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江苏省扬州市吴江高级中学2022-2023学年高三数学理月考试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 在等腰三角形ABC中,AB=AC,D在线段AC,AD=kAC(k为常数,且0<k<1),BD=l为定长,则△ABC的面积最大值为( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
考点: 正弦定理.
专题: 解三角形.
分析: 判断出AB=AC,以B为原点、BD为x轴建立平面直角坐标系,设A(x,y),y>0,根据题意得到AD=kAC,利用两点间的距离公式列出关系式,化简后表示出y2,利用二次函数的性质求出y的最大值,求出△ABD面积的最大值,由AD=kAC得出△ABC面积的最大值.
解答: 解:由题意得AB=AC,
如图所示,以B为原点,BD为x轴建立平面直角坐标系,设A(x,y),y>0,
∵AB=AC,BD=l,∴D(l,0),
由AD=kAC=kAB得,AD2=k2AB2,
∴(x﹣l)2+y2=k2(x2+y2),
整理得:y2=,
当x=﹣=时,
y2=取到最大值是:,
∴y的最大值是,
∵BD=l,∴(S△ABD)max==,
∵AD=kAC,∴(S△ABC)max=(S△ABD)max=,
所以△ABC的面积最大值为,
故选:C.
点评: 本题考查坐标法解决平面几何问题,两点间的距离公式,及二次函数的性质,建立适当的坐标系是解本题的关键.
2. 将周期为π的函数f(x)=2sin(ωx+),(ω>0)的图象向右平移φ个单位,所得图象关于y轴对称,则φ的最小正值是( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
【考点】HJ:函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.
【分析】利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,三角函数的图象的对称性,得出结论.
【解答】解:∵函数f(x)=2sin(ωx+)的周期为π,∴ =π,∴ω=2.
把f(x)=2sin(2x+)的图象向右平移φ个单位,可得y=2sin(2x﹣2φ+)的图象.
根据所得图象关于y轴对称,可得﹣2φ+=kπ+,k∈Z,则φ的最小正值为,
故选:A.
【点评】本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,三角函数的图象的对称性,属于基础题.
3.
设直线与圆的交点为,当取最小值的时候,实数的值为 ( )
A. B. C. D.1
参考答案:
答案:B
4. 若函数的反函数= ( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
略
5. 设椭圆的一个焦点为,且,则椭圆的标准方程为 ( )
参考答案:
A
略
6. 下列函数是奇函数的是( )
A.f(x)=﹣|x| B.f(x)=lg(1+x)﹣lg(1﹣x)
C.f(x)=2x+2﹣x D.f(x)=x3﹣1
参考答案:
B
考点:函数奇偶性的判断.
专题:函数的性质及应用.
分析:先看定义域是否关于原点对称,再看f(﹣x)与f(x)的关系,从而根据奇函数、偶函数的定义作出判断.
解答: 解:对于函数f(x)=﹣|x|,由于f(﹣x)=﹣|﹣x|=﹣|x|=f(x),故函数f(x)为偶函数.
对于f(x)=lg(1+x)﹣lg(1﹣x),它的定义域为(﹣1,1),
且满足f(﹣x)=lg(1﹣x)﹣lg(1+x)=﹣f(x),故函数f(x)为奇函数.
对于函数f(x)=2x+2﹣x,由于f(﹣x)=2x+2﹣x=f(x),故函数f(x)为偶函数.
对于函数f(x)=x3﹣1,由于f(﹣x)=﹣x3﹣1≠﹣f(x),故不是奇函数,
故选:B.
点评:本题主要考查函数的奇偶性的判断方法,先看定义域是否关于原点对称,再看f(﹣x)与f(x)的关系,属于中档题.
7. 已知集合,,则A∩B为( )
A. [0,1) B.(0,1) C. [0,1] D.(-1,0]
参考答案:
A
8. 某几何体的三视图如图所示,则此几何体的体积是( )
A. B.4 C. D.
参考答案:
C
【考点】由三视图求面积、体积.
【分析】由已知中的三视图,可得该几何体是由三棱柱截得的,代入体积公式,可得答案.
【解答】解:由已知中的三视图,可得该几何体是由三棱柱截得的,如图所示,
故体积V==,
故选:C.
9. 在正三棱锥A一BCD中,E,F分别是AB,BC的中点,EF⊥DE,且BC=1,则正三棱锥A一BCD的体积等于 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
10. 已知i为虚数单位,若=y+2i,x,y∈R,则复数x+yi=
A. 2+i B.-2-i C.l-2i D.1+2i
参考答案:
B
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 设实数满足线性约束条件,则目标函数的最大值为_________
参考答案:
6
略
12. 数列{an}通项为an=ncos(+)(n∈N*),Sn为其前n项的和,则S2012= .
参考答案:
503(1+)
略
13. 在计算“”时,某同学学到了如下一种方法:先改写第项:,
由此得,两边分别相加,
得类比上述方法,请你计算“”,其结果是 。
参考答案:
14. 若各项均为正数的等比数列满足,则公比 .
参考答案:
15. 已知等差数列的前项和为,若,则 .
参考答案:
答案:7
解析:由题意得
16. 存在区间(),使得,
则称区间为函数的一个“稳定区间”.给出下列4 个函数:
①;②;③ ; ④
其中存在“稳定区间”的函数有__ _ .(把所有正确的序号都填上)
参考答案:
②③
略
17. 若正数满足,则的最大值为 。
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,底面四边形ABCD是菱形,∠BAD=600 ,AB=PD=2,O为AC与BD的交点.
(Ⅰ)求证:AC⊥PB;
(Ⅱ)若点E是PB的中点,求三棱锥E—ABC的体积.
参考答案:
(Ⅰ)证明:∵在四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD
AC
∴PD⊥AC ………………2分
∵四边形ABCD是菱形
∴BD⊥AC ………………3分
又且PD,BD
∴AC⊥面PBD,PB
∴AC⊥PB. ………………6分
(Ⅱ)解:∵O是菱形ABCD对角线的交点
∴O是BD的中点
∵E是PB的中点
∴OE是ΔBPD的中位线,即OE∥PD,且OE=
∵PD⊥平面ABCD ∴OE⊥平面ABCD
∴OE为三棱锥E—ABC的高 ………………9分
∵四边形ABCD是菱形,∠BAD=600 ,
∴BC=AB=2,∠ABC=1200
∴==
∴ ………………12分
19. 现有一张长为80cm,宽为60cm的长方形铁皮ABCD,准备用它做成一只无盖长方体铁皮盒,要求材料利用率为100%,不考虑焊接处损失。如图,若长方形ABCD的一个角剪下一块铁皮,作为铁皮盒的底面,用余下材料剪拼后作为铁皮盒的侧面,设长方体的底面边长为x (cm),高为y (cm),体积为V (cm3)
(1) 求出x 与 y 的关系式;
(2) 求该铁皮盒体积V的最大值;
参考答案:
⑴由题意得,
即,. …………6分
⑵铁皮盒体积,………………10分
,令,得, ……………………………12分
因为,,是增函数;
,,是减函数,
所以,在时取得极大值,也是最大值,其值为.
答:该铁皮盒体积的最大值是. ……………………14分
20. 已知数列{an}为等差数列,其中a2+a3=8,a5=3a2.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)数列{bn}中,b1=1,b2=2,从数列{an}中取出第bn项记为cn,若{cn}是等比数列,求{bn}的前n项和.
参考答案:
【考点】数列的求和;数列递推式.
【分析】(1)设等差数列{an}的公差为d,由等差数列的通项公式,可得方程组,解得首项和公差,即可得到所求通项公式;
(2)求得等比数列{cn}的公比,求得bn=(3n﹣1+1),运用数列求和方法:分组求和,化简整理,即可得到所求和.
【解答】解:(1)设等差数列{an}的公差为d,
由a2+a3=8,a5=3a2,
可得2a1+3d=8,a1+4d=3(a1+d),
解得a1=1,d=2,
则an=a1+(n﹣1)d=1+2(n﹣1)=2n﹣1;
(2)c1=a=a1=1,c2=a=a2=3,
则等比数列{cn}的公比为3,
则cn=c1qn﹣1=3n﹣1,
又cn=a=2bn﹣1,
则bn=(3n﹣1+1),
设{bn}的前n项和为Sn,
则Sn=(1+3+…+3n﹣1+n)
=(+n)
=.
21. (12分)
已知
(1)求函数f(x)的最小正周期和函数在[0,π]上的单调减区间;
(2)若三角形ABC中, ,求角C.
参考答案:
或.
或.
考点:三角函数图像和性质,正弦定理
22. 如图1,的直径AB=4,点C、D为上两点,且CAB=45°,DAB=60°,F为弧BC的中点.沿直径AB折起,使两个半圆所在平面互相垂直,如图2。
(I)求证:OF平面ACD;
(Ⅱ)求二面角C—AD—B的余弦值;
(Ⅲ)在弧BD上是否存在点G,使得FG平面ACD?若存在,试指出点G的位置;若不存在,请说明理由.
参考答案:
证明:(Ⅰ)如右图,连接,
,. …1分 又为弧的中点,,. ………平面,平面,
平面. …解:
(Ⅱ)过作于,连.
,平面⊥平面. ⊥平面.又平面, , 平面,,则∠是二面角的平面角.…,, . 由⊥平面,平面,得为直角三角形,,==. ………8分
(Ⅲ)取弧的中点,连结、,则
…平面,平面平面//平面. ……………
因此,在弧上存在点,使得//平面,且点为弧的中点.…12分
(方法二):证明:(
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