北京金顶山中学高一数学理月考试题含解析
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知集合A、B是全集U的子集，则图中阴影部分所表示的集合是（ ）
A、A∪B B、C∪(A∩B)
C、C∪(A∪B) D、A∩B
参考答案：
C
略
2. 以直线x±2y=0为渐近线，且截直线x﹣y﹣3=0所得弦长为的双曲线方程为（ ）
A．﹣=1 B．﹣=1 C．y2﹣=1 D．﹣y2=1
参考答案：
D
【考点】KB：双曲线的标准方程．
【分析】设双曲线方程为x2﹣4y2=λ，联立方程组，得3x2﹣24x+（36+λ）=0，由椭圆弦长公式求出λ=4，由此能求出双曲线方程．
【解答】解：∵双曲线以直线x±2y=0为渐近线，
∴设双曲线方程为x2﹣4y2=λ，
联立方程组，消去y，得3x2﹣24x+（36+λ）=0，
设直线被双曲线截得的弦为AB，且A（x1，y1），B（x2，y2），
则，
△=242﹣432﹣12λ＞0，
∴|AB|=?==，
解得λ=4，
∴所求双曲线方程是．
故选：D．
3. （5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线AD1与BA1所成的角为（）
A． 30° B． 45° C． 60° D． 90°
参考答案：
C
考点： 异面直线及其所成的角．
专题： 空间角．
分析： 由A1B∥D1C，得异面直线AD1，BA1所成的角为∠AD1C．
解答： ∵A1B∥D1C，
∴异面直线AD1，BA1所成的角为∠AD1C，
∵△AD1C为等边三角形，
∴∠AD1C=60°．
故选：C．
点评： 本题考查两异面直线所成角的求法，是基础题，解题时要注意空间思维能力的培养．
4. 下列集合中，表示方程组集合的是（ ）
A． B． C． D．
参考答案：
C
试题分析：因为A表示两个元素，B中无代表元素，D表示方程组的解集，所以选C
考点：集合表示
5. 设函数若f(m)＞1,则m的取值范围是（ ）
A B C D
参考答案：
C
略
6. （5分）已知函数f（x）=的定义域是R，则实数a的取值范围是（）
A． a＞ B． ﹣12＜a≤0 C． ﹣12＜a＜0 D． a≤
参考答案：
B
考点： 函数的定义域及其求法．
专题： 计算题．
分析： 由函数f（x）=的定义域是R，表示函数的分母恒不为零，即方程ax2+ax﹣3=0无解，根据一元二次方程根的个数与判断式△的关系，我们易得数a的取值范围．
解答： 由a=0或
可得﹣12＜a≤0，
故选B．
点评： 求函数的定义域时要注意：（1）当函数是由解析式给出时，其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合．（2）当函数是由实际问题给出时，其定义域的确定不仅要考虑解析式有意义，还要有实际意义（如长度、面积必须大于零、人数必须为自然数等）．（3）若一函数解析式是由几个函数经四则运算得到的，则函数定义域应是同时使这几个函数有意义的不等式组的解集．若函数定义域为空集，则函数不存在．（4）对于（4） 题要注意：①对在同一对应法则f 下的量“x”“x+a”“x﹣a”所要满足的范围是一样的；②函数g（x）中的自变量是x，所以求g（x）的定义域应求g（x）中的x的范围．
7. 若关于x的不等式x2+mx＜0的解集为{x|0＜x＜2}，则实数m的值为（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．2
参考答案：
A
【考点】一元二次不等式的解法．
【分析】根据一元二次不等式的解集与对应方程的关系，
利用根与系数的关系，即可求得m的值．
【解答】解：关于x的不等式x2+mx＜0的解集为{x|0＜x＜2}，
∴不等式x2+mx=0的实数根为0和2，
由根与系数的关系得m=﹣（0+2）=﹣2．
故选：A．
8. 若O是△ABC所在平面内一点，且满足，则△ABC一定是 （ ）
A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
参考答案：
B
略
9. 已知a、b、c均是直线，则下列命题中，必成立的是 ( ）
A． 若a⊥b，b⊥c，则a⊥c
B． 若a与b相交，b与c相交，则a与c也相交
C． 若ab，bc，则ac
D． 若a与b异面，b与c异面，则a与c也是异面直线
参考答案：
C
10. 若函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4)上是减函数，则实数a的取值
范围 ( )
A．a≥－3 B． a≤－3
C．a≤5 D．a≥3
参考答案：
B
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. （5分）圆锥的底面半径是3，高是4，则圆锥的侧面积是 ．
参考答案：
15π
考点： 旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．
专题： 计算题．
分析： 由已知中圆锥的底面半径是3，高是4，由勾股定理，我们可以计算出圆锥的母线长，代入圆锥侧面积公式S=πrl，即可得到答案．
解答： 解：∵圆锥的底面半径r=3，高h=4，
∴圆锥的母线l=5
则圆锥的侧面积S=πrl=15π
故答案为：15π
点评： 本题考查的知识点是圆锥的侧面积，其中熟练掌握圆锥的侧面积公式S=πrl，其中r表示底面半径，l表示圆锥的母线长，是解答本题的关键．
12. 以边长为2的正三角形的一条高所在直线为旋转轴，将该三角形旋转一周，所得几何体的表面积为 ．
参考答案：
3π
以边长为2的正三角形的一条高所在直线为旋转轴，将该三角形旋转一周，所得几何体为圆锥，圆锥的底面半径，母线长，
该几何体的表面积为：.
13. 若函数的定义域为[－1，2]，则函数的定义域是
参考答案：
【，2】
14. 若2a=5b=10，则= ．
参考答案：
1
【考点】对数的运算性质．
【专题】计算题．
【分析】首先分析题目已知2a=5b=10，求的值，故考虑到把a和b用对数的形式表达出来代入，再根据对数的性质以及同底对数和的求法解得，即可得到答案．
【解答】解：因为2a=5b=10，
故a=log210，b=log510
=1
故答案为1．
【点评】此题主要考查对数的运算性质的问题，对数函数属于三级考点的内容，一般在高考中以选择填空的形式出现，属于基础性试题同学们需要掌握．
15. 在数列中，已知，，记为数列的前项和，则__________。
参考答案：
1008
略
16. 已知函数满足：当时，当时，，则 。
参考答案：
17. 已知符号函数sgn x＝则不等式(x＋1)sgn x＞2的解集是________．
参考答案：
(－∞，－3)∪(1，＋∞)
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 己知函数．
（1）若，，求x；
（2）当x为何值时，取得最大值，并求出最大值．
参考答案：
（1）；（2），2.
【分析】
（1）由题得，再求出x的值；（2）先化简得到，再利用三角函数的性质求函数的最大值及此时x的值.
【详解】（1）令，则，
因为，所以．
（2），
当，即时，的最大值为2．
【点睛】本题主要考查解简单的三角方程，考查三角函数的最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
19. 设向量，，且与不共线.
（1）求证：；
（2）若，求的值.
参考答案：
解：（1）由题意可得. ……………… 2分
……………………………… 4分
. . …… 6分
（2）因为向量与模相等，
所以，. ……… 8分
由于，解得，， ……… 10分
， 所以或. ………12分
20. 已知函数．
（1）求f（x）的定义域；
（2）判断f（x）的奇偶性并证明；
（3）若f（a）=3，求f（﹣a）的值．
参考答案：
【考点】奇偶性与单调性的综合．
【分析】（1）利用分母不为0，求f（x）的定义域；
（2）利用奇函数的定义，判断f（x）的奇偶性并证明；
（3）f（﹣a）=﹣f（a）=﹣3．
【解答】解：（1）由2x﹣1≠0，可得x≠0，
∴f（x）的定义域是{x|x≠0}；
（2）f（﹣x）==﹣f（x），∴f（x）是奇函数；
（3）f（﹣a）=﹣f（a）=﹣3．
21. 已知函数
（1）若的值域为R，求实数a的取值范围；
（2）若，解关于x的不等式.
参考答案：
（1）当时，的值域为当时，的值域为，的值域为，解得或的取值范围是或................................................4分
（2）当时，，即恒成立，................................6分
当时，即
（ⅰ）当即时，无解：.......................................................8分
（ⅱ）当即时，；....................10分
（ⅲ）当即时
①当时，..................................12分
②当时，....................................................14分
综上（1）当时，解集为
（2）当时，解集为
（3）当时，解集为
（4）当时，解集为..................................................16分
22. （本小题满分13分）已知函数.
（1）求函数的最小正周期和最大值；
（2）在给出的直角坐标系中，画出函数在区间上的图象.
（3）设0
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