江苏省盐城市第二中学高三数学理联考试卷含解析

江苏省盐城市第二中学高三数学理联考试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知满足时, 的最大值为2,则直线过定点（    ） A．(3,1)         B． (－1,3)       C. (1,3)        D．(－3,1) 参考答案： A 由，得，画出可行域，如图所示，数学结合可知在点处取得最大值，，即： ，直线过定点.   2. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（    ） A. B. C. D. 参考答案： A 略 3. 已知命题p：，使；命题q：，都有． 给出下列命题：（1）命题“”是真命题；（2）命题“”是假命题； （3）命题“”是真命题；（4）命题“”是假命题．其中正确的是（   ） A.(2)(3)       B.(2)(4)        C.(3)(4)        D.(1)(4) 参考答案： A 略 4. 已知P,Q为抛物线x2=2y上两点，点P,Q的横坐标分别为4，2，过P,Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为(　　) A． 1             B． 3            C．4          D．8 参考答案： C 5. 已知幂函数f（x）=xa的图象经过点（2，4），则下列判断中不正确的是（　　） A．函数图象经过点（﹣1，1） B．当x∈[﹣1，2]时，函数f（x）的值域是[0，4] C．函数满足f（x）+f（﹣x）=0 D．函数f（x）的单调减区间为（﹣∞，0] 参考答案： C 【考点】幂函数的性质． 【分析】由幂函数y=xa的图象经过点（8，4），求得幂函数的解析式，再由所得的解析式求出函数的值域、单调性等性质，得到答案． 【解答】解：∵幂函数y=xa的图象经过点（2，4）， ∴4=2a，即22=2a 解得a=2 故函数的解析式为y=x2， 故函数图象经过点（﹣1，1）；A正确； 当x∈[﹣1，2]时，函数f（x）的值域是[0，4]；正确； 由于f（﹣x）=（﹣x）2=x2，函数不满足f（x）+f（﹣x）=0；C错； 函数f（x）的单调减区间为（﹣∞，0]；正确 故选C． 6. 若向量，，则 A.             B.          C.          D. 参考答案： A . 7. 将7个人（含甲、乙）分成三个组，一组3人，另两组各2人，不同的分组数为，甲、乙分到同一组的概率为，则的值分别为(    ) A． ,                     B． , C． ,                    D． , 参考答案： A 略 8. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，抛物线的顶点在原点，它的准线与双曲线的左准线重合，若双曲线与抛物线的交点满足，则双曲线的离心率为                A．                  B．                           C．                     D． 参考答案： 答案：B 9. 已知全集U=R，则正确表示集合M={ xR｜0≤x≤2}和集合N={ xR｜x2-x=0}关系的韦恩（Venn）图是（    ）    参考答案： B 10. 等差数列的值是（     ）     A．14             B．15             C．16             D．17 参考答案： C 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 若，且，则的值为          ． 参考答案： 1 函数是奇函数，则， 即：， 从而有：， 令可得：, 令可得：, 原式：. 12. 已知等差数列{an}中，a3=，则cos（a1+a2+a6）=　　． 参考答案： ﹣1 【考点】等差数列的通项公式．  【专题】计算题；函数思想；数学模型法；等差数列与等比数列． 【分析】由已知结合等差数列的通项公式求得a1+a2+a6，则cos（a1+a2+a6）可求． 【解答】解：∵数列{an}为等差数列，且a3=，∴a1+a2+a6=， ∴cos（a1+a2+a6）=cosπ=﹣1． 故答案为：﹣1． 【点评】本题考查等差数列的通项公式，考查了三角函数的求值，是基础的计算题． 13. 等差数列{an}的前10项和为30，则a1+a4+a7+a10=　12　． 参考答案： 考点： 等差数列的前n项和． 专题： 等差数列与等比数列． 分析： 利用等差数列的前n项和公式即可得到a1+a10=6．由等差数列的性质可得a1+a10=a4+a7，进而可得答案． 解答： 解：∵等差数列{an}的前10项和为30，∴，解得a1+a10=6． 由等差数列的性质可得a1+a10=a4+a7， ∴a1+a4+a7+a10=2（a1+a10）=2×6=12． ∴a1+a4+a7+a10=12． 故答案为12． 点评： 熟练掌握等差数列的前n项和公式、等差数列的性质是解题的关键． 14. 若行列式中元素4的代数余子式的值为，则实数x的取值集合为　　． 参考答案： 【考点】OY：三阶矩阵． 【分析】求得元素4的代数余子式，展开，利用二倍角公式，及特殊角的三角函数值，即可求得实数x的取值集合． 【解答】解：行列式中元素4的代数余子式A13==， 则cos2﹣sin2=，则cosx=， 解得：x=2kπ±，k∈Z， 实数x的取值集合， 故答案为：． 【点评】本题考查行列式的代数余子式求法，行列式的展开，二倍角公式，特殊角的三角形函数值，考查计算能力，属于中档题． 15. 在的二项展开式中,的系数是_______________. 参考答案： -20 16. 有一个奇数组成的数阵排列如下：        则第30行从左到右第3个数是   ． 参考答案： 略 17. 在等比数列中，，，令，则取最大值时，的所有可能的取值应该是        。 参考答案： 3和5 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知等比数列数列{an}的前n项和为Sn，公比q＞0，S2=2a2﹣2，S3=a4﹣2． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）令，Tn为数列{cn}的前n项和，求T2n． 参考答案： 考点： 数列的求和；数列递推式． 专题： 等差数列与等比数列． 分析： （I）利用等比数列的通项公式即可得出． （II）由（I）可得：cn=．可得T2n=（c1+c3+…+c2n﹣1）+（c2+c4+…+c2n），对奇数项与偶数项分别利用“裂项求和”、“错位相减法”即可得出． 解答： 解：（I）∵S2=2a2﹣2，S3=a4﹣2． ∴S3﹣S2=a4﹣2a2=a3， ∴，a2≠0，化为q2﹣q﹣2=0，q＞0，解得q=2， 又a1+a2=2a2﹣2， ∴a2﹣a1﹣2=0，∴2a1﹣a1﹣2=0，解得a1=2， ∴． （II）由（I）可得：cn=． ∴T2n=（c1+c3+…+c2n﹣1）+（c2+c4+…+c2n）， 记M=（c2+c4+…+c2n） =+…+ =+…+， 则=+…+， ∴=+…+﹣=﹣=， ∴M=﹣． ∴T2n=+M =+M =+﹣． 点评： 本题考查了“错位相减法”、等比数列的通项公式及其前n项和公式、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 19. 如图，在四棱柱中，底面是矩形，且，，．若为的中点，且． （1）求证：平面； （2）线段上是否存在一点，使得二面角为？若存在，求出的长；不存在，说明理由．   参考答案： （1）证明略；（2）存在这样的点，使二面角为. 试题分析：（1）解决立体几何的有关问题，空间想象能力是非常重要的，但新旧知识的迁移融合也很重要，在平面几何的基础上，把某些空间问题转化为平面问题来解决，有时很方便；（2）证明线面垂直的方法：一是线面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性质定理；三是平行线法（若两条平行线中的一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面.解题时，注意线线、线面与面面关系的相互转化；（3）利用已知的线面垂直关系建立空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算.其中灵活建系是解题的关键，空间向量将空间位置关系转化为向量运算，应用的核心是要充分认识形体特征，建立恰当的坐标系，实施几何问题代数化.同时注意两点：一是正确写出点、向量的坐标，准确运算；二是空间位置关系中判定定理与性质定理条件要完备. 试题解析：（1）证明：∵，且，， ∴，…………………………………………2分 ∴ ∴.…………………………………………3分 又，且， ∴平面．…………………………………………5分 （2）解：过作，以为原点，建立空间直角坐标系（如图）， 则，，……………………………6分 设，平面的法向量为=， ∵，， 且 取，得=．……………………………8分 又平面,且平面, ∴平面平面. 又,且平面平面 ∴平面. 不妨设平面的法向量为=．………………………10分 由题意得，……………………12分 解得或（舍去）． ∴当的长为时，二面角的值为．………………………13分 考点：1、直线与平面垂直的判定；2、立体几何的探究性问题. 20. 已知在△ABC中，a，b，c是角A，B，C的对边，向量与向量共线． （1）求角C的值； （2）若，求的最小值． 参考答案： 【考点】平面向量数量积的运算． 【分析】（1）利用两个向量的数量积公式，两个向量共线的性质，正弦定理、余弦定理，求得cosC的值，可得C的值． （2）利用两个向量的数量积的定义求得||||的值，利用以及基本不等式，求得的最小值． 【解答】解：（1）向量与向量共线． ∴（a﹣b）?sin（A+C）=（a﹣c）（sinA+sinC），由正弦定理可得（a﹣b）?b=（a﹣c）（a+c）， ∴c2=a2+b2﹣ab，∴，∵0＜C＜π，∴． （2）∵，∴，∴，∴，∵， ∴，∴，（当且仅当时，取“=”）， ∴的最小值为． 21. （本小题满分15分）已知椭圆经过点（0，1），离心率。 （1）求椭圆C的方程； （2）设直线与椭圆C交于A、B两点，点A关于x轴的对称点为。 ①求的面积的最大值（为坐标原点）； ②“当m变化时，直线与x轴交于一个定点”。你认为此推断是否正确？若正确，请写出定点坐标，并证明你的结论；若不正确，请说明理由． 参考答案： （1） （2）①设 由得 令，则且， 易知当时有最小值 ② 令则为定值。 略 22. （12分）如图，在四棱锥中P﹣ABCD，底面ABCD为边长为的正方形，PA⊥BD． （1）求证：PB=PD； （2）若E，F分别为PC，AB的中点，EF⊥平面PCD，求直线PB与平面PCD所成角的大小． 参考答案： 【分析】（1）连接AC，BD交于点O，连结PO，则AC⊥BD，结合PA⊥BD得出BD⊥平面PAC，故而BD⊥PO，又O为BD的中点，得出OP为BD的中垂线，得出结论； （2）设PD的中点为Q，连接AQ，EQ，证明四边形AQEF是平行四边形，于是AQ⊥平面PCD，通过证明CD⊥平面PAD得出CD⊥PA，结合PA⊥BD得出PA⊥平面ABCD，以A为原点建立空间直角坐标系，则直线PB与平面PCD所成角的正弦值等于|cos＜＞|，从而得出线面角的大小． 【解答】解：（1）连接AC，BD交于点O，连结PO． ∵底