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广西壮族自治区桂林市二塘中学高二数学理模拟试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知函数f(x)=ax2+c,且=2,则a的值为( )
A.1 B. C.-1 D. 0
参考答案:
A
略
2. 若i为虚数单位,对于实数a、b,下列结论正确的是( )
A.a+bi是实数 B.a+bi是虚数 C.a+bi是复数 D.a+bi≠0
参考答案:
C
略
3. 已知成等差数列,成等比数列,则=
A. B.
C. D.
参考答案:
A
略
4. 一个几何体的三视图及其尺寸如下,则该几何体的表面积及体积为( ).
A., B., C., D.以上都不正确
参考答案:
A
解:由三视图知,该几何体为圆锥,
表面积
.
体积
.
故选.
5. 若直线的倾斜角为,则实数的值为【 】.
A. B. C. D.或
参考答案:
C
略
6. 函数的定义域为
(A)(0,8] (B)(2,8]
(C)(-2,8] (D)[8,+∞)
参考答案:
C
略
7. 在图21-6的算法中,如果输入A=138,B=22,则输出的结果是( )
图21-6
A.2 B.4 C.128 D.0
参考答案:
A
8. 设f(x)=ax,g(x)=x,h(x)=logax,a满足loga(1-a2)>0,那么当x>1时必有 ( )
A.h(x)<g(x)<f(x) B.h(x)<f(x)<g(x) C.f(x)<g(x)<h(x) D.f(x)<h(x)<g(x)
参考答案:
B
9. 若点O和点分别是双曲线的中心和左焦点,点P为双曲线右支上的任意一点,则的取值范围为( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
10. 某人有人民币a元作股票投资,购买某种股票的年红利为24%(不考虑物价因素且股份公司不再发行新股票,该种股票的年红利不变),他把每年的利息和红利都存入银行,若银行年利率为6%,则n年后他所拥有的人民币总额为______元(不包括a元的投资)( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,二面角C1-AB-C的平面角等于 .
参考答案:
12. 设,则 .
参考答案:
13. 在△ABC中,A=120°,AB=5,BC=,则AC的值为________.
参考答案:
2
14. 若命题“存在使得成立”为假命题,则实数的取值范围是________
参考答案:
15. 设曲线C的参数方程为(θ为参数),直线l的方程为x﹣3y+2=0,则曲线C上到直线l的距离为的点的个数为 个.
参考答案:
4
【考点】QH:参数方程化成普通方程.
【分析】由题意将圆C和直线l先化为一般方程坐标,然后再计算曲线C上到直线l距离为的点的个数.
【解答】解:化曲线C的参数方程为普通方程:(x﹣2)2+(y﹣1)2=9,
圆心(2,1)到直线x﹣3y+2=0的距离d==<3,
直线和圆相交,过圆心和l平行的直线和圆的2个交点符合要求,
又+<3
在直线l的另外一侧有圆上的2个点符合要求,
故答案为4
16. 某校有老师200人,男学生1200人,女学生1000人,现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为n的样本,已知从女学生中抽取的人数为80人,则n= .
参考答案:
192
17. 如果执行下面的程序框图,那么输出的S等于_____________.
参考答案:
3
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AB⊥侧面BB1C1C,E是CC1上的中点,且BC=1,BB1=2.
(Ⅰ)证明:B1E⊥平面ABE
(Ⅱ)若三棱锥A﹣BEA1的体积是,求异面直线AB和A1C1所成角的大小.
参考答案:
【考点】异面直线及其所成的角;直线与平面垂直的判定.
【分析】(Ⅰ)连接BE,只需证明BE⊥B1E,且AB⊥B1E=B,即可得到B1E⊥平面ABE;
(Ⅱ)由V=V=V==,得AB=,异面直线AB和A1C1所成角为∠CAB,即可求解.
【解答】证明:(Ⅰ)连接BE,∵BC=1 BB1=2,E是CC1上的中点
△BCE,△B1C1E为等腰直角三角形,即,∴,即BE⊥B1E
∵AB⊥面BB1C1C.B1E?面ABC,∴B1E⊥AB,且AB∩BE=B,
∴B1E⊥平面ABE;
解:(Ⅱ)∵AB∥A1B1,∴A1、B1到面ABE的距离相等,
由(Ⅰ)得BE=B1E=
故V=V=V
==
解得AB=
∵AC∥A1C1,∴异面直线AB和A1C1所成角为∠CAB,
在Rt△ABC中,tan,∴∠CAB=30°
∴异面直线AB和A1C1所成角的大小30°.
19. 设椭圆的左右顶点分别为A,B,点P在椭圆上且异于A,B两点,O为坐标原点.
(1)若直线AP与BP的斜率之积为,求椭圆的离心率;
(2)若|AP|=|OA|,证明直线OP的斜率k满足|k|>.
参考答案:
【考点】圆锥曲线的综合;椭圆的简单性质.
【分析】(1)设P(x0,y0),则,利用直线AP与BP的斜率之积为,即可求得椭圆的离心率;
(2)依题意,直线OP的方程为y=kx,设P(x0,kx0),则,进一步可得,利用AP|=|OA|,A(﹣a,0),可求得,从而可求直线OP的斜率的范围.
【解答】(1)解:设P(x0,y0),∴①
∵椭圆的左右顶点分别为A,B,∴A(﹣a,0),B(a,0)
∴,
∵直线AP与BP的斜率之积为,∴
代入①并整理得
∵y0≠0,∴a2=2b2
∴
∴
∴椭圆的离心率为;
(2)证明:依题意,直线OP的方程为y=kx,设P(x0,kx0),∴
∵a>b>0,kx0≠0,∴
∴②
∵|AP|=|OA|,A(﹣a,0),
∴
∴
∴
代入②得
∴k2>3
∴直线OP的斜率k满足|k|>.
20. (本小题满分10分)袋中有大小、形状相同的红、黑球各一个,现依次有放回地随机摸取3次,每次摸取一个球.
(1)试问:一共有多少种不同的结果?请列出所有可能的结果;
(2)若摸到红球时得2分,摸到黑球时得1分,求3次摸球所得总分为5的概率.
参考答案:
21. 求证:
(1)a2+b2+c2≥ab+ac+bc;
(2)+>2+.
参考答案:
【考点】R6:不等式的证明.
【分析】(1)利用基本不等式,即可证得a2+b2+c2≥ab+bc+ac;
(2)寻找使不等式成立的充分条件即可.
【解答】证明:(1)∵a2+b2≥2ab,a2+c2≥2ac,b2+c2≥2bc,
∴a2+b2+c2≥ab+bc+ac;,
(2)要证+>2+,
只要证(+)2>(2+)2,
只要证13+2>13+2,
只要证>,
只要证42>40,
显然成立,
故+>2+.
【点评】本题考查均值不等式的应用,考查不等式的证明方法,用分析法证明不等式,关键是寻找使不等式成立的充分条件.
22. 在直角坐标xOy中,圆C1:x2+y2=4,圆C2:(x﹣2)2+y2=4.
(Ⅰ)在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,分别写出圆C1,C2的极坐标方程,并求出圆C1,C2的交点坐标(用极坐标表示);
(Ⅱ)求圆C1与C2的公共弦的参数方程.
参考答案:
【考点】简单曲线的极坐标方程;直线的参数方程.
【分析】(I)利用,以及x2+y2=ρ2,直接写出圆C1,C2的极坐标方程,求出圆C1,C2的交点极坐标,然后求出直角坐标(用坐标表示);
(II)解法一:求出两个圆的直角坐标,直接写出圆C1与C2的公共弦的参数方程.
解法二利用直角坐标与极坐标的关系求出,然后求出圆C1与C2的公共弦的参数方程.
【解答】解:(I)由,x2+y2=ρ2,
可知圆,的极坐标方程为ρ=2,
圆,即的极坐标方程为ρ=4cosθ,
解得:ρ=2,,
故圆C1,C2的交点坐标(2,),(2,).
(II)解法一:由得圆C1,C2的交点的直角坐标(1,),(1,).
故圆C1,C2的公共弦的参数方程为
(或圆C1,C2的公共弦的参数方程为)
(解法二)将x=1代入得ρcosθ=1
从而于
是圆C1,C2的公共弦的参数方程为.
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