河北省保定市满城县中学2022-2023学年高二数学理期末试卷含解析

河北省保定市满城县中学2022-2023学年高二数学理期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 阅读如图所示的程序框图，则输出的S＝(　　) A．45                              B．35 C．21                              D．15 参考答案： D 2. 若，则等于(   ) A.2             B. 0              C.－2             D.－4 参考答案： D 略 3. 抛物线的准线方程是，则的值为  （  ） A． B．           C．8 D．-8 参考答案： B 4. 若三点A（﹣1，0），B（2，3），C（0，m）共线，则m的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．±1 D．2 参考答案： A 【考点】三点共线． 【分析】由 三点A（﹣1，0），B（2，3），C（0，m）共线，可得，即（1，m）=λ?（3，3），由此求得m的值． 【解答】解：∵三点A（﹣1，0），B（2，3），C（0，m）共线， ∴， ∴（1，m）=λ?（3，3）=（3λ，3λ）， 解得 m=1， 故选A． 5. 如图（1），把棱长为1的正方体沿平面AB1D1和平面A1BC1截去部分后，得到如图（2）所示几何体，该几何体的体积为（　　） A． B．C． D． 参考答案： B 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积． 【分析】把棱长为1的正方体沿平面AB1D1和平面A1BC1截去部分后，得到几何体的体积：V=﹣﹣+． 【解答】解：把棱长为1的正方体沿平面AB1D1和平面A1BC1截去部分后，得到几何体的体积： V=﹣﹣+ =1×1×1﹣﹣+ =． 故选：B． 【点评】本题考查几何体的体积的求法，是中档题，考查推理论证能力、运算求解能力，考查转化化归思想、数形结合思想． 6. 在下列命题中，真命题的个数是（　　） ①若直线a，b和平面α满足a∥α，b∥α，则a∥b． ②若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α． ③若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则平面α∥平面γ． ④如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β． A．0 B．1 C．2 D．3 参考答案： B 【考点】空间中直线与平面之间的位置关系． 【专题】整体思想；综合法；空间位置关系与距离． 【分析】①根据线面平行的判定定理和性质定理进行判断即可． ②根据线面平行的定义进行判断． ③根据面面垂直的性质定理进行判断． ④根据面面垂直的判定定理进行判断． 【解答】解：①平行同一平面的两条直线不一定平行，故①错误， ②若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α或l与α相交，故②错误 ③垂直于同一平面的两个平面不一定平行，有可能相交，故③错误， ④命题的逆否命题为α内存在直线垂直平面β，则α⊥β，则逆否命题为真命题．则原命题为真命题，故④正确， 故正确的命题是④． 故选：B． 【点评】本题主要考查命题的真假判断，根据空间直线和平面，平面和平面平行或垂直的判定定理以及性质定理是解决本题的关键． 7. 如图是一个算法的流程图，则输出K的值是(　　) A. 6    B. 7    C. 16    D. 19 参考答案： D 8. 已知随机变量服从二项分布，即~B(n,p)且E=24，D=18，则n、p 的值为（       ）    A．92，         B．94，      C．96，       D. 96， 参考答案： D 略 9. 甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有（   ）        A．30种     B．12种     C． 6种      D．36种 参考答案： A 略 10. 如图所示，圆O的直径AB=6，C为圆周上一点，BC=3过C作圆的切线l，过A作l的垂线AD，垂足为D，则∠DAC=(     ) A．15° B．30° C．45° D．60° 参考答案： B 考点：弦切角． 专题：计算题． 分析：根据所给的圆的直径和BC的长，得到三角形的一个锐角是30°，根据同弧所对的圆周角等于弦切角，得到另一个直角三角形的角的度数，即为所求． 解答： 解：∵圆O的直径AB=6，C为圆周上一点，BC=3 ∴∠BAC=30°， ∠B=60°， ∵过C作圆的切线l ∴∠B=∠ACD=60°， ∵过A作l的垂线AD，垂足为D ∴∠DAC=30°， 故选B． 点评：本题考查弦切角，本题解题的关键是同弧所对的圆周角和弦切角相等和含有30°角的直角三角形的应用，本题是一个基础题． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 若函数，则　　     。 参考答案： 略 12. 若复数是纯虚数，则实数等于______. 参考答案： 1 略 13. 若三点，，在同一直线上，则实数等于             ． 参考答案： -9 略 14. 已知点P（﹣1，1）和点Q（2，2），若直线l：x+my+m=0与线段PQ没有公共点，则实数m的取值范围是　　． 参考答案： m＜﹣或m． 【考点】直线的斜率． 【分析】直线l：x+my+m=0即x+m（y+1）=0，令，可得直线经过定点M（0，﹣1）．利用斜率计算公式可得kPM=﹣2，kMQ=．根据直线l：x+my+m=0与线段PQ没有公共点，可得＜﹣2或．解出即可得出． 【解答】解：直线l：x+my+m=0即x+m（y+1）=0，令，解得x=0，y=﹣1．∴直线经过定点M（0，﹣1）． kPM==﹣2，kMQ==． ∵直线l：x+my+m=0与线段PQ没有公共点， ∴＜﹣2或． 解得m＜﹣或m． 故答案为：m＜﹣或m． 15. 设不等式的解集为M，函数的定义域为N，则N=   参考答案： （-1，0） 略 16. 某幼儿园的老师要给甲、乙、丙、丁4个小朋友分发5本不同的课外书，则每个小朋友至少分得1本书的不同分法数为______. 参考答案： 240 【分析】 先给其中一个小朋友2本，再均分剩余3本,列出式子求解即可. 【详解】先给其中一个小朋友2本，再均分剩余3本， 故所求分法数为. 故答案为：240 【点睛】本题主要考查排列组合的综合应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 17. 某同学在最近的五次模拟考试中，其数学成绩的茎叶图如图所示，则该同学这五次数学成绩的方差是______. 参考答案： 30.8. 【分析】 写出茎叶图中的5个数据，计算均值后再计算方差． 【详解】五个数据分别是：110，114，119，121，126，其平均值为， 方差为 故答案为：30.8 【点睛】本题考查茎叶图，考查方差的计算．读懂茎叶图是解题基础． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知直线，圆. （Ⅰ）证明：直线与圆相交； （Ⅱ）当直线被圆截得的弦长最短时，求的值.     参考答案： （Ⅰ）直线方程变形为， 由，得，所以直线恒过定点，      ………………………2分 又，故点在圆内部，所以直线与圆相交；………………………4分 （Ⅱ）当时，所截得的弦长最短，此时有，  ………………………6分 而，于是，解得.     ……………………8分   略 19. 如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，四边形ABCD是菱形，，，且AC，BD交于点O，E是PB上任意一点． （1）求证：； （2）若E为PB的中点，且二面角A-PB-D的余弦值为，求EC与平面PAB所成角的正弦值．   参考答案： （1）因为DP⊥平面ABCD，所以DP⊥AC， 因为四边形ABCD为菱形，所以BD⊥AC，又BD∩PD=D，∴AC⊥平面PBD，因为DE?平面PBD，∴AC⊥DE．          （4分） （2）连接OE，在△PBD中，EO∥PD， 所以EO⊥平面ABCD，分别以OA，OB，OE所在直线为x轴，y轴，z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，                        （5分） 设PD=t，则A（1，0，0），B（0，，0），C（﹣1，0，0）， E（0，0，），P（0，﹣，t）． 设平面PAB的一个法向量为（x，y，z）， 则 ，令， 得， 平面PBD的法向量（1，0，0）， 因为二面角A﹣PB﹣D的余弦值为，所以 ， 所以或（舍），                             （9分） 则 ∴， ∴EC与平面PAB所成角的正弦值为． （12分） 20. 如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，侧棱底面，垂直于和，，，是棱的中点． （Ⅰ）求证：面； （Ⅱ）求面与面所成二面角的余弦值．   参考答案： 解：（Ⅰ）以点A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则 ， ，，，，． 则． 设平面SCD的法向量是则 即 令，则，于是． ，． AM∥平面SCD． ……………………………………………………（5分） （Ⅱ）易知平面SAB的法向量为．设平面SCD与平面SAB所成的二面角为， 则，即． 平面SCD与平面SAB所成二面角的余弦值为．………………………………（12分）   略 21. 如右图，M（-2，0）和N（2，0）是平面上的两点，动点P满足： w.w.w.k.s.5.u.c.o.m           （1）.求点P的轨迹方程； （2）.若点P到点M距离是到点N距离的2倍，求点P横坐标. 参考答案： 解析：(Ⅰ)由椭圆的定义，点P的轨迹是以M、N为焦点，长轴长2a=6的椭圆. 因此半焦距c=2，长半轴a=3，从而短半轴b=， 所以椭圆的方程为 (2) a=3 ,c=2  e=  由得 22. （本小题满分12分） 设正项等比数列的前项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）令，求数列的前项和为． 参考答案： （1）；（2）