四川省资阳市云峰中学2022年高三数学理上学期期末试题含解析

四川省资阳市云峰中学2022年高三数学理上学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知双曲线的左右焦点分别为，点在该双曲线上，若= ，则双曲线的渐近线方程为（    ）         A.    B.     C . D.          参考答案： A  【知识点】双曲线的简单性质H6 解析：双曲线的左右焦点分别为F1（﹣，0），F2（，0），点在该双曲线上，则﹣=1，即有y02=b2，① 又=（﹣﹣，﹣y0），=（﹣，﹣y0），若?=0， 则（﹣﹣）?（﹣）+y02=0，②解得b2=2，即b=． 即有双曲线的渐近线方程为y=±x．即为y=±x．故选A． 【思路点拨】求出双曲线的焦点，求得向量，的坐标，由条件运用向量的数量积的坐标表示可得方程，再由P满足双曲线方程，解方程可得b，再由双曲线的渐近线方程即可得到． 2. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为                  （    ）     A．2     B．1     C．     D． 参考答案： C 略 3. 已知函数，则的解集为（   ） A．                B． C．                                   D． 参考答案： B 4. 已知复数满足是虚数单位，则的虚部为（   ） A． B． C． D． 参考答案： 考点：1.复数的概念；2.复数的四则运算. 5. 的外接圆半径和的面积都等于1，则（    ）        A．                        B．                      C．                       D．   参考答案： D 略 6. 若双曲线的一个焦点到两条准线的距离之比为，则双曲线的离心率是 A．3                B．5                    C．                  D． 参考答案： C 7. 在直角坐标系中, 设是曲线上任意一点, 是曲线在点处的切线, 且交坐标轴于两点, 则以下结论正确的是（   ） A．的面积为定值                         B．的面积有最小值为 C．的面积有最大值为                     D．的面积的取值范围是 参考答案： A 试题分析：设，则,因此的面积为，所以选A. 考点：导数几何意义 【思路点睛】(1)求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点. (2)利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解. 8. △ABC所在平面上一点Ｐ满足＋ ＋＝,则△PAB的面积与△ABC的面积比为（    ） 2:3          1:3          1:4            1:6 参考答案： B 略 9. 7．的值是 A．            B．             C．1         D． 参考答案： C 略 10. 下列函数中，在其定义域是减函数的是(    ) A.    B.    C.     D. 参考答案： D 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 观察下列不等式： ①； ②； ③； 照此规律，第五个不等式为                  ． 参考答案： 试题分析：左边分子是，右边是，故猜想． 考点：合情推理与演绎推理． 12. （5分）如图，点P为圆O的弦AB上的一点，连接PO，过点P作PC⊥OP，且PC交圆O于C．若AP=4，PC=2，则PB=　　． 参考答案： 考点： 与圆有关的比例线段． 专题： 计算题；几何证明． 分析： 根据题设中的已知条件，利用相交弦定理，直接求解． 解答： 解：延长CP，交圆于D，则 ∵AB是⊙O的一条弦，点P为AB上一点，PC⊥OP，PC交⊙O于C， ∴PC=PD， ∴利用相交弦定理可得AP×PB=PC×PD=PC2， ∵AP=4，PC=2， ∴PB=1． 故答案为：1 点评： 本题考查与圆有关的比例线段的应用，是基础题．解题时要认真审题，注意相交弦定理的合理运用． 13. 关于函数有下列命题： （1）函数的图象关于轴对称； （2）在区间上，是减函数； （3）函数的最小值是2； （4）在区间上，是增函数. 其中正确的命题是                            参考答案： (1)（3）(4) 略 14. 已知是原点，点的坐标满足，则的取值范围为          ． 参考答案： 答案：[－3，3] 15. 定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，，则f(-2)=__ ▲_,则不等式的解集是__▲_____. 参考答案： -4,     16. 在长为12 cm的线段AB上任取一点C，以线段AC，BC为邻边作矩形，则该矩形的面积大于32 cm2的概率为         ． 参考答案： 17. 在等差数列中,是其前项的和,且,,则数列 的前项的和是__________? 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知△ABC的面积为S，且?=S，|﹣|=3． （Ⅰ）若f（x）=2cos（ωx+B）（ω＞0）的图象与直线y=2相邻两个交点间的最短距离为2，且f（）=1，求△ABC的面积S； （Ⅱ）求S+3cosBcosC的最大值． 参考答案： 【考点】余弦函数的图象；平面向量数量积的运算． 【分析】（Ⅰ）由条件利用余弦函数的图象特征求出ω，可得f（x）的解析式，再根据f（）=1求得B，再利用条件求得A，从而△ABC是直角三角形，从而计算△ABC的面积S． （Ⅱ）利用正弦定理求得△ABC的外接圆半径R，再化减S+3cosBcosC为3cos（B﹣C），从而求得它的最大值． 【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=2cos（ωx+B）（ω＞0）的图象与直线y=2相邻两个交点间的最短距离为T， ∴T=2，即：，解得ω=π，故f（x）=2cos（πx+B）． 又，即：，∵B是△ABC的内角，∴， 设△ABC的三个内角的对边分别为a，b，c， ∵，∴， 解得，，从而△ABC是直角三角形， 由已知得，，从而，． （Ⅱ）由（Ⅰ）知， 设△ABC的外接圆半径为R，则2R===2，解得R=， ∴S+3cosBcosC=bcsinA+3cosBcosC=bc+3cosBcosC =3sinBsinC+3cosBcosC=3cos（B﹣C）， 故的最大值为． 19. 设函数f(x)＝2|x－1|＋x－1，g(x)＝16x2－8x＋1.记f(x)≤1的解集为M，g(x)≤4的解集为N. (1)求M； (2)当x∈M∩N时，证明：x2f(x)＋x[f(x)]2≤. 参考答案： 【知识点】不等式的解法；交集及其运算．  E1   A1 【答案解析】 【思路点拨】（Ⅰ）由所给的不等式可得 ①，或 ②，分别求得①、②的解集，再取并集，即得所求． （Ⅱ）由g（x）≤4，求得N，可得M∩N=[0，]．当x∈M∩N时，f（x）=1﹣x，不等式的左边化为﹣，显然它小于或等于 ，要证的不等式得证． 20. 三角形ABC中，内角A，B，C所对边a，b，c成公比小于1的等比数列，且sinB+sin（A﹣C）=2sin2C． （1）求内角B的余弦值； （2）若b=，求△ABC的面积． 参考答案： 【考点】正弦定理；余弦定理． 【分析】（Ⅰ） 三角形ABC中，由条件化简可得C=90°，故有a=2c．再由b2=ac利用正弦定理可得，sin2B=sinAsinC，化简求得cosB的值． （Ⅱ）根据b=，求得ac=b2的值，求得sinB= 的值，再根据△ABC的面积S=ac?sinB，计算求得结果． 【解答】解：（Ⅰ） 三角形ABC中，∵sinB+sin（A﹣C）=2sin2C， ∴sin（A+C）+sin（A﹣C）=4sinCcosC，∴sinA=2sinC，或cosC=0． ∴a=2c，或C=90°（不满足a，b，c成公比小于1的等比数列，故舍去）． 由边a，b，c成公比小于1的等比数列，可得b2=ac，∴b=c， ∴cosB===． （Ⅱ）∵b=，cosB=，∴ac=b2=3，sinB=， ∴△ABC的面积S=ac?sinB=． 21. （本小题满分12分）设函数. （1）写出函数的最小正周期及单调递减区间； （2）当时，函数的最大值与最小值的和为，求的解析式； （3）将满足（2）的函数的图像向右平移个单位，纵坐标不变横坐标变为原来的2倍，再向下平移，得到函数，求图像与轴的正半轴、直线所围成图形的面积。 参考答案： 解（1），   （2分）    ∴.    由，得.    故函数的单调递减区间是.     （6分） （2）.  当时，原函数的最大值与最小值的和， .                         （8分） （3）由题意知                                （10分）   =1            （12分） 略 22. （2017?平顶山一模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，CB⊥平面PAB，AD∥BC，且PA=PB=AB=BC=2AD=2． （Ⅰ）求证：平面DPC⊥平面BPC； （Ⅱ）求二面角C﹣PD﹣B的余弦值． 参考答案： 【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定． 【分析】（Ⅰ）分别取PC，PB的中点E，F，连结DE，EF，AF，证明AF⊥EF，AF⊥PB．推出AF⊥平面BPC，然后证明DE⊥平面BPC，即可证明平面DPC⊥平面BPC．…． （Ⅱ）解法1：连结BE，说明BE⊥CP，推出BE⊥平面DPC，过E作EM⊥PD，垂足为M，连结MB，说明∠BME为二面角C﹣PD﹣B的平面角．在△PDE中，求解即可． 解法2：以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，求出平面PDC和面PBC的法向量，由空间向量的数量积求解二面角C﹣PD﹣B的余弦值即可． 【解答】（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）证明：如图，分别取PC，PB的中点E，F， 连结DE，EF，AF，由题意知，四边形ADEF为矩形，∴AF⊥EF．…（2分） 又∵△PAB为等边三角形， ∴AF⊥PB．又∵EF∩PB=F， ∴AF⊥平面BPC．… 又DE∥AF． ∴DE⊥平面BPC，又DE?平面DPC， ∴平面DPC⊥平面BPC．… （Ⅱ）解法1：连结BE，则BE⊥CP，由（Ⅰ）知， BE⊥平面DPC，过E作EM⊥PD，垂足为M，连结MB，则∠BME为二面角C﹣PD﹣B的平面角．…（7分） 由题意知，DP=DC=，PC=，∴，∴， ∴在△PDE中，．…（10分） 又， ∴，∴．…（12分） （Ⅱ）解法2：如图，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，则，A（0，0，0），B（0，2，0），，C（0，2，2），D（0，0，1）． ，，．…（8分） 设平面PDC和面PBC的法向量分别为，， 由，得，令y=﹣1得； 由，得，令a=1得．…（10分） ∴二面角C﹣PD﹣B的余弦值为．…（12分） 【点评】本题