2022年北京新英才学校高三数学理下学期期末试卷含解析

2022年北京新英才学校高三数学理下学期期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 设变量满足约束条件，则目标函数的最大值为 A．12 B．10       C．8      D． 【解析】，做出可行域如图，又得，当直线截距最小是时，最大，由图象可知当直线经过点时，直线截距最小，此时最大为，选B. 参考答案： ，做出可行域如图，又得，当直线截距最小是时，最大，由图象可知当直线经过点时，直线截距最小，此时最大为，选B. 【答案】B 2. 一个长方体被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如下图所示（单位：cm)，则该几何体的体积为 (A) 120 cm2    (B)100 cm2    　 (C)80 cm2　　　　 (D)60 cm2 参考答案： B 略 3. 是定义在上的非负可导函数，且满足，对任意的正数，若，则必有             （      ） A．                         B．      C．                         D．  参考答案： C 4. 给出如下四个命题：    ①若“且”为假命题，则、均为假命题； ②命题“若，则”的否命题为“若，则”； ③“”的否定是“”； ④等比数列中，首项，则数列是递减数列的充要条件是公比； 其中不正确的命题个数是 A．4                  B．3              C．2                 D．1 参考答案： C 试题分析：对于①，命题可能是一真一假，假命题；对于②命题“若，则”的否命题为“若，则”，正确；对于③，“”的否定是“，”，错误； 对于④，由于数列是递减的等比数列，，当时，可得 ，当是递减数列，可得，正确，故答案为C. 考点：命题真假性的判断. 5. 设实数，满足，，，则下列不等式一定成立的是 A．          B．         C．         D． 参考答案： 答案：C 6. 若，则 （    ） A．         B．       C．       D． 参考答案： D 7. 已知函数f(x)为R上的奇函数，当x＜0时，，则xf(x)≥0的解集为 A．[-1，0)∪[1，+∞)  B．(-∞，-1]∪[1，+∞) C．[-1，0]∪[1，+∞)  D．(-∞，-1]∪{0}∪[1，+∞) 参考答案： D 8. 已知 A. B. C. D. 参考答案： C 略 9. 已知两个相邻极值点的横坐标差的绝对值等于，当时，函数f(x)取得最小值，则的值为（    ） A. B. C. D. 参考答案： A 【分析】 根据两个相邻极值点的横坐标差的绝对值等于,可求得周期与,再代入分析的值即可. 【详解】因为两个相邻极值点的横坐标差的绝对值等于可得周期为,故. 故,又当时,函数取得最小值, 故,又,故. 故选：A 【点睛】本题主要考查了根据三角函数图像的性质求解参数的问题,需要根据题意分析所给的条件与周期等的关系列式求解,属于基础题. 10. 已知数列是等比数列，且，则的值为（     ） A .        B .       C .        D . 参考答案： A 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 若两个非零向量满足，则向量与的夹角是　　． 参考答案： 120° 【考点】数量积表示两个向量的夹角． 【分析】将已知等式平方得到的模的关系及，然后利用向量的数量积公式求出的夹角． 【解答】解： ∵== ∴， ∴（+）?（﹣）=﹣2||2， 设的夹角为θ cosθ= ∵θ∈[0°，180°] ∴θ=120° 故答案为120° 【点评】求两个向量的夹角，一般利用向量的数量积公式来求出夹角的余弦，进一步求出夹角，但一定注意向量夹角的范围为[0°，180°] 12. 某食品企业一个月内被消费者投诉的次数用表示，椐统计，随机变量的概率分布如下图，则的数学期望为        。 0 1 2 3       参考答案： 1.7 13. 已知集合，，若，则   ▲   ． 参考答案： 略 14. 如图，已知和是圆的两条弦，过点作圆的切线与的延长线相交于.过点作的平行线与圆交于点,与相交于点,,,,则线段的长为            . 参考答案： 如图连结BC，BE，则∠1=∠2，∠2=∠A ，又∠B=∠B，∽，,代入数值得BC=2，AC=4，又由平行线等分线段定理得,解得CD=. 15. 已知函数f（x）是定义在R上且周期为4的偶函数，当x∈[2，4]时，，则的值为　　． 参考答案： 【考点】3Q：函数的周期性． 【分析】由函数的奇偶性与周期性把f（）转化为求f（）的值求解． 【解答】解：∵函数f（x）是定义在R上且周期为4的偶函数， ∴， 又当x∈[2，4]时，， ∴f（）=f（）=． 故答案为：． 【点评】本题考查函数的周期性和奇偶性的应用，考查数学转化思想方法，是基础题． 16. 今要在一个圆周上标出一些数，第一次先把圆周二等分，在这两个分点处分别标上1，如图（1）所示；第二次把两段半圆弧二等分，在这两个分点处分别标上2，如图（2）所示；第三次把4段圆弧二等分，并在这4个分点处分别标上3，如图（3）所示.如此继续下去，当第n次标完数以后，这圆周上所有已标出的数的总和是          ． 参考答案： 17. 已知，且为第二象限角，则的值为             ． 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋2Sn·Sn－1＝0(n≥2)， a1＝. (Ⅰ) 求证：{}是等差数列； （Ⅱ）求an表达式； （Ⅲ）若bn＝2(1－n)an (n≥2)，求证：b22＋b32＋…＋bn2<1. 参考答案： （Ⅰ）………………………………………4分 （Ⅱ）………………………….8分 （Ⅲ）， …………………………….12分 19. （本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲 已知函数f(x)＝| x+3|－|x－2|. ①求不等式f(x)≥3的解集； ②若f(x) ≥ |a－4|有解，求a的取值范围． 参考答案： (1)   [1,  + ) ……… 3分 (2)  |a－4|≤5 ∴-1≤a≤9……… 7分 20. （本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲 如图，AB、CD是圆的两条平行弦，BE//AC，BE交CD于E、交圆于F，过A点的切线交DC的延长线于P，PC=ED=1，PA=2． （I）求AC的长； （II）求证：BE＝EF． 参考答案： （I），，        …………（2分） 又， ，，                       …………（4分），                       …………（5分） （II），，而，     …………（8分） ，．                        …………（10分） 21. 在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且． （1）求角A；         （2）若 ，，求的最小值．   参考答案： 解：（1），…………2分 即，…………3分 ∴，…………5分 ∴．…………6分 ∵，∴.…………7分 （2），…………8分 ．…………10分 ∵，∴， ∴．从而．…………11分 ∴当＝1，即时，取得最小值．…………13分 故．…………14分   略 22. 在某娱乐节目的一期比赛中，有6位歌手（1至6号）登台演出，由现场的百家大众媒体投票选出最受欢迎的歌手，各家媒体独立地在投票器上选出3位出彩候选人，其中媒体甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，另在2号至6号中随机的选2名；媒体乙不欣赏2号歌手，他必不选2号；媒体丙对6位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至6号歌手中随机的选出3名． （Ⅰ）求媒体甲选中3号且媒体乙未选中3号歌手的概率； （Ⅱ）X表示3号歌手得到媒体甲、乙、丙的票数之和，求X的分布列及数学期望． 参考答案： （Ⅰ）设A表示事件：“媒体甲选中3号歌手”，事件B表示“媒体乙选中3号歌手”，事件C表示“媒体丙选中3号歌手”， 媒体甲选中3号且媒体乙未选中3号歌手的概率： P（A）=P（A）（1﹣P（B）） （Ⅱ）P（C）=，由已知得X的可能取值为0，1，2，3，