2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市建成中学高三数学理模拟试题含解析

2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市建成中学高三数学理模拟试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知函数f（x）=asinx﹣bcosx（a，b为常数，a≠0，x∈R）的图象关于x=对称，则函数y=f（﹣x）是（　　） A．偶函数且它的图象关于点（π，0）对称 B．偶函数且它的图象关于点对称 C．奇函数且它的图象关于点对称 D．奇函数且它的图象关于点（π，0）对称 参考答案： D 【考点】两角和与差的正弦函数；正弦函数的图象． 【分析】根据函数f（x）的对称性求出b=﹣a，然后求出函数的解析式，根据三角函数的性质进行判断即可． 【解答】解：∵函数f（x）的图象关于直线对称， ∴f（）=（a﹣b）=， 平方得a2+2ab+b2=0， 即（a+b）2=0， 则a+b=0，b=﹣a， 则f（x）=asinx+acosx=sin（x+），又a≠0， 则=sin（﹣x+）=sin（π﹣x）=sinx为奇函数， 且图象关于点（π，0）对称， 故选：D． 【点评】本题主要考查三角函数的性质的应用，根据函数的对称性求出b=﹣a是解决本题的关键． 2. 若，则（   ） Ａ.       Ｂ.      Ｃ.       Ｄ.  参考答案： D 3. 如图，是山的高，一辆汽车在一条水平的公路上从正东方向往正西方向行驶，在点处时测得点的仰角为30°，行驶300m 后到达处，此时测得点在点的正北方向上，且测得点的仰角为45°，则此山的高（    ） A．        B．        C．       D． 参考答案： C 4. 定义域为的偶函数满足对任意，有，且当 时，，若函数在上至少有三个零点，则的取值范围是（     ） A．        B．         C． D． 参考答案： B 5. 的展开式中含的项的系数为 A．4      B. 5      C. 6          D．7 参考答案： B 略 6. 不等式组的解集记为D.有下面四个命题： ，， ， ，     . A．，         B．，       C.，         D．， 参考答案： D 首先作出不等式组所表示的平面区域， 为直线的左下方和直线的右上方的公共部分， 可以求得目标函数的值域为， 与各命题的内容作比较，从而得出是正确的，故选D.   7. 命题p：若?＞0，则与的夹角为锐角；命题q：若函数f（x）在（﹣∞，0]和（0，+∞）上都是减函数，则f（x）在（﹣∞，+∞）上是减函数，下列说法中正确的是（　　） 　 A． “p或q”是真命题 B．￢p为假命题 C． “p或q”是假命题 D． ￢q为假命题 参考答案： B 略 8. 执行如图所示的程序框图，则输出的M的值是(     ) A．2 B． C．﹣1 D．﹣2 参考答案： C 【考点】程序框图． 【专题】算法和程序框图． 【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量M的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 【解答】解：当i=1时，满足进行循环的条件，执行循环体后M=﹣1，i=2； [来源:学,科,网] 当i=2时，满足进行循环的条件，执行循环体后M=，i=3； 当i=3时，满足进行循环的条件，执行循环体后M=2，i=4； 当i=4时，满足进行循环的条件，执行循环体后M=﹣1，i=5； 当i=5时，不满足进行循环的条件， 故输出的M值为﹣1， 故选：C． 【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题． 9. 展开式中所有无理项的系数和为（     ） A. 255 B. 227 C. 226 D. 200 参考答案： B 【分析】 写出二项展开式的通项公式，可知当不是整数时得无理项，则利用组合数的运算可求得结果. 【详解】展开式的通项公式为： 当不是整数，即时，得到无理项 无理项系数和为： 本题正确选项： 【点睛】本题考查二项式定理的知识，涉及到无理项系数的求解问题，关键是明确取得无理项时通项公式中的取值. 10. 某四棱锥的三视图如图所示，则最长的一条侧棱的长度是 A． 29   B．   C．13    D．   参考答案： B 【知识点】由三视图求面积、体积 由题意可知几何体是底面为直角梯形，直角边长为：4，2，高为3的梯形，棱锥的高为2，高所在的棱垂直直角梯形的上直角顶点，所以侧棱最长为，底面梯形下底边锐角顶点与棱锥顶点连线，所以长度为：．故选B． 【思路点拨】由三视图可知几何体是底面为直角梯形的四棱锥，通过三视图的数据，求出最长的侧棱长度即可．   二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 若展开式中项的系数为－12，则a=       ；常数项是       .  参考答案： 2，60； 12. 已知扇形的周长为，则该扇形面积的最大值为        。 参考答案： 答案： 13. 若不等式对任意的恒成立，则的最大值是            ． 参考答案： 9 14. 如果复数是实数，则实数    ▲    ． 参考答案： －1 15. 将6位志愿者分成4组，其中有2个组各2人，另两个组各1人，分赴2012年伦敦奥运会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有          种.（用数字作答） 参考答案： 1080 16. 设抛物线y2=﹣12x上一点P到y轴的距离是1，则点P到该抛物线焦点的距离是　　． 参考答案： 4 【考点】抛物线的简单性质． 【分析】求得抛物线的焦点坐标及准线方程，由抛物线的定义可知：P到焦点的距离等于P到准线的距离，则丨PF丨=4． 【解答】解：由抛物线焦点F（﹣3，0），准线方程x=3， 由P到y轴的距离是1，则P到准线x=3的距离d=4， 则P到焦点的距离等于P到准线的距离，则丨PF丨=4， 故答案为：4． 17. 设函数，则的值为          ． 参考答案： -1 由得 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本题满分15分）本题共有2个小题，第1个题满分5分，第2小题满分10分. 已知函数,,直线x=t(t∈R)与函数f(x)、g(x)的图像分别交于M、N两点. (1)   当时，求｜MN｜的值； (2)   求｜MN｜在t∈时的最大值. 参考答案： 【解析】（1）…………….2分                   ………………………………5分          （2）……...8分                    …………………………….11分 ∵   …………13分                ∴ ｜MN｜的最大值为.            ……………15分 19. （本小题满分12分）在R上定义运算（b、c为实常数）.记.令 （I）如果函数在处有极值，试确定b、c的值； （II）求曲线上斜率为c的切线与该曲线的公共点； （III）记的最大值为M. 若对任意的b、c恒成立，试求k的最大值. 参考答案： 20. （本小题满分12分）   已知椭圆 )过点 ，且离心率 ，直线 与E相交于M，N两点，与x轴、y轴分别相交于C，D两点，0为坐标原点   (I)求椭圆E的方程：   (Ⅱ)判断是否存在直线，满足 ？若存在，求出直 线 的方程；若不存在，说明理由 参考答案： 【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题.  H8  (I) (II) y=或y=． 解析：（1）由已知得：，解得：a2=2，b2=1． ∴椭圆E的方程为； （2）如图， 假设存在直线l：y=kx+m（k≠0）交椭圆于M（x1，y1），N（x2，y2）两点，交x轴于C（c，0），交y轴于D（0，d）， 由2=+，2=+，得 ， 即C、D为线段MN的三等分点． 由y=kx+m，取y=0，得c=﹣，即C（﹣）， 取x=0，得d=m，即D（0，m）． 联立，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0  ①． ∴， 若C、D为线段MN的三等分点，则，解得：，k=． 当k=时，方程①化为． 解得：． 由，解得：m=． 同理求得当k=时，m=． ∴满足条件的直线l存在，方程为：y=或y=． 【思路点拨】（1）把点的坐标代入椭圆方程，结合椭圆的离心率及隐含条件列方程组求得a，b的值，则椭圆方程可求； （2）把给出的向量等式变形，得到C、D为M、N的三等分点，设出直线l的方程y=kx+m（k≠0），和椭圆方程联立，利用四个点坐标间的关系求得k，代入关于x的方程后求得M的坐标，再由中点坐标公式列式求得m的值，则直线方程可求． 21. 定义：对于两个双曲线,,若的实轴是的虚轴，的虚轴是的实轴，则称,为共轭双曲线。现给出双曲线和双曲线，其离心率分别为。 （1）写出的渐近线方程（不用证明）； （2）试判断双曲线和双曲线是否为共轭双曲线？请加以证明。 （3）求值：。      参考答案： （1）的渐近线方程都是：和。           -------------3分 （2）双曲线是共轭双曲线。                        -------------4分 证明如下： 对于，实轴和虚轴所在的直线是和的角平分线所 的直线，  所以的实轴所在直线为， 虚轴所在直线为，                   -------------6分 实轴和的交点到原点的距离的平方。 又，所以 从而得；-------------8分 同理对于，实轴所在直线为， 虚轴所在直线为， 实轴和的交点到原点的距离的平方 ，所以，从而得。 综上所述，双曲线是共轭双曲线。                         -------------10分 （3） 由（2）易得，， 所以=1 。                                            -------------13分 22. 圆弧长度等于其内接正三角形的边长，求其圆心角的弧度数. 参考答案： 如图所示，设正三角形的边长为,半径为,取的中点 连接则, 在中, 圆心角弧度数为