江苏省常州市芙蓉中学2022年高三数学理模拟试题含解析

江苏省常州市芙蓉中学2022年高三数学理模拟试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知等差数列中，，记，S13=(    ) A．78    B．68    C．56 D．52 参考答案： D 2. 已知集合，，则A∩B=（   ） A.[－4,1)∪(3,4] B. [－4,－3)∪(－1,4] C. (－4,1)∪(3,4) D. (－4,－3)∪(－1,4) 参考答案： A 求解二次不等式可得：， 求解对数不等式可得：， 结合交集的定义有：. 本题选择A选项. 3. 函数在（0，1）上为减函数，则实数a的取值范围是（    ）        A．                   B．（1，2）                 C．                     D． 参考答案： C 略 4. 执行如图所示的程序框图，如果输入的，则输出的S属于（   ）   A．[－4,2]         B．[－2,2]        C．[－2,4]       D．[－4,0] 参考答案： A 5. 圆x2+y2=4被直线截得的弦长为 A.  B.  C.3  D.2 参考答案： D 6. 参考答案： 7. 设函数y=的定义域为A，函数y=ln（x﹣1）的定义域为B，则A∩B=（　　） A．（1，2） B．（1，2] C．（﹣2，1） D．[﹣2，1） 参考答案： B 【分析】利用函数的定义域分别求出集合A，B，由此能求出A∩B． 【解答】解：函数y=的定义域为A，函数y=ln（x﹣1）的定义域为B， ∴A={x|4﹣x2≥0}={x|﹣2≤x≤2}， B={x|x﹣1＞0}={x|x＞1}． ∴A∩B={x|1＜x≤2}=（1，2]． 故选：B． 【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义、函数性质的合理运用． 8. 若直线y=3x上存在点（x，y）满足约束条件，则实数m的取值范围是（　　） A．（﹣1，+∞） B．[﹣1，+∞） C．（﹣∞，﹣1） D．（﹣∞，﹣1） 参考答案： A 【考点】简单线性规划． 【分析】由题意作出其平面区域，先解出点A的坐标，再结合图象写出实数m的取值范围即可． 【解答】解：由题意作出其平面区域， 结合图象可得， ， 解得，A（﹣1，﹣3）； 故m＞﹣1； 故选A． 9. 棱长为1的正四面体ABCD中，点M和N分别是边AB和CD的中点，则线段MN的长度为（　　） A. B. C. D. 2 参考答案： A 【分析】 连接，则，故而，利用勾股定理计算即可 【详解】连接， ∵正四面体棱长为1，是的中点， ∴， ∵是的中点，∴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了棱锥的结构特征，空间距离的计算，属于基础题 10. 已知函数有两个极值点，则实数a的取值范围是（   ） A．(－∞,0)         B．(0,+∞)       C.(0,1)         D． 参考答案： D 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 若实数x，y满足，则2x+y的最大值是　     　． 参考答案： 14 【考点】简单线性规划． 【分析】作出不等式组对应的平面区域，设z=2x+y，利用数形结合即可得到结论． 【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图： 由z=2x+y得y=﹣2x+z， 平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时， 直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大， 由，解得A（4，6）， 此时zmax=2×4+6=14． 故答案为：14． 12. 若常数b满足|b|>1，则            . 参考答案： 答案： 13. 下表给出一个“直角三角形数阵”                            …… 满足每一列成等差数列,从第三行起,每一行的数成等比数列,且各行的公比都相等,记第i行第j列的数为等于           . 参考答案： 14. 在平面几何中：ΔABC的∠C内角平分线CE分AB所成线段的比为．把这个结论类比到空间：在三棱锥A — BCD中（如图）DEC平分二面角A—CD—B且与AB相交于E ，则得到类比的结论是            .                               参考答案： 略 15. 已知角α的终边上有一点P（﹣3，4），则sinα+2cosα=　　． 参考答案： ﹣ 【考点】任意角的三角函数的定义． 【分析】由题意可得x=﹣3，y=4，r=5，可得cosα和sinα的值，从而求得sinα+2cosα 的值． 【解答】解：∵角α的终边上有一点P（﹣3，4）， ∴x=﹣3，y=4，r==5， ∴cosα==﹣，sinα==， ∴sinα+2cosα=+2×（﹣）=﹣， 故答案为：﹣． 16. 设函数，则下列结论正确的有             （把你认为正确的序号都写上）. ①的值域为                ②的图象关于轴对称 ③不是周期函数                ④不是单调函数 参考答案： ①②④ 略 17. 已知是奇函数，且，若，则      。 参考答案： 因为为奇函数，所以，所以，， 所以。 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是：（t是参数）． （Ⅰ） 若直线l与曲线C相交于A、B两点，且|AB|=，试求实数m值． （Ⅱ） 设M（x，y）为曲线C上任意一点，求x+y的取值范围． 参考答案： 考点：参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程． 专题：坐标系和参数方程． 分析：（I）由曲线C的极坐标方程ρ=4cosθ，化为ρ2=4ρcosθ，可得x2+y2﹣4x=0．把（t是参数）代入方程上述方程可得根与系数的关系，利用|AB|=|t1﹣t2|=即可得出； （II）曲线C的方程可化为（x﹣2）2+y2=4，其参数方程为（θ为参数），设M（x，y）为曲线C上任意一点，，利用正弦函数的值域即可得出． 解答： 解：（I）由曲线C的极坐标方程ρ=4cosθ，化为ρ2=4ρcosθ，∴x2+y2﹣4x=0． 把（t是参数）代入方程上述方程可得：=0， ∴t1+t2=﹣（m﹣2），t1t2=m2﹣4m． ∴|AB|=|t1﹣t2|===，解得m=1或3． （II）曲线C的方程可化为（x﹣2）2+y2=4，其参数方程为（θ为参数）， 设M（x，y）为曲线C上任意一点，， ∵∈， ∴x+y的取值范围是． 点评：本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数的应用、正弦函数的单调性，考查了计算能力，属于基础题． 19. （本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲 如图，已知圆是的外接圆，，是边上的高，是圆的直径．过点作圆的切线交的延长线于点. （Ⅰ）求证：；   （Ⅱ）若，求的长. 参考答案： （I）证明：连结，由题意知为直角三角形. ………1分 因为，，∽，………2分 所以，…………………………………………………………3分 即.……………………………………………………4分 又，所以.      ………………………………5分 （Ⅱ）因为是圆的切线，所以，………………………6分 又，所以，………………7分 因为，又，所以∽. ………8分 所以，得 ………………………9分 ……………………………………………10分 20. (本小题满分14分) 已知函数． （I）当时，求函数的单调区间； （II）若函数的图象在点处的切线的倾斜角为45o，问：m在什么范围取值时，对于任意的，函数在区间上总存在极值？ 参考答案：     （I）当时，，         ……ks5u……………………2分      令时，解得，所以在（0，1）上单调递增；  ……4分      令时，解得，所以在（1，+∞）上单调递减． ………6分 （II）因为函数的图象在点（2，）处的切线的倾斜角为45o，       所以．       所以，． ………………………………………………8分       ，      ，      ……………………………………………10分      因为任意的，函数在区间上总存在极值，      所以只需       ……………………………………………………12分      解得．     ………………………………………………………14分 21. （14分）已知函数（∈R）满足且使=2成立的实数只有—个 （1）求函数的表达式； （2）若数列{an}满足证明数列{}是等比数列，并求出{ }的通项公式； （3）在（2）的条件下，证明： 参考答案： 解析：（1）由，得a=2b+1                                                                      2分 由f （x）= 2x只有一个解，即，也就是只有一解， ∴b=-1，∴a=-1，故                                                                                  4分 （2） ∴为等比数列，q=1/2， （3）∵                                 12分                                      14分 22. 如图，三角形中，，是边长为的正方形，平面⊥底面，若、分别是、的中点． （Ⅰ）求证：∥底面； （Ⅱ）求证：⊥平面； （Ⅲ）求几何体的体积． 直，线面垂直的性质定理等可证，,代入数字，得到结果. 试题解析：（I）解：取的中点，连结，（如图）   参考答案： 详见解析