江苏省南京市浦口第三中学高二数学理联考试卷含解析

江苏省南京市浦口第三中学高二数学理联考试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 函数f(x)的定义域为(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点                                                   (　　) A．1个          B．2个          C．3个          D．4个 参考答案： A 略 2. 已知椭圆的对称轴与两条坐标轴重合，且长轴长的短轴长的2倍，抛物线的焦点与椭圆的一个顶点重合，则椭圆的标准方程为（）． A． B． C．或 D．或 参考答案： D 解：由于椭圆长轴长是短轴长的倍，即有，又抛物线的焦点与椭圆的一个顶点重合，得椭圆经过点， 若焦点在轴上，则，，椭圆方程为， 若焦点在轴上，则，，椭圆方程为， ∴椭圆的标准方程为或． 故选． 3. 把两半径为2的实心铁球熔化成一个实心铁球，则这个大球的半径应为 A． 4        B．          C．            D． 参考答案： C 略 4. 若，在它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数有（      ）个 A   0              B   1                  C   2             D   4 参考答案： C 5. 下列等于1的积分是 （    ） A．        B． C．      D． 参考答案： C 6. 某莲藕种植塘每年的固定成本是1万元，每年最大规模的种植量是8万斤，每种植一斤藕，成本增加0.5元.如果销售额函数是 （x是莲藕种植量，单位：万斤；销售额的单位：万元，a是常数），若种植2万斤，利润是2.5万元，则要使利润最大，每年需种植莲藕（    ） A. 6万斤 B. 8万斤 C. 3万斤 D. 5万斤 参考答案： A 【分析】 设销售的利润为，得，当时，，解得，得出函数，利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解. 【详解】由题意，设销售的利润为，得， 即，当时，，解得， 故，则， 可得函数在上单调递增，在上单调递减，所以时，利润最大， 故选A. 【点睛】本题主要考查了导数在实际问题中的应用，其中解答中认真审题，求得函数的解析式，利用导数得出函数的单调性和最值是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题. 7. 设、分别为具有公共焦点、的椭圆和双曲线的离心率，是两曲线的一个公共点，且满足,则的值为（    ） A. B.2 C. D.1 参考答案： A 8. 若，且，则下列不等式中，恒成立的是（    ） A． B．  C． D． 参考答案： D 9. 如图，正四棱锥的所有棱长相等，E为PC的中点，则 异面直线BE与PA所成角的余弦值是（     ）    A．                                    B．    C．                                  D． 参考答案： D 略 10. 如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是A1D1，A1B1的中点，过直线BD的平面平面，则平面截该正方体所得截面的面积为（    ） A. B. C. D. 参考答案： B 【分析】 取的中点为，可证得平面平面，即的面积即为所求，然后利用梯形的面积公式求解即可. 【详解】 取的中点为. 易知，，所以四边形为平行四边形，所以. 又和为平面的两条相交直线，所以平面平面，即的面积即为所求. 由，，所以四边形为梯形，高为. 所以面积为：. 故选B. 【点睛】本题主要考查的知识点是空间立体几何中截面的形状的判断，面面平行性质，四棱柱的结构特征，解答本题的关键是画出截面，并分析其几何特征，属于中档题. 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 如果圆柱轴截面的周长l为定值，则体积的最大值为______________； 参考答案： 略 12. 命题“若，则”的否命题是           （填：真、假）命题. 参考答案： 假 命题的否命题为：若，则， 取可得该否命题为假命题.   13. 若是上的增函数，且，设 ，若“”是“的充分不必要条件，则实数的取值范围是______. 参考答案： 14. 在极坐标系中，已知点（1，）和,则、两点间的距离是       ． 参考答案： 略 15. 用更相减损术求38与23的最大公约数为              参考答案： 1 16. 若x＞0，y＞0，且log2x+log2y=2，则的最小值为　   　． 参考答案： 17. 已知在空间四边形OABC中， ，，，点M在OA上，且OM=3MA，N为BC中点，用 ，，表示，则等于　     　． 参考答案：   【考点】空间向量的基本定理及其意义． 【分析】根据题意画出图形，结合图形，利用空间向量的线性运算法则，用、和表示出即可． 【解答】解：如图所示， 空间四边形OABC中，， ∵点M在OA上，且OM=3MA， ∴=； 又N为BC中点， ∴=（+） ∴=﹣ =（+）﹣ =﹣++． 故答案为：． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 椭圆的中心是原点O，它的短轴长为，相应于焦点（）的准线与轴相交于点A，|OF|=2|FA|，过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点. （Ⅰ）求椭圆的方程及离心率；    （Ⅱ）若，求直线PQ的方程。 （Ⅰ）解：由题意，可设椭圆的方程为.由已知得解得所以椭圆的方程为，离心率. （Ⅱ）解：由（1）可得A（3，0）.设直线PQ的方程为.由方程组得依题意，得. 设，则， .     由直线PQ的方程得.于是.    ∵，∴. 得，从而. 所以直线PQ的方程为或. 参考答案： 略 19. 如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AC=4，BC=3，AB=5，AA1=4，点D是AB的中点． （1）求证：AC1∥平面CDB1； （2）求直线AB1与平面BB1C1C所成角的正切值． 参考答案： 【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定． 【专题】证明题；转化思想；综合法；空间角． 【分析】（1）设BC1∩CB1于点O，连结OD，则OD，由此能证明AC1∥平面CDB1． （2）推导出AC⊥BC，AC⊥C1C，从而∠AB1C是直线AB1与平面B1BCC1所成角，由此能求出直线AB1与平面BB1C1C所成角的正弦值． 【解答】证明：（1）如图，设BC1∩CB1于点O，连结OD， ∵O、D分别是BC1和AB的中点，∴OD， 又∵OD?平面CDB1，AC1?平面CDB1， ∴AC1∥平面CDB1． （2）∵AC=4，BC=2，AB=5，∴∠ACB=90°，即AC⊥BC， 在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，∴AC⊥C1C， 又BC∩CC1=C，∴AC⊥平面BCC1B1， ∴直线B1C是斜线AB1在平面B1BCC1上的射影， ∴∠AB1C是直线AB1与平面B1BCC1所成角， 在Rt△AB1C中，B1C=5，AC=4， ∴tan∠AB1C=， 即直线AB1与平面BB1C1C所成角的正弦值为． 【点评】本题考查线面平行的证明，考查直线面角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意综合法的合理运用． 20. 设是公比为 q?的等比数列，且成等差数列． (1)求q的值； (2)设是以2为首项，q为公差的等差数列，求的通项公式． 参考答案： 略 21. 如图，长方体中，，，，设E为的中点，F为的中点，在给定的空间直角坐标系D－xyz下，试写出A，B，C，D，，，，，E，F各点的坐标． 参考答案： 解析：设原点为O，因为A，B，C，D这4个点都在坐标平面 xOy内， 它们的竖坐标都是0，而它们的横坐标和纵坐标可利用，写出， 所以 A（3，0，0），B（3，5，0），C（0，5，0），D（0，0，0）； 因为平面与坐标平面xOy平行，且，所以A'，B'，，D'的竖坐标 都是3，而它们的横坐标和纵坐标分别与A，B，C，D的相同，所以（3，0，3），（3，5，3），（0，5，3），（0，0，3）； 由于E分别是中点，所以它在坐标平面xOy上的射影为DB的中点，从而E的横坐标和纵坐标分别是的，同理E的竖坐标也是的竖坐标的，所以E（）； 由F为中点可知，F在坐标平面xOy的射影为BC中点，横坐标和纵坐标分别为和5，同理点F在z轴上的投影是AA'中点，故其竖坐标为，所以F（，5，）． 22. （本小题满分14分）已知椭圆的一个顶点为A(0，－1)，焦点在x轴上，离心率 (1)求椭圆标准方程； (2)设直线l：y＝x＋m，直线与(1)中的椭圆有两个不同的交点M、N，求m的取值范围； （3）直线：与(1)中的椭圆有两个不同的交点，当的面积取到最大值时，求直线的方程。（是坐标原点） 参考答案： （1），又，解得：…………3分 所求椭圆的方程为＋y2＝1.…………………………………………4分 (2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，联立方程组得 ∴4x2＋6mx＋3m2－3＝0， …………………………………………6分 直线l与椭圆有两个不同的交点， 解得：……………………………………………………8分 （3）直线方程：，代入椭圆方程，整理得： ，恒成立。 设，则…………9分 ……12分 令，则，令是减函数 所以，当时，，此时方程：  ………14分