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2022-2023学年天津武清区南蔡村中学高三数学理联考试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知函数,则的值为 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
略
2. 下列四个命题中不正确的是
A.若动点与定点、连线、的斜率之积为定值,则动点的轨迹为双曲线的一部分
B.设,常数,定义运算“”:,若,则动点的轨迹是抛物线的一部分
C.已知两圆、圆,动圆与圆外切、与圆内切,则动圆的圆心的轨迹是椭圆
D.已知,椭圆过两点且以为其一个焦点,则椭圆的另一个焦点的轨迹为双曲线
参考答案:
D
A中是双曲线去掉与X轴交点,B中的抛物线取X轴上半部分,C中符合椭圆定义是正确,D中应为双曲线一支。故选D
3. 已知M为△ABC的边AB的中点,△ABC所在平面内有一个点P,满足,若,则λ的值为( )
A.2 B.1 C. D.4
参考答案:
A
【考点】向量的线性运算性质及几何意义;向量的加法及其几何意义.
【分析】由题意满足,可得:四边形PACB是平行四边形,又M为△ABC的边AB的中点,可得PC=2PM,即可得出.
【解答】解:由题意满足,可得:四边形PACB是平行四边形,
又M为△ABC的边AB的中点,
∴PC=2PM,,
∴λ=2.
故选:A.
4. 已知Rt△ABC,两直角边AB=1,AC=2,D是△ABC内一点,且∠DAB=60°,设=λ+μ(λ,μ∈R),则=( )
A. B. C.3 D.2
参考答案:
A
【考点】平面向量的基本定理及其意义.
【分析】建立平面直角坐标系,分别写出B、C点坐标,由于∠DAB=60°,设D点坐标为(m,),由平面向量坐标表示,可求出λ和μ.
【解答】解:如图以A为原点,以AB所在的直线为x轴,
以AC所在的直线为y轴建立平面直角坐标系,
则B点坐标为(1,0),C点坐标为(0,2),
∠DAB=60°,设D点坐标为(m,),
=λ(1,0)+μ(0,2)=(λ,2μ)
?λ=m,μ=,
则=.
故选:A
5. 双曲线离心率的范围是( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
6. 已知为等差数列,为等比数列,其公比q≠1且,,若,则
A. B. C. D.
参考答案:
A
∵数列是等差数列,数列是等比数列,,,
∴,∴,又,∴,∴,
故选A.
7. 我校三个年级共有24个班,学校为了了解同学们的心理状况,将每个班编号,依次为1到24,现用系统抽样方法,抽取4个班进行调查,若抽到编号之和为48,则抽到的最小编号为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
参考答案:
B
【考点】系统抽样方法.
【专题】计算题;概率与统计.
【分析】求出系统抽样的抽取间隔,设抽到的最小编号x,根据编号的和为48,求x即可.
【解答】解:系统抽样的抽取间隔为=6.
设抽到的最小编号x,
则x+(6+x)+(12+x)+(18+x)=48,
所以x=3.
故选:B.
【点评】本题考查了系统抽样方法,熟练掌握系统抽样的特征是解答本题的关键.
8. 定义方程的实数根叫做函数的“新驻点”,若函数
的“新驻点”分别为,则的大小关系为
A. B. C. D.
参考答案:
A
略
9. 在△ABC中,若a=4,b=3,cosA=,则B=( )
A. B. C.或π D.π
参考答案:
A
考点:余弦定理.
专题:解三角形.
分析:cosA=,A∈(0,π),可得,由正弦定理可得:,即可得出sinB.而a>b,可得A>B.即可得出.
解答: 解:∵cosA=,A∈(0,π),
∴=.
由正弦定理可得:,
∴sinB===.
∵a>b,
∴A>B.
∴B为锐角,∴.
故选:A.
点评:本题考查了正弦定理的应用、同角三角函数基本关系式,考查了计算能力,属于基础题.
10. 设函数f(x)(x∈R)满足f(﹣x)=f(x),f(π﹣x)=f(x),f′(x)是f(x)的导函数,当x∈[0,π]时,0≤f(x)≤1; 当x∈(0,π)且x时,(x﹣)f′(x)>0,则函数y=f(x)﹣|lg(x+1)|在(﹣1,2π]上的零点个数为( )
A.5 B.6 C.7 D.8
参考答案:
A
【分析】以分界点进行讨论,确定函数的单调性,利用函数的图形,画出草图进行求解,即可得到结果.
【解答】解:∵f(x)(x∈R)满足f(﹣x)=f(x),
∴f(x)为偶函数,
∵f(π﹣x)=f(x),
∴f(x﹣π)=f(x),
∴f(x)是以π为周期的周期函数,
当x∈[0,π]时,0≤f(x)≤1,
∵x∈(0,π)且x≠时,(x﹣)f′(x)>0,
∴当x∈(0,)时,f′(x)<0,f(x)单调递减;当x∈(,π)时,f′(x)>0,f(x)单调递增,
分别画出y=f(x)与y=|lg(x+1)|的草图如图,
由图象可得函数y=f(x)﹣|lg(x+1)|在(﹣1,2π]上的零点个数为5个,
故选:A.
【点评】本题考查函数的单调性,考查函数的零点,考查函数的周期性与奇偶性,利用数形结合的思想来求解,会化难为易.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 关于函数,给出下列命题:
①的最小正周期为;
②在区间上为增函数;
③直线是函数图象的一条对称轴;
④函数的图象可由函数的图象向右平移个单位得到;
⑤对任意,恒有.
其中正确命题的序号是 ____________.
参考答案:
②③⑤
命题意图:本题综合考察三角恒等变换、三角函数的性质,较难题.
12. 已知,
则=
参考答案:
11
13.
在平面直角坐标系中,横、纵坐标均为整数的点叫做格点.若函数的图象恰好经过k个格点,则称函数为k阶格点函数.已知下列函数:①②;③;④.则其中为一阶格点函数的序号为
参考答案:
答案:② ④
14. 设函数,则将y=f(x)的曲线绕x轴旋转一周所得几何体的体积为 .
参考答案:
π
考点:
旋转体(圆柱、圆锥、圆台);棱柱、棱锥、棱台的体积.
专题:
计算题;空间位置关系与距离.
分析:
根据题意,这旋转一周所得旋转体是由一个半球与一个圆锥组成,求出半球的体积与圆锥的体积即可得到结果.
解答:
解:由题意可知函数,则将y=f(x)的曲线绕x轴旋转一周所得几何体
是由一个半球与一个圆锥组成,球的半径为:1,圆锥的底面半径为1,高为1,
所以所求几何体的体积为:=π.
故答案为:π
点评:
本题考查旋转体的体积的求法,判断几何体的性质是解题的关键,注意准确利用公式进行计算.
15. 若 ,则目标函数的取值范围是
参考答案:
略
16. 设M是由满足下列性质的函数f(x)构成的集合:在定义域内存在x0,使得f(x0+1)=f(x0)+f(1)成立.已知下列函数:①f(x)=;②f(x)=2x;③f(x)=lg(x2+2);④f(x)=cosπx.其中属于集合M的函数是________(写出所有满足要求的函数的序号).
参考答案:
②④
17. 已知等比数列{an}的首项为,公比为,前n项和为,且对任意的*,都有恒成立,则的最小值为______________.
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本小题满分14分)
如图,已知在平面M上的正投影(投影线垂直于投影面)是正,
且成等差数列.
(1)证明:平面平面;
(2)若,求多面体的体积;
(3)若,且,求与平面所成的角.
参考答案:
(1)分别取AC、A1C1的中点E、F,连接BE、EF、B1F,
可证BB1FE为矩形,,
是正三角形,
平面AA1C1C,
,平面AA1C1C,
又平面ABC,所以平面平面;
(2)分别延长A1A、B1B、C1C至A2、B2、C2,
则A1B1C1—A2B2C2为正三棱锥
所以;
(3)(法一)坐标法(略)
19. (在极坐标系中,圆C的方程为ρ=2acosθ,以极点为坐标原点,极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系,直线l的参数方程为(t为参数).
(Ⅰ)若直线l与圆C相切,求实数a的值;
(Ⅱ)若直线l过点(a,a),求直线l被圆C截得的弦长.
参考答案:
(Ⅰ)易求得直线,圆:,
依题意,有,解得或. ………………………………(5分)
(Ⅱ)因为直线过点,所以,可得圆:,所以圆心到直线的距离为,故弦长为.…(10分)
20. 已知△ABC中,A,B, C的对边分别为a,b,c,且。
(1)若,求边c的大小;
(2)若a=2c,求△ABC的面积.
参考答案:
略
21. 如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是正方形,SA 底面ABCD.SA =AD=1,点M是SD的中点,ANSC,交SC于点N.
(I)求证:平面SACV平面AMN;
(Ⅱ)求三棱锥S-A CM的体积.
参考答案:
证明:(1)∵底面,∴
又∴面
∴…………①…………………………3分
又,且是的中点,∴……………………②
由①②得面 ∴
又 ∴面
∴平面平面……………………………………………………6分
(2)∵是的中点,∴……………………9分
…………12分
略
22. 已知分别在射线(不含端点)上运动,,在中,角、、所对的边分别是、、.
(Ⅰ)若、、依次成等差数列,且公差为2.求的值;
(Ⅱ)若,,试用表示的周长,并求周长的最大值.
参考答案:
解(Ⅰ)、、成等差,且公差为2,
、. 又,,
, ,
恒等变形得 ,解得或.又,.
(Ⅱ)在中,, ,,.
的周长
,
又,,
当即时,取得最大值.
略
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