北京陶行知中学高三数学理下学期期末试题含解析

北京陶行知中学高三数学理下学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 若tan α＝，则cos2α＋2sin 2α等于(　　) A.   B.  C.  1 D . 参考答案： A 2. 某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为的正方形，两条虚线互相垂直，则该 几何体的体积是 .     .      .      . 参考答案： B 试题分析：根据题中所给的几何体的三视图，可知该几何体为一个正方体挖去一个四棱锥构成的几何体，所以其体积为,故选B. 考点：根据三视图还原几何体，求其体积. 3. 已知复数为虚数单位，则的共轭复数是 A.                B.          C.              D. 参考答案： A 4. 已知数列是等比数列，且，则公比的值是 （     ） A．                                B．-2 C．                               D． 参考答案： C 略 5. 函数为奇函数，该函数的部分图像如图所示，分别为最高点与最低点，并且，则该函数图像的一条对称轴为(   ) A．      B．      C．       D．  参考答案： C 6. 已知实数满足不等式组，则函数的最大值为 A．2 B．4 C．5 D．6 参考答案： D 作出可行域如下图，当直线过点C时，最大，由得，所以的最大值为． 7. 设为虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于 A．第四象限         B．第三象限 C．第二象限         D．第一象限 参考答案： B   8. 学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量为n的样本，其频率分布直方图如图所示，其 中支出在[50，60)元的同学有30人，则n的值为(  )．     A.100       B.1000       C.90       D.900 参考答案： A 9. 若复数为纯虚数，则的值为（   ） A．2                         B．                        C．                      D． 参考答案： C 考点：复数的有关概念及运算. 10. 若双曲线：与抛物线的准线交于两点，且，则的值是 A. 1             B.             C. 4              D. 13 参考答案： A 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 若对于任意的实数x∈(0，]，都有2﹣2x﹣logax＜0恒成立，则实数a的取值范围是   　． 参考答案： ＜a＜1   【考点】函数恒成立问题． 【分析】由题意可得，时，函数y=2﹣2x的图象在函数y=logax的图象的下方，可得0＜a＜1．再根据它们的单调性可得＜loga，解此对数不等式求得a的范围 【解答】解：若对于任意的实数，都有2﹣2x﹣logax＜0恒成立， 即对于任意的实数，都有logax＞2﹣2x恒成立， 则y=logax的图象恒在y=图象的上方， ∴0＜a＜1． 再根据它们的单调性可得＜loga， 即＞， ∴a＞， 综上可得，＜a＜1， 故答案为：＜a＜1 　 12. 设曲线y=x2﹣x在点（3，6）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a=　　． 参考答案： 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程． 【分析】求函数的导数，得到切线斜率，根据直线垂直关系即可得到解得结论． 【解答】解：函数的导数y′=2x﹣1， 则曲线y=x2﹣x在点（3，6）处的切线斜率k=5， ∵直线ax+y+1=0的斜截式方程为y=﹣ax﹣1，斜率为﹣a， ∴若切线与直线ax+y+1=0垂直，则﹣a×5=﹣1， 则a=， 故答案为． 13. 在直角中，，， ，为斜边的中点， 则 =           参考答案： -1 14. 一个几何体的三视图如右图所示，则其体积为          . 参考答案： 4 15. 函数在区间（）内单调递增，则a的取值范围是                  参考答案： 16. 已知曲线C的极坐标方程为，则C与极轴的交点到极点的距离是       。 参考答案：     17. 下列几个命题： ① 不等式的解集为； ② 已知均为正数，且，则的最小值为9； ③ 已知，则的最大值为； ④ 已知均为正数，且，则的最小值为7； 其中正确的有   　　　　　　　　  ．（以序号作答） 参考答案： 2,4 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 设数列的前项和为，已知，， （1）求数列的通项公式； （2）若，数列的前项和为，证明：． 参考答案： 解：（1）∵，当时, 两式相减得：     ………2分 ∴　即    ……………4分     又　  ∴　∴;  ………6分 所以是公比为2的等比数列;∴　　即……………7分     （2）∵　　∴  ……………9分     ∴     ……………10分     ∴ ……………14分 19. 已知曲线与，直线与都相切，求直线的方程． 参考答案： 解析：设与相切于点与相切于． 对于，则与相切于点的切线方程为，即， 对于，则与相切于点的切线方程为， 即． 两切线重合， ，且． 解得或． 直线方程为或． 20. 某工艺品厂要设计一个如图1所示的工艺品，现有某种型号的长方形材料如图2所示，其周长为4m，这种材料沿其对角线折叠后就出现图1的情况．如图，ABCD（AB＞AD）为长方形的材料，沿AC折叠后交DC于点P，设△ADP的面积为，折叠后重合部分△ACP的面积为． （Ⅰ）设m，用表示图中的长度，并写出的取值范围； （Ⅱ）求面积最大时，应怎样设计材料的长和宽？ （Ⅲ）求面积最大时，应怎样设计材料的长和宽？ 参考答案： （Ⅰ）由题意，,，.…………1分 设，则，由△ADP≌△CB'P，故PA=PC=x﹣y， 由PA2=AD2+DP2，得即：..…………3分 （Ⅱ）记△ADP的面积为，则.…………5分 当且仅当时，取得最大值． 故当材料长为，宽为时，最大．….…………7分 （Ⅲ） 于是令.…………9分 关于的函数在上递增，在上递减， 当时， 取得最大值． 故当材料长为，宽为时， 最大．.…………12分 21. （本题满分13分）如图，是以为直径的半圆上异于、的点，矩形所在的平面垂直于半圆所在的平面，且. （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）若异面直线和所成的角为，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值. 参考答案： （Ⅰ）∵平面垂直于圆所在的平面，两平面的交线为，平面，，∴垂直于圆所在的平面.又在圆所在的平面内，∴.∵是直角，∴，∴平面,∴. …………6分   (Ⅱ) 如图，以点为坐标原点，所在的直线为轴，过点与平行的直线为轴，建立空间直角坐标系.由异面直线和所成的角为，知， ∴， ∴，由题设可知，，∴，.设平面的一个法向量为， 由，得，，取，得. ∴.又平面的一个法向量为，∴. 平面与平面所成的锐二面角的余弦值.          …………13分 （其他解法可参考给分） 22. 已知函数． （1）当时，求函数的单调区间； （2）若函数在处取得极值，对,恒成立，求实数的取值范围； （3）当时，求证：． 参考答案： （1） 得0 ∴在上递减，在上递增. （2）∵函数在处取得极值，∴，   ∴，    令，可得在上递减，在上递增， ∴，即． （3）证明：， 令，则只要证明在上单调递增， 又∵， 显然函数在上单调递增． ∴，即， ∴在上单调递增，即， ∴当时，有．     略