江苏省扬州市吴江高级中学2022-2023学年高三数学理月考试卷含解析

江苏省扬州市吴江高级中学2022-2023学年高三数学理月考试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 在等腰三角形ABC中，AB=AC，D在线段AC，AD=kAC（k为常数，且0＜k＜1），BD=l为定长，则△ABC的面积最大值为（　　） A． B． C． D． 参考答案： C 考点： 正弦定理． 专题： 解三角形． 分析： 判断出AB=AC，以B为原点、BD为x轴建立平面直角坐标系，设A（x，y），y＞0，根据题意得到AD=kAC，利用两点间的距离公式列出关系式，化简后表示出y2，利用二次函数的性质求出y的最大值，求出△ABD面积的最大值，由AD=kAC得出△ABC面积的最大值． 解答： 解：由题意得AB=AC， 如图所示，以B为原点，BD为x轴建立平面直角坐标系，设A（x，y），y＞0， ∵AB=AC，BD=l，∴D（l，0）， 由AD=kAC=kAB得，AD2=k2AB2， ∴（x﹣l）2+y2=k2（x2+y2）， 整理得：y2=， 当x=﹣=时， y2=取到最大值是：， ∴y的最大值是， ∵BD=l，∴（S△ABD）max==， ∵AD=kAC，∴（S△ABC）max=（S△ABD）max=， 所以△ABC的面积最大值为， 故选：C． 点评： 本题考查坐标法解决平面几何问题，两点间的距离公式，及二次函数的性质，建立适当的坐标系是解本题的关键． 2. 将周期为π的函数f（x）=2sin（ωx+），（ω＞0）的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是（　　） A． B． C． D． 参考答案： A 【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换． 【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，得出结论． 【解答】解：∵函数f（x）=2sin（ωx+）的周期为π，∴ =π，∴ω=2． 把f（x）=2sin（2x+）的图象向右平移φ个单位，可得y=2sin（2x﹣2φ+）的图象． 根据所得图象关于y轴对称，可得﹣2φ+=kπ+，k∈Z，则φ的最小正值为， 故选：A． 【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，属于基础题． 3. 设直线与圆的交点为，当取最小值的时候，实数的值为                             （    ） A．        B．         C．            D．1 参考答案： 答案：B 4. 若函数的反函数=               （    ）        A．                  B．                   C．                D． 参考答案： D 略 5. 设椭圆的一个焦点为，且，则椭圆的标准方程为         （  ）        参考答案： A 略 6. 下列函数是奇函数的是(     ) A．f（x）=﹣|x| B．f（x）=lg（1+x）﹣lg（1﹣x） C．f（x）=2x+2﹣x D．f（x）=x3﹣1 参考答案： B 考点：函数奇偶性的判断． 专题：函数的性质及应用． 分析：先看定义域是否关于原点对称，再看f（﹣x）与f（x）的关系，从而根据奇函数、偶函数的定义作出判断． 解答： 解：对于函数f（x）=﹣|x|，由于f（﹣x）=﹣|﹣x|=﹣|x|=f（x），故函数f（x）为偶函数． 对于f（x）=lg（1+x）﹣lg（1﹣x），它的定义域为（﹣1，1）， 且满足f（﹣x）=lg（1﹣x）﹣lg（1+x）=﹣f（x），故函数f（x）为奇函数． 对于函数f（x）=2x+2﹣x，由于f（﹣x）=2x+2﹣x=f（x），故函数f（x）为偶函数． 对于函数f（x）=x3﹣1，由于f（﹣x）=﹣x3﹣1≠﹣f（x），故不是奇函数， 故选：B． 点评：本题主要考查函数的奇偶性的判断方法，先看定义域是否关于原点对称，再看f（﹣x）与f（x）的关系，属于中档题． 7. 已知集合，，则A∩B为（   ） A. [0，1）     B.（0，1）     C. [0，1]     D.（-1，0]     参考答案： A 8. 某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是（　　） A． B．4 C． D． 参考答案： C 【考点】由三视图求面积、体积． 【分析】由已知中的三视图，可得该几何体是由三棱柱截得的，代入体积公式，可得答案． 【解答】解：由已知中的三视图，可得该几何体是由三棱柱截得的，如图所示， 故体积V==， 故选：C． 9. 在正三棱锥A一BCD中，E，F分别是AB，BC的中点，EF⊥DE，且BC＝1，则正三棱锥A一BCD的体积等于                                    （    ）        A．　　　         B．　　　　         C．　　　　        D． 参考答案： B 10. 已知i为虚数单位，若=y+2i，x，y∈R，则复数x+yi=   A． 2+i    B．-2－i  C．l－2i    D．1+2i 参考答案： B 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 设实数满足线性约束条件，则目标函数的最大值为_________ 参考答案： 6   略 12. 数列{an}通项为an=ncos（+）（n∈N*），Sn为其前n项的和，则S2012=　　． 参考答案： 503（1+） 略 13. 在计算“”时，某同学学到了如下一种方法：先改写第项：， 由此得，两边分别相加， 得类比上述方法，请你计算“”，其结果是     。 参考答案： 14. 若各项均为正数的等比数列满足，则公比            ． 参考答案： 15. 已知等差数列的前项和为，若，则      ． 参考答案： 答案：7 解析：由题意得 16. 存在区间（），使得， 则称区间为函数的一个“稳定区间”.给出下列4 个函数： ①；②；③ ； ④ 其中存在“稳定区间”的函数有__  _   .（把所有正确的序号都填上） 参考答案： ②③ 略 17. 若正数满足,则的最大值为             。 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面四边形ABCD是菱形，∠BAD=600 ，AB=PD=2，O为AC与BD的交点. （Ⅰ）求证：AC⊥PB； （Ⅱ）若点E是PB的中点，求三棱锥E—ABC的体积.   参考答案：   （Ⅰ）证明：∵在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD                 AC                ∴PD⊥AC      ………………2分                ∵四边形ABCD是菱形                ∴BD⊥AC        ………………3分                  又且PD，BD                ∴AC⊥面PBD，PB                 ∴AC⊥PB.                   ………………6分     （Ⅱ）解：∵O是菱形ABCD对角线的交点                ∴O是BD的中点                ∵E是PB的中点            ∴OE是ΔBPD的中位线，即OE∥PD，且OE=            ∵PD⊥平面ABCD  ∴OE⊥平面ABCD            ∴OE为三棱锥E—ABC的高         ………………9分            ∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=600 ，            ∴BC=AB=2，∠ABC=1200            ∴==            ∴    ………………12分 19. 现有一张长为80cm，宽为60cm的长方形铁皮ABCD，准备用它做成一只无盖长方体铁皮盒，要求材料利用率为100%，不考虑焊接处损失。如图，若长方形ABCD的一个角剪下一块铁皮，作为铁皮盒的底面，用余下材料剪拼后作为铁皮盒的侧面，设长方体的底面边长为x (cm),高为y (cm),体积为V （cm3） (1) 求出x 与 y 的关系式； (2) 求该铁皮盒体积V的最大值； 参考答案： ⑴由题意得， 即，． …………6分    ⑵铁皮盒体积，………………10分 ，令，得，    ……………………………12分 因为，，是增函数； ，，是减函数， 所以，在时取得极大值，也是最大值，其值为． 答：该铁皮盒体积的最大值是．         ……………………14分 20. 已知数列{an}为等差数列，其中a2+a3=8，a5=3a2． （1）求数列{an}的通项公式； （2）数列{bn}中，b1=1，b2=2，从数列{an}中取出第bn项记为cn，若{cn}是等比数列，求{bn}的前n项和． 参考答案： 【考点】数列的求和；数列递推式． 【分析】（1）设等差数列{an}的公差为d，由等差数列的通项公式，可得方程组，解得首项和公差，即可得到所求通项公式； （2）求得等比数列{cn}的公比，求得bn=（3n﹣1+1），运用数列求和方法：分组求和，化简整理，即可得到所求和． 【解答】解：（1）设等差数列{an}的公差为d， 由a2+a3=8，a5=3a2， 可得2a1+3d=8，a1+4d=3（a1+d）， 解得a1=1，d=2， 则an=a1+（n﹣1）d=1+2（n﹣1）=2n﹣1； （2）c1=a=a1=1，c2=a=a2=3， 则等比数列{cn}的公比为3， 则cn=c1qn﹣1=3n﹣1， 又cn=a=2bn﹣1， 则bn=（3n﹣1+1）， 设{bn}的前n项和为Sn， 则Sn=（1+3+…+3n﹣1+n） =（+n） =． 21. （12分） 已知 （1）求函数f(x)的最小正周期和函数在[0,π]上的单调减区间； （2）若三角形ABC中， ,求角C. 参考答案： 或. 或． 考点：三角函数图像和性质，正弦定理 22. 如图1，的直径AB=4，点C、D为上两点，且CAB=45°，DAB=60°，F为弧BC的中点．沿直径AB折起，使两个半圆所在平面互相垂直，如图2。 (I)求证：OF平面ACD； (Ⅱ)求二面角C—AD—B的余弦值； (Ⅲ)在弧BD上是否存在点G，使得FG平面ACD?若存在，试指出点G的位置；若不存在，请说明理由． 参考答案： 证明：（Ⅰ）如右图，连接，      ，.  …1分 又为弧的中点，，.  ………平面，平面， 平面．  …解： （Ⅱ）过作于，连． ，平面⊥平面．   ⊥平面．又平面， ， 平面，，则∠是二面角的平面角．…，， .  由⊥平面，平面，得为直角三角形，，==．  ………8分 （Ⅲ）取弧的中点，连结、，则 …平面，平面平面//平面.     …………… 因此，在弧上存在点，使得//平面，且点为弧的中点．…12分 （方法二）：证明：（