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江西省上饶市第七中学2022年高三数学理上学期期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 设f(x)是定义域为R的偶函数,且对任意实数x,恒有f(x+1)=-f(x),已知时,,则函数在(1,2)上 ( )
A.是增函数,且 B.是增函数,且
C.是减函数,且 D.是减函数,且
参考答案:
D
略
2. 函数f(x)=1+log2x与g(x)=2x+1在同一直角坐标系下的图象大致是( )
参考答案:
C
3. 已知等差数列{an},{{bn}}的前n项和分别为Sn,Tn,若对于任意的自然数n,都有,则
A. B. C. D.
参考答案:
A
4. 下列命题中,错误的是( )
(A) 一条直线与两个平行平面中的一个相交,则必与另一个平面相交
(B)平行于同一平面的两个不同平面平行
(C)若直线不平行平面,则在平面内不存在与平行的直线
(D) 如果平面不垂直平面,那么平面内一定不存在直线垂直于平面
参考答案:
C
5. 函数f(2x+1)的图象可由f(2x-1)的图象经过怎样的变换得到 ( )
A.向左平移2个单位
B.向右平移2个单位
C.向左平移1个单位
D.向右平移1个单位
参考答案:
C
6. 已知,则函数的各极大值之和为
A. B. C. D.
参考答案:
A【知识点】利用导数研究函数的极值B12
∵函数f(x)=ex(sinx﹣cosx),
∴f′(x)=[ex(sinx﹣cosx)]′=ex(sinx﹣cosx)+ex(cosx+sinx)=2exsinx;
令f′(x)=0,解得x=kπ(k∈Z);
∴当2kπ<x<2kπ+π时,f′(x)>0,原函数单调递增,
当2kπ+π<x<2kπ+2π时,f′(x)<0,原函数单调递减;
∴当x=2kπ+π时,函数f(x)取得极大值,
此时f(2kπ+π)=e2kπ+π[sin(2kπ+π)﹣cos(2kπ+π)]=e2kπ+π;
又∵0≤x≤2015π,∴0和2015π都不是极值点,
∴函数f(x)的各极大值之和为:
eπ+e3π+e5π+…+e2011π+e2013π==.
故选:A.
【思路点拨】求出函数的函数,利用导函数判断函数的单调区间与极大值点,从而求出极大值;再利用等比数列的求和公式求出函数f(x)的各极大值之和.
7. 如图是正四面体的平面展开图,G,H,M,N分别是DE,BE,EF,EC的中点,在这个正四面体中:①DE与MN平行;②BD与MN为异面直线;③GH与MN成60°角;④DE与MN垂直.以上四个命题中,正确命题的个数是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D.4
参考答案:
C
分析:正四面体的平面展开图复原为正四面体A(B、C)﹣DEF,
①,依题意,MN∥AF,而DE与AF异面,从而可判断DE与MN不平行;
②,假设BD与MN共面,可得A、D、E、F四点共面,导出矛盾,从而可否定假设,肯定BD与MN为异面直线;
③,依题意知,GH∥AD,MN∥AF,∠DAF=60°,于是可判断GH与MN成60°角;
④,连接GF,那么A点在平面DEF的射影肯定在GF上,通过线面垂直得到线线垂直.
详解:将正四面体的平面展开图复原为正四面体A(B、C)﹣DEF,如图:
对于①,M、N分别为EF、AE的中点,则MN∥AF,而DE与AF异面,故DE与MN不平行,故①错误;
对于②,BD与MN为异面直线,正确(假设BD与MN共面,则A、D、E、F四点共面,与ADEF为正四面体矛盾,故假设不成立,故BD与MN异面);
对于③,依题意,GH∥AD,MN∥AF,∠DAF=60°,故GH与MN成60°角,故③正确;
对于④,连接GF,A点在平面DEF的射影A1在GF上,∴DE⊥平面AGF,DE⊥AF,
而AF∥MN,∴DE与MN垂直,故④正确.
综上所述,正确命题的序号是②③④,
故答案为:②③④.
8. 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,其最小正周期为3,且x∈时,f(x)=log(1-x),则f(2010)+f(2011)=( )
A.1 B.2
C.-1 D.-2
参考答案:
A
9. 椭圆的左焦点为F,直线x=a与椭圆相交于点M,N,当△FMN的周长最大时,△FMN的面积是( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
10. 若函数的图象
如图所示,则等于( )
A.
B.
C.
D.
参考答案:
B
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知直线与圆相切,则的值为________.
参考答案:
12. .
参考答案:
试题分析:,所以正确答案为.
考点:微积分基本定理.
13. 由曲线,直线及轴所围成的图形的面积为_______.
参考答案:
试题分析:曲线y=,直线y=x-2及y轴所围成的图形如图所示,故:=.
考点:定积分的计算
14. 在等腰梯形ABCD中,已知AB∥DC,AB=2,BC=1,∠ABC=60°,点E和F分别在线段BC和DC上,且=, =,则?的值为 .
参考答案:
【考点】平面向量数量积的运算.
【分析】根据向量数量积的公式和应用,进行运算求解即可.
【解答】解:∵AB=2,BC=1,∠ABC=60°,
∴BG==,CD=2﹣1=1,∠BCD=120°,
∵=, =,
∴?=(+)?(+)=(+)?(+)
=?+?+?+?
=2×1×cos60°+×2×1×cos0°+×1×1×cos60°+××1×1×cos120°
=1+=,
故答案为:
15. “”是 “”的 .(填“充分不必要条件”“ 必要不充分条件”“ 充要条件”“ 既不充分也不必要条件”)
参考答案:
充分不必要条件
16. 将的图像向右平移2个单位后得曲线,将函数的图像向下平移2个单位后得曲线,与关于轴对称.若的最小值为且,则实数的取值范围为 .
参考答案:
17. 三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛,若每人只选择一个项目,则有且仅有两位同学选择的项目相同的概率是 (结果用最简分数表示)
参考答案:
.
三位同学从三个项目选其中两个项目有中,若有且仅有两人选择的项目完成相同,则有,所以有且仅有两人选择的项目完成相同的概率为。
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是平行四边形,∠BCD=135°,侧面PAB⊥底面ABCD,∠BAP=90°,AB=AC=PA=6,E,F分别为BC,AD的中点,点M在线段PD上.
(Ⅰ)求证:EF⊥平面PAC;
(Ⅱ)若M为PD的中点,求证:ME∥平面PAB;
(Ⅲ)当时,求四棱锥M﹣ECDF的体积.
参考答案:
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面平行的判定;直线与平面垂直的判定.
【专题】计算题;数形结合;转化思想;综合法;空间位置关系与距离.
【分析】(Ⅰ)证明AB⊥AC.得到EF⊥AC.证明PA⊥底面ABCD,可得PA⊥EF.然后证明EF⊥平面PAC.
(Ⅱ)证明MF∥PA,即可证明MF∥平面PAB,同理EF∥平面PAB.然后证明平面MEF∥平面PAB,得到ME∥平面PAB.
(Ⅲ)证明MN⊥底面ABCD,然后求解四棱锥M﹣ECDF的体积.
【解答】(本小题满分14分)
(Ⅰ)证明:在平行四边形ABCD中,因为AB=AC,∠BCD=135°,
∴∠ABC=45°,
所以AB⊥AC.
由E,F分别为BC,AD的中点,得EF∥AB,
所以EF⊥AC.…(1分)
因为侧面PAB⊥底面ABCD,且∠BAP=90°,
所以PA⊥底面ABCD.…(2分)
又因为EF?底面ABCD,
所以PA⊥EF.…(3分)
又因为PA∩AC=A,PA?平面PAC,AC?平面PAC,
所以EF⊥平面PAC.…(5分)
(Ⅱ)证明:因为M为PD的中点,F分别为AD的中点,
所以MF∥PA,
又因为MF?平面PAB,PA?平面PAB,
所以MF∥平面PAB.…(7分)
同理,得EF∥平面PAB.
又因为MF∩EF=F,MF?平面MEF,EF?平面MEF,
所以平面MEF∥平面PAB.…(9分)
又因为ME?平面MEF,
所以ME∥平面PAB.…(10分)
(Ⅲ)解:在△PAD中,过M作MN∥PA交AD于点N(图略),
由,得,
又因为PA=6,
所以MN=4,…(12分)
因为PA⊥底面ABCD,
所以MN⊥底面ABCD,
所以四棱锥M﹣ECDF的体积.…(14分)
【点评】本题考查直线与平面垂直与平行的判定定理以及性质定理的应用,平面与平面平行的判定定理的应用,几何体的体积的求法,考查转化思想以及计算能力.
19. (12分)数列{an}的前n项和Sn满足Sn=2an﹣a1,且a1,a2+1,a3成等差数列.
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)设bn=,求数列{bn}的前n项和Tn.
参考答案:
【考点】数列的求和.
【分析】(I)由Sn=2an﹣a1,利用递推可得:an=2an﹣1.由a1,a2+1,a3成等差数列,2(a2+1)=a1+a3,代入解出即可.
(II)an+1=2n+1,可得Sn,bn=,利用“裂项求和”即可得出.
【解答】解:(I)由Sn=2an﹣a1,
当n≥2时,Sn﹣1=2an﹣1﹣a1,
∴an=2an﹣2an﹣1,
化为an=2an﹣1.
由a1,a2+1,a3成等差数列.
∴2(a2+1)=a1+a3,
∴2(2a1+1)=a1+4a1,
解得a1=2.
∴数列{an}是等比数列,首项为2,公比为2.
∴an=2n.
(II)an+1=2n+1,Sn==2n+1﹣2,Sn+1=2n+2﹣2.
bn===.
∴数列{bn}的前n项和Tn=++…+
=.
【点评】本题考查了递推关系的应用、“累加求和”方法、等差数列的通项公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
20. (本小题满分14分)已知椭圆C:(a>b>0),过点(0,1),且离心率为.
(I)求椭圆C的方程;
(II)A,B为椭圆C的左右顶点,直线l:x=2与x轴交于点D,点P是椭圆C上异于A,B的动点,直线AP,BP分别交直线l于E,F两点.证明:当点P在椭圆C上运动时,恒为定值.
参考答案:
(Ⅰ)由题意可知,b=1,
又因为,且a2=b2+c2,解得a=2
所以椭圆的方程为………………………………………………4
(Ⅱ)由题意可得:A(﹣2,0),B(2,0).
设P(x0,y0),由题意可得:﹣2<x0<2,
所以直线AP的方程为…………………………………6
令,则,即……………………8
同理
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