广东省湛江市第三中学2022年高二数学理联考试题含解析

广东省湛江市第三中学2022年高二数学理联考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知甲在上班途中要经过两个路口，在第一个路口遇到红灯的概率为0.5，两个路口连续遇到红灯的概率为0.4，则甲在第一个路口遇到红灯的条件下，第二个路口遇到红灯的概率为（　　） A．0.6 B．0.7 C．0.8 D．0.9 参考答案： C 【考点】条件概率与独立事件． 【分析】由题意可知P（A）=0.5，P（AB）=0.4，利用条件概率公式可求得P（B丨A）的值． 【解答】解：设第一个路口遇到红灯概率为A，第二个路口遇到红灯的事件为B， 则P（A）=0.5，P（AB）=0.4， 则P（B丨A）==0.8， 故答案选：C． 2. 关于相关关系，下列说法不正确的是（    ） A．相关关系是一种非确定关系 B．相关关系r越大，两个变量的相关性越强 C．当两个变量相关且相关系数时，表明两个变量正相关 D．相关系数r的绝对值越接近1，表明两个变量的相关性越强 参考答案： B 3. 在下列函数中，最小值为2的是（   ） A.                      B. C.       D. 参考答案： B 4. 与椭圆共焦点且过点的双曲线方程是（    ） A．B．C．    D． 参考答案： A 略 5. 在数列2，9，23，44，72，… 中，紧接着72后面的那一项应该是（    ）    A．82            B．107           C．100           D．83 参考答案： B 6. 已知，为的导函数，则的图象大致是(    ) A．         B．       C.          D． 参考答案： A 7. 双曲线的焦距为（　　） Ａ．４　　Ｂ．　　Ｃ．８　　Ｄ．与无关 参考答案： C 8. 在空间四边形ABCD中，E，F分别为边AB，AD上的点，且AE：EB=AF：FD=1：4，又H，G分别为BC，CD的中点，则（　　） A．BD∥平面EFG，且四边形EFGH是矩形 B．EF∥平面BCD，且四边形EFGH是梯形 C．HG∥平面ABD，且四边形EFGH是菱形 D．EH∥平面ADC，且四边形EFGH是平行四边形 参考答案： B 【考点】棱锥的结构特征． 【分析】由已知得EF∥BD．由此能证明EF∥平面BCD．由已知条件推导出HG∥BD．HG∥EF．EF≠HG．从而得到四边形EFGH为梯形． 【解答】解：如图所示，在平面ABD内，∵AE：EB=AF：FD=1：4， ∴EF∥BD． 又BD?平面BCD，EF?平面BCD， ∴EF∥平面BCD． 又在平面BCD内， ∵H，G分别是BC，CD的中点， ∴HG∥BD．∴HG∥EF． 又，∴EF≠HG． 在四边形EFGH中，EF∥HG且EF≠HG， ∴四边形EFGH为梯形． 故选：B． 9. 若x∈R，则“x＞1”是“＜1”的（　　） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 参考答案： A 【分析】根据充分必要条件的定义判断即可． 【解答】解：由x＞1，一定能得到  得到＜1， 但当＜1时，不能推出x＞1 （如 x=﹣1时）， 故x＞1是＜1 的充分不必要条件， 故选：A． 10. 已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，双曲线﹣=1的渐近线与椭圆有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆的方程为（　　） A． +=1 B． +=1 C． +=1 D． +=1 参考答案： D 【考点】椭圆的简单性质． 【分析】由题意，双曲线﹣=1的渐近线方程为y=±x，根据以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，可得（2，2）在椭圆C： +=1（a＞b＞0），利用e=，即可求得椭圆方程． 【解答】解：由题意，双曲线﹣=1的渐近线方程为y=±x ∵以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，故边长为4， ∴（2，2）在椭圆C： +=1（a＞b＞0）上 ∴， ∵e=，∴， ∴a2=4b2 ∴a2=20，b2=5 ∴椭圆方程为+=1． 故选D． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 10个人平均分成两组，则不同的分法有____________________种． 参考答案： 12. 动圆x2+y2﹣（4m+2）x﹣2my+4m2+4m+1=0的圆心的轨迹方程是 　　． 参考答案： x﹣2y﹣1=0（x≠1） 略 13. 在椭圆内有一点P（1，－1），F为椭圆右焦点，在椭圆上有一点M，     使|MP|+2|MF|的值最小，则M的坐标____________            参考答案： （，－1） 14. 函数的最小正周期为   ▲   ． 参考答案： 15. 下面关于棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中的四个命题： ①与AD1成角的面对角线的条数是8条； ②  直线AA1与平面A1BD所成角的余弦值是； ③从8个顶点中取四个点可组成 10 个正三棱锥； ④点到直线的距离是． 其中真命题的编号是             参考答案： ①③ 略 16. 椭圆的左焦点为，直线与椭圆相交于点、，当的周长最大时，的面积是     ***     ． 参考答案： 3 略 17. 已知平面平面，直线，且，则直线与平面的位置关系是 _______． 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知数列{an}满足an+1=﹣，其中a1=0． （1）求证是等差数列，并求数列{an}的通项公式； （2）设Tn=an+an+1+…+a2n﹣1．若Tn≤p﹣n对任意的n∈N*恒成立，求p的最小值． 参考答案： 【考点】数列递推式；数列的求和． 【分析】（1）an+1=﹣，可得an+1+1=，取倒数化简即可证明． （2）Tn=an+an+1+…+a2n﹣1≤p﹣n，可得n+an+an+1+…+a2n﹣1≤p，即（1+an）+（1+an+1）+（1+an+2）+…+（1+a2n﹣1）≤p，对任意n∈N*恒成立，而1+an=，设H（n）=（1+an）+（1+an+1）+…+（1+a2n﹣1），考虑其单调性即可得出． 【解答】（1）证明：∵an+1=﹣，∴an+1+1=﹣+1==， 由于an+1≠0，∴==1+， ∴{}是以1为首项，1为公差的等差数列． =1+（n﹣1）=n，∴an=﹣1．                  （2）∵Tn=an+an+1+…+a2n﹣1≤p﹣n， ∴n+an+an+1+…+a2n﹣1≤p， 即（1+an）+（1+an+1）+（1+an+2）+…+（1+a2n﹣1）≤p，对任意n∈N*恒成立， 而1+an=， 设H（n）=（1+an）+（1+an+1）+…+（1+a2n﹣1），8 分 ∴H（n）=++…+， H（n+1）=++…+++， ∴H（n+1）﹣H（n）=+﹣=﹣＜0， ∴数列{H（n）}单调递减， ∴n∈N*时，H（n）≤H（1）=1，故p≥1． ∴p的最小值为1． 19. 某羽绒服卖场为了解气温对营业额的影响，随机记录了该店3月份上旬中某5天的日营业额y(单元：千元)与该地当日最低气温x(单位：°C)的数据，如表： x 2 5 8 9 11 y 12 10 8 8 7   (1)求y关于x的回归直线方程； (2)设该地3月份的日最低气温，其中μ近似为样本平均数，近似为样本方差，求 参考公式：， 计算参考值：. . 参考答案： （1）；（2） 【分析】 （1）由题，计算，，进而求出线性回归方程。 （2）由题可得，计算的值，从而得出 【详解】(1) 由题意可得，，， ∴y关于x的回归直线方程 (2)由题意，平均数为，方差为，，， 【点睛】本题考查线性回归方程与概率问题，属于简单题。 20. 已知数列的前项和，求通项。 参考答案： 解析：，∴     21. 求证：． 参考答案： 【考点】不等式的证明． 【专题】证明题；不等式的解法及应用． 【分析】将，，相加，再求其倒数，即可证得结论． 【解答】证明：∵， ∴ ∴ ∴ 【点评】本题考查不等式的证明，考查不等式的性质，属于中档题． 22. 已知△ABC的顶点A（1，3），AB边上的中线所在直线的方程是y=1，AC边上的高所在直线的方程是x﹣2y+1=0． 求（1）AC边所在直线的方程； （2）AB边所在直线的方程． 参考答案： 【考点】直线的一般式方程． 【分析】（1）根据AC边的高所在的直线方程，设出AC所在的直线方程，再代入点A的坐标，求参数即可 （2）由中点坐标公式表示出点B的坐标，再根据点B在AC的高线上，可求出中点坐标，从而可确定直线AB的斜率，又由点A的坐标，即可表示出直线的方程 【解答】解：（1）由题意，直线x﹣2y+1=0的一个法向量（1，﹣2）是AC边所在直线的一个方向向量 ∴可设AC所在的直线方程为：2x+y+c=0 又点A的坐标为（1，3） ∴2×1+3+c=0 ∴c=﹣5 ∴AC所在直线方程为2x+y﹣5=0． （2）y=1是AB中线所在直线方程 设AB中点P（xP，1），B（xB，yB） ∴ ∴点B坐标为（2xP﹣1，﹣1），且点B满足方程x﹣2y+1=0 ∴（2xP﹣1）﹣2?（﹣1）+1=0得xP=﹣1， ∴P（﹣1，1） ∴AB所在的直线的斜率为： ∴AB边所在直线方程为y﹣3=1（x﹣1），即x﹣y+2=0