移1个单位 D．向右平移1个单位 参考答案： C 6. 已知，则函数的各极大值之和为 A.    B.      C.       D. 参考答案： A【知识点】利用导数研究函数的极值B12    ∵函数f（x）=ex（sinx﹣cosx）， ∴f′（x）=[ex（sinx﹣cosx）]′=ex（sinx﹣cosx）+ex（cosx+sinx）=2exsinx； 令f′（x）=0，解得x=kπ（k∈Z）； ∴当2kπ＜x＜2kπ+π时，f′（x）＞0，原函数单调递增， 当2kπ+π＜x＜2kπ+2π时，f′（x）＜0，原函数单调递减； ∴当x=2kπ+π时，函数f（x）取得极大值， 此时f（2kπ+π）=e2kπ+π[sin（2kπ+π）﹣cos（2kπ+π）]=e2kπ+π； 又∵0≤x≤2015π，∴0和2015π都不是极值点， ∴函数f（x）的各极大值之和为： eπ+e3π+e5π+…+e2011π+e2013π==． 故选：A． 【思路点拨】求出函数的函数，利用导函数判断函数的单调区间与极大值点，从而求出极大值；再利用等比数列的求和公式求出函数f（x）的各极大值之和. 7. 如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别是DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四面体中：①DE与MN平行；②BD与MN为异面直线；③GH与MN成60°角；④DE与MN垂直.以上四个命题中，正确命题的个数是（    ） A． 1        B．  2     C.  3       D．4 参考答案： C 分析：正四面体的平面展开图复原为正四面体A（B、C）﹣DEF， ①，依题意，MN∥AF，而DE与AF异面，从而可判断DE与MN不平行； ②，假设BD与MN共面，可得A、D、E、F四点共面，导出矛盾，从而可否定假设，肯定BD与MN为异面直线； ③，依题意知，GH∥AD，MN∥AF，∠DAF=60°，于是可判断GH与MN成60°角； ④，连接GF，那么A点在平面DEF的射影肯定在GF上，通过线面垂直得到线线垂直． 详解：将正四面体的平面展开图复原为正四面体A（B、C）﹣DEF，如图： 对于①，M、N分别为EF、AE的中点，则MN∥AF，而DE与AF异面，故DE与MN不平行，故①错误； 对于②，BD与MN为异面直线，正确（假设BD与MN共面，则A、D、E、F四点共面，与ADEF为正四面体矛盾，故假设不成立，故BD与MN异面）； 对于③，依题意，GH∥AD，MN∥AF，∠DAF=60°，故GH与MN成60°角，故③正确； 对于④，连接GF，A点在平面DEF的射影A1在GF上，∴DE⊥平面AGF，DE⊥AF， 而AF∥MN，∴DE与MN垂直，故④正确． 综上所述，正确命题的序号是②③④， 故答案为：②③④．   8. 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，其最小正周期为3，且x∈时，f(x)＝log(1－x)，则f(2010)＋f(2011)＝(　　) A．1                                B．2 C．－1                              D．－2 参考答案： A 9. 椭圆的左焦点为F，直线x=a与椭圆相交于点M，N，当△FMN的周长最大时，△FMN的面积是（   ） A. B. C. D. 参考答案： C 10. 若函数的图象 如图所示，则等于（    ） A． B. C． D．   参考答案： B 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知直线与圆相切，则的值为________. 参考答案： 12.            . 参考答案： 试题分析：,所以正确答案为. 考点：微积分基本定理. 13. 由曲线，直线及轴所围成的图形的面积为_______． 参考答案： 试题分析：曲线y=，直线y=x-2及y轴所围成的图形如图所示，故：=. 考点：定积分的计算 14. 在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB=2，BC=1，∠ABC=60°，点E和F分别在线段BC和DC上，且=， =，则?的值为　　． 参考答案： 【考点】平面向量数量积的运算． 【分析】根据向量数量积的公式和应用，进行运算求解即可． 【解答】解：∵AB=2，BC=1，∠ABC=60°， ∴BG==，CD=2﹣1=1，∠BCD=120°， ∵=， =， ∴?=（+）?（+）=（+）?（+） =?+?+?+? =2×1×cos60°+×2×1×cos0°+×1×1×cos60°+××1×1×cos120° =1+=， 故答案为： 15. “”是 “”的            ．（填“充分不必要条件”“ 必要不充分条件”“ 充要条件”“ 既不充分也不必要条件”） 参考答案： 充分不必要条件 16. 将的图像向右平移2个单位后得曲线，将函数的图像向下平移2个单位后得曲线，与关于轴对称．若的最小值为且，则实数的取值范围为         ． 参考答案： 17. 三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人只选择一个项目，则有且仅有两位同学选择的项目相同的概率是       （结果用最简分数表示） 参考答案： . 三位同学从三个项目选其中两个项目有中，若有且仅有两人选择的项目完成相同，则有，所以有且仅有两人选择的项目完成相同的概率为。 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠BCD=135°，侧面PAB⊥底面ABCD，∠BAP=90°，AB=AC=PA=6，E，F分别为BC，AD的中点，点M在线段PD上． （Ⅰ）求证：EF⊥平面PAC； （Ⅱ）若M为PD的中点，求证：ME∥平面PAB； （Ⅲ）当时，求四棱锥M﹣ECDF的体积． 参考答案： 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定． 【专题】计算题；数形结合；转化思想；综合法；空间位置关系与距离． 【分析】（Ⅰ）证明AB⊥AC．得到EF⊥AC．证明PA⊥底面ABCD，可得PA⊥EF．然后证明EF⊥平面PAC． （Ⅱ）证明MF∥PA，即可证明MF∥平面PAB，同理EF∥平面PAB．然后证明平面MEF∥平面PAB，得到ME∥平面PAB． （Ⅲ）证明MN⊥底面ABCD，然后求解四棱锥M﹣ECDF的体积． 【解答】（本小题满分14分） （Ⅰ）证明：在平行四边形ABCD中，因为AB=AC，∠BCD=135°， ∴∠ABC=45°， 所以AB⊥AC． 由E，F分别为BC，AD的中点，得EF∥AB， 所以EF⊥AC．…（1分） 因为侧面PAB⊥底面ABCD，且∠BAP=90°， 所以PA⊥底面ABCD．…（2分） 又因为EF?底面ABCD， 所以PA⊥EF．…（3分） 又因为PA∩AC=A，PA?平面PAC，AC?平面PAC， 所以EF⊥平面PAC．…（5分） （Ⅱ）证明：因为M为PD的中点，F分别为AD的中点， 所以MF∥PA， 又因为MF?平面PAB，PA?平面PAB， 所以MF∥平面PAB．…（7分） 同理，得EF∥平面PAB． 又因为MF∩EF=F，MF?平面MEF，EF?平面MEF， 所以平面MEF∥平面PAB．…（9分） 又因为ME?平面MEF， 所以ME∥平面PAB．…（10分） （Ⅲ）解：在△PAD中，过M作MN∥PA交AD于点N（图略）， 由，得， 又因为PA=6， 所以MN=4，…（12分） 因为PA⊥底面ABCD， 所以MN⊥底面ABCD， 所以四棱锥M﹣ECDF的体积．…（14分） 【点评】本题考查直线与平面垂直与平行的判定定理以及性质定理的应用，平面与平面平行的判定定理的应用，几何体的体积的求法，考查转化思想以及计算能力． 19. （12分）数列{an}的前n项和Sn满足Sn=2an﹣a1，且a1，a2+1，a3成等差数列． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）设bn=，求数列{bn}的前n项和Tn． 参考答案： 【考点】数列的求和． 【分析】（I）由Sn=2an﹣a1，利用递推可得：an=2an﹣1．由a1，a2+1，a3成等差数列，2（a2+1）=a1+a3，代入解出即可． （II）an+1=2n+1，可得Sn，bn=，利用“裂项求和”即可得出． 【解答】解：（I）由Sn=2an﹣a1， 当n≥2时，Sn﹣1=2an﹣1﹣a1， ∴an=2an﹣2an﹣1， 化为an=2an﹣1． 由a1，a2+1，a3成等差数列． ∴2（a2+1）=a1+a3， ∴2（2a1+1）=a1+4a1， 解得a1=2． ∴数列{an}是等比数列，首项为2，公比为2． ∴an=2n． （II）an+1=2n+1，Sn==2n+1﹣2，Sn+1=2n+2﹣2． bn===． ∴数列{bn}的前n项和Tn=++…+ =． 【点评】本题考查了递推关系的应用、“累加求和”方法、等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 　 20. (本小题满分14分)已知椭圆C：（a>b>0），过点(0，1)，且离心率为． (I)求椭圆C的方程； (II)A，B为椭圆C的左右顶点，直线l：x=2与x轴交于点D，点P是椭圆C上异于A，B的动点，直线AP，BP分别交直线l于E，F两点．证明：当点P在椭圆C上运动时，恒为定值． 参考答案： （Ⅰ）由题意可知，b=1， 又因为，且a2=b2+c2，解得a=2 所以椭圆的方程为………………………………………………4 （Ⅱ）由题意可得：A（﹣2，0），B（2，0）． 设P（x0，y0），由题意可得：﹣2＜x0＜2， 所以直线AP的方程为…………………………………6 令，则，即……………………8 同理