2022-2023学年贵州省贵阳市高坡中学高二数学理上学期期末试卷含解析

2022-2023学年贵州省贵阳市高坡中学高二数学理上学期期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 2014年巴西世界杯某项目参赛领导小组要从甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中甲、乙只能从事前三项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有                   (　  　) A．18种             B．36种             C．48种             D．72种 参考答案： D 略 2. 已知，给出下列四个结论： ①a＜b ②a+b＜ab ③|a|＞|b| ④ab＜b2 其中正确结论的序号是(     ) A．①② B．②④ C．②③ D．③④ 参考答案： B 【考点】命题的真假判断与应用． 【专题】不等式的解法及应用． 【分析】由条件可b＜a＜0，然后根据不等式的性质分别进行判断即可． 【解答】解：∵，∴b＜a＜0． ①a＜b，错误． ②∵b＜a＜0，∴a+b＜0，ab＞0，∴a+b＜ab，正确． ③∵b＜a＜0，∴|a|＞|b|不成立． ④ab﹣b2=b（a﹣b），∵b＜a＜0， ∴a﹣b＞0，即ab﹣b2=b（a﹣b）＜0， ∴ab＜b2成立． ∴正确的是②④． 故选：B． 【点评】本题主要考查不等式的性质，利用条件先判断b＜a＜0是解决本题的关键，要求熟练掌握不等式的性质及应用． 3. 已知直线y=kx+b经过一、二、三象限，则有（　　） A．k＜0，b＜0 B．k＜0，b＞0 C．k＞0，b＞0 D．k＞0，b＜0 参考答案： C 【考点】确定直线位置的几何要素． 【分析】根据直线对应图象经过的象限，确定直线斜率和截距的取值范围即可． 【解答】解：∵直线y=kx+b经过一、二、三象限， ∴直线y=kx+b的斜率k＞0， ∴f（0）=b＞0， 故选：C． 　 4. 曲线在点处的切线方程是（    ） A．        B．       C．        D． 参考答案： A 5. 在三棱锥P-ABC中，平面PAB⊥平面ABC，△ABC是边长为的等边三角形，，则该三棱锥外接球的表面积为（    ） A. 16π B. C. D. 参考答案： B 【分析】 取中点，连接，三角形的中心在上，过点作平面垂线.在垂线上取一点，使得， 点即为球心，通过三棱锥的性质以及三棱锥的外接球的相关性质列方程，求出球的半径，从而可得出结果. 【详解】 如图所示，取中点，连接，三角形的中心在上， 过点作平面垂线.在垂线上取一点，使得， 因为三棱锥底面是一个边长为的等边三角形，为三角形的中心， 点即球心， 因为为中点，所以， 因为平面平面 平面，则， ， ， 设球的半径为,则有， 作于，则为矩形， ，即,解得， 故表面积为，故选B . 【点睛】本题考查三棱锥的相关性质,主要考查三棱锥的外接球的相关性质，考査如何通过三棱锥的几何特征来确定三棱锥的外接球与半径，是难题. 要求外接球的表面积和体积，关键是求出球的半径，求外接球半径的常见方法有：①若三条棱两垂直则用（为三棱的长）；②若面（），则（为外接圆半径）；③可以转化为长方体的外接球；④特殊几何体可以直接找出（或设出）球心和半径.   6. 复数集是由实数集和虚数集构成的，而实数集又可分为有理数集和无理数集两部分；虚数集也可分为纯虚数集和非纯虚数集两部分，则可选用 来描述之. （    ） A．流程图                        B．结构图    C．流程图或结构图中的任意一个    D．流程图和结构图同时用 参考答案： B 7. 已知直线方程为x+y+1=0，则该直线的倾斜角为（　　） A．45° B．60° C．90° D．135° 参考答案： D 【考点】直线的倾斜角． 【专题】计算题；方程思想；数学模型法；直线与圆． 【分析】由直线方程求出直线的斜率，再由斜率等于倾斜角的正切值求得直线的倾斜角． 【解答】解：由直线方程x+y+1=0， 得其斜率k=﹣1， 设其倾斜角为α（0°≤α＜180°）， 则tanα=﹣1， ∴α=135°． 故选：D． 【点评】本题考查直线的倾斜角，考查了直线倾斜角和斜率的关系，是基础题． 8. 如图，在梯形ABCD中，，，P是BC中点，则（  ） A. B. C. D. 参考答案： D 【分析】 由平面向量基本定理及线性运算可得：，得解. 【详解】因为是中点，所以. 故选D. 【点睛】本题考查了平面向量基本定理，属基础题. 9. 已知点、，是直线上任意一点，以A、B为焦点的椭圆过点P．记椭圆离心率关于的函数为，那么下列结论正确的是 （   ）     A．与一一对应                B．函数无最小值，有最大值 　　C．函数是增函数             D．函数有最小值，无最大值 参考答案： B 10. 公差不为零的等差数列中， ，且、、成等比数列，则数列的公差等于（    ） A．1                B．2                C．3                D．4 参考答案： B 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11.  下列程序执行后输出的结果是S＝________. i＝1 S＝0 WHILE　i<＝50   S＝S＋i   i＝i＋1 WEND PRINT S END 参考答案： 1275 12. 如果执行右边的程序框图，那么输出的   ▲    ． 参考答案： 110 略 13. 设函数，若，则实数的值为      参考答案： 略 14. 已知椭圆+=1与双曲线﹣y2=1有共同焦点F1，F2，点P是两曲线的一个交点，则|PF1|?|PF2|=　　． 参考答案： 5 略 15. 求曲线y=在点（3，2）处的切线的斜率　　． 参考答案： ﹣   【考点】导数的几何意义． 【分析】求出函数的导数，求出切点的导函数值即可 【解答】解：y==1+， ∴y′=﹣， ∴k=y′|x=3=﹣=﹣， 故答案为：﹣ 　 16. 已知数列{an}的首项a1=1，an+1=3Sn（n≥1），则数列{an}的通项公式为 　　． 参考答案： 【考点】数列的求和． 【分析】先看n≥2根据题设条件可知an=3Sn﹣1，两式想减整理得an+1=4an，判断出此时数列{an}为等比数列，a2=3a1=3，公比为4 求得n≥2时的通项公式，最后综合可得答案． 【解答】解：当n≥2时，an=3Sn﹣1， ∴an+1﹣an=3Sn﹣3Sn﹣1=3an， 即an+1=4an， ∴数列{an}为等比数列，a2=3a1=3，公比为4 ∴an=3?4n﹣2， 当n=1时，a1=1 ∴数列{an}的通项公式为 故答案为： 17. 把长为1的线段分成三段，则这三条线段能构成三角形的概率为 。 参考答案： 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知椭圆E： +=1的右焦点为F（c，0）且a＞b＞c＞0，设短轴的两端点为D，H，原点O到直线DF的距离为，过原点和x轴不重合的直线与椭圆E相交于C，G两点，且||+||=4． （1）求椭圆E的方程； （2）设O为坐标原点，过点P（0，1）的动直线与椭圆E交于A，B两点，是否存在常数λ，使得?+λ?为定值？求λ的值；若不存在，请说明理由． 参考答案： 【考点】KL：直线与椭圆的位置关系． 【分析】（1）根据椭圆的定义，则a=2，由bc=，a2=b2+c2=4，由a＞b＞c＞0，即可求得b和c的值，即可求得椭圆方程； （2）当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+1，代入椭圆方程，利用根与系数的关系、向量数量积运算性质即可得出定值．当直线AB的斜率不存在时，则?+λ?=?+2?=﹣3﹣4=﹣7成立． 【解答】解：（1）由椭圆的定义及对称性可知：||+||=4．则2a=4，a=2， 由题意，O到直线DF的距离为，则=，则bc=， 又a2=b2+c2=4，由a＞b＞c＞0，则b=，c=1， ∴椭圆的标准方程：； （2）当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+1， A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）． 联立，得（4k2+3）x2+8kx﹣8=0． 其判别式△＞0， x1+x2=﹣，x1x2=﹣． 从而?+λ?=x1x2+y1y2+λ[x1x2+（y1﹣1）（y2﹣1）]， =（1+λ）（1+k2）x1x2+k（x1+x2）+1 ==﹣2λ﹣3， 当λ=2时，﹣2λ﹣3=﹣7， 即?+λ?=﹣7为定值． 当直线AB斜率不存在时，直线AB即为直线CD， 此时?+λ?=?+2?=﹣3﹣4=﹣7， 故存在常数λ=2，使得?+λ?为定值﹣7． 19. 设函数的图象与x轴相交于一点，且在点处的切线方程是  （I）求t的值及函数的解析式； （II）设函数    （1）若的极值存在，求实数m的取值范围。    （2）假设有两个极值点的表达式并判断是否有最大值，若有最大值求出它；若没有最大值，说明理由。 参考答案： 解：（I）设切点P代入直线方程上，得P （2,0）, 且有,即……①                      ………………2分 又，由已知得……② 联立①②，解得． 所以函数的解析式为    …………………………………4分 （II）⑴因为 令 当函数有极值时，则，方程有实数解，                                       由，得．        …………8分 ①当时，有实数，在左右两侧均有，故函数无极值                          ②当时，有两个实数根 情况如下表： + 0 - 0 + ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 所以在时，函数有极值；…………10分 ⑵由⑴得且， …………………12分 ∵， ∴，  ，故有最大值为…………………14分 20. （本小题满分14分）(1)高中课程中，在各个领域我们学习许多知识．在语言与文学领域，学习语文和外语；在数学领域学习数学；在人文与社会领域，学习思想政治、历史和地理；在科学领域，学习物理、化学和生物；在技术领域，学习通用技术和信息技术；在艺术领域学习音乐、美术和艺术；在体育与健康领域，学习体育等．试设计一个学习知识结构图． 参考答案： 略 21. 若椭圆ax2+by2=1与直线x+y=1交于A，B两点，M为AB的中点，直线OM（O为原点）的斜率为2，又OA⊥OB，求a，b的值． 参考答案： 【考点】直线与椭圆的位置关系． 【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），M（，）．联立，得（a+b）x2﹣2bx+b﹣1=0．由韦达定理得M（，）．由kOM=2，得a=2b，由OA⊥OB，得a+b=2．由此能求出a，b． 【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），M（，）． 联立，得（a+b）x2﹣2bx+b﹣1=0． ∴=， =1﹣=． ∴M（，）． ∵kOM=2，∴a=2b．① ∵OA⊥OB，∴=﹣1． ∴x1x2+y1y2=0． ∵x1x2=，y1y2=（1﹣x1）（1﹣x2）， ∴y1y2=1﹣（x1+x2）+x1x2 =1﹣+=． ∴=0．