江苏省徐州市铜山县刘集中心中学2022-2023学年高二数学理期末试题含解析

江苏省徐州市铜山县刘集中心中学2022-2023学年高二数学理期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 函数y=1+3x﹣x3有（　　） A．极小值﹣1，极大值3 B．极小值﹣2，极大值3 C．极小值﹣1，极大值1 D．极小值﹣2，极大值2 参考答案： A 【考点】函数在某点取得极值的条件． 【分析】利用导数工具去解决该函数极值的求解问题，关键要利用导数将原函数的单调区间找出来，即可确定出在哪个点处取得极值，进而得到答案． 【解答】解：∵y=1+3x﹣x3， ∴y′=3﹣3x2， 由y′=3﹣3x2＞0，得﹣1＜x＜1， 由y′=3﹣3x2＜0，得x＜﹣1，或x＞1， ∴函数y=1+3x﹣x3的增区间是（﹣1，1），减区间是（﹣∞，﹣1），（1，+∞）． ∴函数y=1+3x﹣x3在x=﹣1处有极小值f（﹣1）=1﹣3﹣（﹣1）3=﹣1， 函数y=1+3x﹣x3在x=1处有极大值f（1）=1+3﹣13=3． 故选A． 2. 现要制作一个圆锥形漏斗，其母线长为t，要使其体积最大，其高为（　　） A．. B．． C．.． D．. 参考答案： B 【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）． 【分析】设圆锥形漏斗的高为h，我们可以表示出底面半径r，进而得到圆锥体积的表达式，利用导数法，易得到体积取最大值时，高h与母线l之间的关系． 【解答】解：设圆锥形漏斗的高为h，则圆锥的底面半径为，（0＜h＜t） 则圆锥的体积V=?π（t2﹣h2）?h=﹣h3+h 则V′=﹣πh2+， 令V′=0 则h=±t ∵0＜h＜t ∴当高h=t时，圆锥的体积取最大值， 故选：B． 3. 设A、B、C、D是空间不共面的四点，且满足，则?BCD是（    ） A．钝角三角形 B．锐角三角形         C．直角三角形 D．不确定 参考答案： B 4. 已知为实数，且，则“”是“”的 (  )    A．充分非必要条件                   B．必要非充分条件    C．充要条件                         D．非充分非必要条件 参考答案： B 略 5. （5分）如果复数z满足（2+i）z=5i（i是虚数单位），则z（　　） 　 A． 1+2i B． ﹣1+2i C． 2+i D． 1﹣2i 参考答案： A 6. 已知函数，若曲线在点处的切线方程为，则实数a的取值为（   ） A. －2 B. －1 C. 1 D. 2 参考答案： B 【分析】 求出函数的导数，利用切线方程通过f′（0），求解即可； 【详解】f （x）的定义域为（﹣1，+∞）， 因为f′（x）a，曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y＝2x， 可得1﹣a＝2，解得a＝﹣1， 故选：B． 【点睛】本题考查函数的导数的几何意义，切线方程的求法，考查计算能力． 7. 函数的定义域是  （    ） A        B         C                D  参考答案： D 8. 数列{an}：2,5,11,20，x,47，…中的x等于                            (　 　) A．28     B．32    C．33 D．27 参考答案： B 9. 利用数学归纳法证明“”时，从“”变到“”时，左边应增乘的因式是 A. B. C. D. 参考答案： B 10. 抛物线y2=4x上两点A、B到焦点的距离之和为7，则A、B到y轴的距离之和为（　　） A．8 B．7 C．6 D．5 参考答案： D 【考点】抛物线的简单性质． 【分析】根据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，列出方程求出A、B到y轴的距离之和． 【解答】解：抛物线y2=4x的焦点F（1，0），准线方程x=﹣1 设A（x1，y1），B（x2，y2） ∴|AF|+|BF|=x1+1+x2+1=7 ∴x1+x2=5， ∴A、B到y轴的距离之和为5， 故选：D． 　 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 若函数f(x)是偶函数,且在[0,+∞)上是增函数,若,则满足的实数x的取值范围是__________． 参考答案： 【分析】 根据偶函数性质得出在上是减函数，由此可得不等式． 【详解】∵是偶函数，且在上是增函数，， ∴在上减函数，． 又， ∴，解得且． 故答案为． 【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性，由奇偶性和单调性结合起来解函数不等式，这种问题一类针对偶函数，一类针对奇函数，它们有固定的解题格式．如偶函数在上是增函数，可转化为，奇函数在上是增函数，首先把不等式转化为再转化为． 12. 在长方体中，,,则与所成角的余弦值为 。 参考答案： 13. 双曲线:的左右焦点分别为，过F1斜率为的直线与双曲线的左右两支分别交于点P、Q，若，则该双曲线的离心率是_________． 参考答案： 【分析】 根据，由定义得，由余弦定理得的方程求解即可 【详解】根据，由双曲线定义得，又直线的斜率为，故，中由余弦定理得 故答案为 【点睛】本题考查双曲线定义及几何性质，余弦定理，运用定义得是本题关键，是中档题 14. 某次数学测验，12名同学分数的茎叶图如图：则这些分数的中位数是　 　． 参考答案： 80 【考点】茎叶图． 【分析】根据茎叶图求出中位数即可． 【解答】解：由茎叶图得这组数据是： 68，69，72，75，78，80，80，83，83，88，91，92， 最中间的2个数是80，80， 故中位数是：80， 故答案为：80． 15. 准线方程为x=1的抛物线的标准方程是           参考答案： 16. 等差数列{an}的前n项和．则此数列的公差d=_______． 参考答案： 2 【分析】 利用等差数列前n项和，求出的值，进而求出公差. 【详解】当时，， 当时，， 所以. 故答案为：. 【点睛】本题考查利用数列的前项和求数列的公差，考查基本运算求解能力，属于容易题. 17. 2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有           （用数字回答）                  参考答案： 36  略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知直线l1为曲线y=x2+x﹣2在点（1，0）处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1⊥l2． （1）求直线l2的方程； （2）求直线l1、l2和x轴所围成的三角形的面积． 参考答案： 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程． 【分析】（1）欲求直线l2的方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合l1⊥l2即可求出切线的斜率．从而问题解决． （2）先通过解方程组得直线l1和l2的交点的坐标和l1、l2与x轴交点的坐标，最后根据三角形的面积公式教育处所求三角形的面积即可． 【解答】解：（1）y′=2x+1．直线l1的方程为y=3x﹣3． 设直线l2过曲线y=x2+x﹣2上 的点B（b，b2+b﹣2），则l2的方程为y=（2b+1）x﹣b2﹣2 因为l1⊥l2，则有2b+1=﹣，所以b=﹣ 所以直线l2的方程为y=﹣…6分 （2）解方程组得， 所以直线l1和l2的交点的坐标为（，﹣） l1、l2与x轴交点的坐标分别为（1，0）、（﹣，0）． 所以所求三角形的面积S=…12分． 19. 已知函数 (1) 求在点处的切线方程； (2) 证明: 曲线与曲线有唯一公共点； (3) 设，比较与的大小, 并说明理由. 参考答案： .解：(1) ，则， 点处的切线方程为：, (2) 令 ，，则， 且，， 因此，当时，，单调递减；当时，，单调递增. 所以，所以在上单调递增，又，即函数有唯一零点， 所以曲线与曲线有唯一公共点. (3) 设 令且，则 ，所以 在上单调增，且 ， 因此，在上单调递增，而，所以在上 即当时，且， 所以， 所以当时，   略 20. ．（本小题满分14分） 已知函数，函数是区间[1，1]上的减函数.     ⑴ 求的最大值；     ⑵ 若上恒成立，求t的取值范围；     ⑶ 讨论关于的方程的根的个数． 参考答案： 22．解：  ⑴ ， 上单调递减， 在[-1，1]上恒成立，，故的最大值为…4分   ⑵ 由题意 ∴＞（其中），恒成立， 令， 则， 恒成立，                                                                ……9分    ⑶ 由                                                        令 当 上为增函数； 当时， 为减函数； 当 而                                                                 方程无解； 当时，方程有一个根； 当时，方程有两个根. …………14分 略 21. 在平面直角坐标系中，椭圆的左焦点为，左顶点为，上、下顶点分别为． （Ⅰ）若直线经过中点M，求椭圆E的标准方程； （Ⅱ）若直线的斜率为1，与椭圆的另一交点为D，椭圆的右焦点为，求三角形的面积． 参考答案： （Ⅰ）由题意，，     又，所以，直线：．                  …………………2分     M为的中点，所以，     代入直线：，则，                         …………………4分     由，所以，     所以椭圆E的标准方程是．                          …………………6分 （Ⅱ）因为直线的斜率为，则，所以椭圆，………8分 又直线：， 由 解得（舍），或，                                         所以． ………………………………10分 因为， 所以三角形的面积为．…………………12分 22. 设函数f（x）=alnx+x2﹣bx（a≠1），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为0， （1）求b； （2）若存在x0≥1，使得f（x0）＜，求a的取值范围． 参考答案： 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程． 【分析】（1）利用导数的几何意义即可得出； （2）对a分类讨论：当a时，当a＜1时，当a＞1时，再利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出． 【解答】解：（1）f′（x）=（x＞0）， ∵曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为0， ∴f′（1）=a+（1﹣a）×1﹣b=0，解得b=1． （2）函数f（x）的定义域为（0，+∞），由（1）可知：f（x）=alnx+， ∴=． ①当a时，则， 则当x＞1时，f′（x）＞0， ∴函数f（x）在（1，+∞）单调递增， ∴存在x0≥1，使得f（x0）＜的充要条件是，即， 解得； ②当a＜1时，则， 则当x∈时，f′（x）＜0，函数f（x）在上单调递减； 当x∈时，f′（x）＞0，函数f（x）在上单调递增． ∴存在x0≥1，使得f（x0）＜