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2022年陕西省榆林市凤山高级中学高三数学理联考试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 若直线上存在点满足约束条件 则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
试题分析:由题意得:,解得:,所以,因为,所以,即,所以实数的取值范围是,故选A.
考点:线性规划.
2. 下列函数在其定义域上是奇函数的是( )
A. B.
C. D.
参考答案:
D
略
3. 设实数x,y满足不等式组,若z=x+2y,则z的最大值为( )
A.﹣1 B.4 C. D.
参考答案:
C
【考点】简单线性规划.
【分析】作出不等式对应的平面区域,利用线性规划的知识,通过平移即可求z的最大值.
【解答】解:作出不等式对应的平面区域,
由z=x+2y,得y=﹣,
平移直线y=﹣,由图象可知当直线y=﹣经过点A时,直线y=﹣的截距最大,此时z最大.
由,得,
即A(,),
此时z的最大值为z=+2×=,
故选:C
4. 复数,则
(A) (B) (C) (D)
参考答案:
D
略
5. 已知函数,那么的值为( )
A.32 B.16 C.8 D.64
参考答案:
C
∵,∴.
6. 已知,,则tan的值是 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
7. 若函数在处取最小值,则( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
8. 若双曲线的渐近线与抛物线相切,且被圆截得的弦长为,则a=( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
可以设切点为(x0,+1),由y′=2x,∴切线方程为y-(+1)=2x0(x-x0),即y=2x0x-+1,∵已知双曲线的渐近线为y=±x,∴,x0=±1,=2,一条渐近线方程为y=2x,圆心到直线的距离是.
故选:B
9. 已知z是纯虚数,复数是实数,则z=( )
A. -2i B. 2i C. D.
参考答案:
D
【分析】
根据复数的运算及复数相等,即可得到结论.
【详解】∵是实数,
∴设a,a是实数,
则z+1=a(2﹣i)=2a﹣ai,
∴z=2a﹣1﹣ai,
∵z为纯虚数,
∴2a﹣1=0且﹣a≠0,
即a,
∴z=2a﹣1﹣ai,
故选:D.
10. 已知集合A={x|x2﹣2x>0},B=[0,4],则A∩B=( )
A.[﹣4,﹣1) B.(2,4] C.[﹣4,﹣1)∪(2,4] D.[2,4]
参考答案:
B
【考点】交集及其运算.
【分析】解不等式得集合A,根据交集的定义写出A∩B.
【解答】解:集合A={x|x2﹣2x>0}={x|x<0或x>2}=(﹣∞,0)∪(2,+∞),
B=[0,4],
则A∩B=(2,4].
故选:B.
【点评】本题考查了解不等式与集合的运算问题,是基础题.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 不等式的解集是 .
参考答案:
{x|0<x<1}
考点:其他不等式的解法.
专题:计算题.
分析:将不等式>1移项后通分,即可求得不等式的解集.
解答: 解:∵>1,
∴﹣1=>0,
∴>0,
∴0<x<1.
∴不等式的解集为{x|0<x<1}.
故答案为:{x|0<x<1}.
点评:本题考查不等式的解法,移项后通分是关键,属于基础题.
12. 对于定义域和值域均为的函数,定义,,…,,n=1,2,3,….满足的点称为f的阶周期点.
(1)设则f的阶周期点的个数是_________;
(2)设则f的阶周期点的个数是_______ .
参考答案:
_2_ _4__
略
13. 已知单位向量a,b的夹角为60°,则(2a+b)·(a-3b)=________.
参考答案:
14. 从1,2,3,4,5这5个数中,随机抽取2个不同的数,则这2个数的和为偶数的概率是 .
参考答案:
;
15. ___________.
参考答案:
2
略
16. 圆锥的轴截面SAB是边长为2的等边三角形,O为底面中心,M为SO的中点,动点P在圆锥底面内(包括圆周).若AM⊥MP,则P点形成的轨迹的长度为 .
参考答案:
【考点】轨迹方程;数量积判断两个平面向量的垂直关系.
【分析】建立空间直角坐标系,写出点的坐标,设出动点的坐标,利用向量的坐标公式求出向量坐标,利用向量垂直的充要条件列出方程求出动点P的轨迹方程,得到P的轨迹是底面圆的弦,利用勾股定理求出弦长.
【解答】解:以AB所在直线为x轴,以OS为z轴,建立空间直角坐标系,
则A(0,﹣1,0),B(0,1,0),,,设P(x,y,0).于是有.
由于AM⊥MP,
所以,
即,此为P点形成的轨迹方程,
其在底面圆盘内的长度为
故答案为
17. 已知命题p:?x∈R,ax2+2x+1≤0是假命题,则实数a的取值范围是 .
参考答案:
a>1
【考点】特称命题;命题的真假判断与应用.
【分析】将条件转化为ax2+2x+1>0恒成立,检验a=0是否满足条件,当a≠0 时,必须 ,从而解出实数a的取值范围.
【解答】解:命题p:?x∈R,ax2+2x+1≤0是假命题,
即“ax2+2x+1>0“是真命题 ①.
当a=0 时,①不成立,
当a≠0时,要使①成立,必须,解得a>1,
故实数a的取值范围为a>1.
故答案为:a>1.
【点评】本题考查一元二次不等式的应用,注意联系对应的二次函数的图象特征,体现了等价转化和分类讨论的数学思想,属中档题.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中,以原点O为极点,x轴正半轴为极轴,建立极坐标系.曲线C的参数方程为(为参数),直线l的极坐标方程为,直线l与曲线C交于M,N两点,求MN的长.
参考答案:
曲线:,直线:,圆心到直线的距离为,所以弦长.
19. 中国人口已经出现老龄化与少子化并存的结构特征,测算显示中国是世界上人口老龄化速度最快的国家之一,再不实施“放开二胎”新政策,整个社会将会出现一系列的问题.若某地区2015年人口总数为45万,实施“放开二胎”新政策后专家估计人口总数将发生如下变化:从2016年开始到2025年每年人口比上年增加0.5万人,从20216年开始到2035年每年人口为上一年的99%.
(1)求实施新政策后第年的人口总数的表达式(注:2016年为第一年);
(2)若新政策实施后的2016年到2035年人口平均值超过49万,则需调整政策,否则继续实施.问到2035年后是否需要调整政策?(说明:0.9910=(1-0.01)10≈0.9)
参考答案:
(1);(2)详见解析.
试题分析:(1)分析题意将问题转化为等差数列等比数列的通项公式即可求解;(2)根据题意求得的值,即可得出结论.
20. 已知点为圆的圆心,是圆上动点,点在圆的半径上,且有点和上的点,满足
(1)当在圆上运动时,求点的轨迹方程;
(2)若斜率为的直线与圆相切,与(1)中所求点的轨迹教育不同的两点是坐标原点,且时,求的取值范围.
参考答案:
(1)由题意知中线段的垂直平分线,所以
所以点的轨迹是以点为焦点,焦距为2,长轴为的椭圆,
故点的轨迹方程式
(2)设直线
直线与圆相切
联立
所以或为所求.
21. 在极坐标系中,圆是以点为圆心,为半径的圆.
(Ⅰ)求圆的极坐标方程;
(Ⅱ)求圆被直线:所截得的弦长.
参考答案:
(1)圆C是将圆ρ=4cosθ绕极点按顺时针方向旋转而得到的圆,所以圆C的极坐标方程是ρ=4cos(θ+)…………………………………….5分
(2)将θ=﹣ 代入圆C的极坐标方程ρ=4cos(θ+),得ρ=2,
所以,圆C被直线l:θ=所截得的弦长,可将θ=﹣代入极坐标方程求得为ρ=2.即弦长为2……………………………………………………10分
22. (05年全国卷Ⅲ文)(14分)
设两点在抛物线上,是AB的垂直平分线,
(Ⅰ)当且仅当取何值时,直线经过抛物线的焦点F?证明你的结论;
(Ⅱ)当时,求直线的方程.
参考答案:
解析:(Ⅰ)∵抛物线,即,
∴焦点为…………………………………………1分
(1)直线的斜率不存在时,显然有……………3分
(2)直线的斜率存在时,设为k, 截距为b
即直线:y=kx+b 由已知得:
……5分
………7分
即的斜率存在时,不可能经过焦点………………………8分
所以当且仅当=0时,直线经过抛物线的焦点F……………9分
(Ⅱ)当时,
直线的斜率显然存在,设为:y=kx+b…………………10分
则由(Ⅰ)得:
……………11分
……………………………13分
所以直线的方程为,即………14分
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