石大数学文化课件04若干数学观点中的数学文化-2“ 类比”的观点

1第四章第四章 若干数学观点中的数学文化若干数学观点中的数学文化第二节第二节 “类比类比”的观点的观点 2一、什么是类比一、什么是类比 类比，是根据两个（或两类）对象之间在某些方类比，是根据两个（或两类）对象之间在某些方面的相似或相同，从而推出它们在其它方面也可能相面的相似或相同，从而推出它们在其它方面也可能相似或相同的一种推理方法，也是一种观点。似或相同的一种推理方法，也是一种观点。类比的推理是一种类比的推理是一种“合情推理合情推理”，不是证明，它，不是证明，它无法保证无法保证已知相同的属性与推出的属性之间有已知相同的属性与推出的属性之间有必然的必然的联系联系。但是，它是获得新思路，新发现的一种观点、。但是，它是获得新思路，新发现的一种观点、一种手段。一种手段。3二、插值问题中的类比二、插值问题中的类比 1问题问题：有函数不知其式，在：有函数不知其式，在 处取值处取值 ，在，在 处取值处取值 ，在，在 处取值处取值 ，问函数问函数（解析式）为何？（解析式）为何？2类比类比：有物不知其数，三三数之剩：有物不知其数，三三数之剩 ，五五数之剩五五数之剩 ，七七数之剩，七七数之剩 ，问物几何？，问物几何？4 这这是是我我们们在在前前面面“韩韩信信点点兵兵与与中中国国 剩剩余余定定理理”一一节节中中已已经经解解决决的的问问题题。当当时时我我们们有有一一种种成成功功的的方方法法,叫叫“单单因因子子构构件件凑凑成成法法”。这这种种方方法法是是：对对每每个个要要素素分分别别做做出出一一个个构构件件，叫叫单单因因子子构构件件，再再把把它它们们凑凑在一起，从而解决问题。在一起，从而解决问题。5 具体说是：先找到用具体说是：先找到用3除余除余1、用、用5和和7除均能除尽的数除均能除尽的数 70；再找到用；再找到用5除余除余1、用、用3和和7除均能除尽的数除均能除尽的数 21；找；找到用到用7除余除余1、用、用3和和5除均能除尽的数除均能除尽的数 15；然后算出；然后算出 3，5，7 =105。最后令最后令 ，即为所求。，即为所求。6 3插值问题的解法插值问题的解法 通过类比，发现插值问题（有函数不知其通过类比，发现插值问题（有函数不知其式的问题）与式的问题）与“有物不知其数的问题有物不知其数的问题”结构相结构相同，因此可以考虑用同，因此可以考虑用“单因子构件凑成法单因子构件凑成法”：先作函数先作函数 ，在，在 处值为处值为1，在，在 处处值均为值均为0；再作函数；再作函数 ，在，在 处值为处值为1，在在 处值均为处值均为0；再作函数；再作函数 ，在，在 处值为处值为1，在，在 处值均为处值均为0。7 即即 ，；，；，那么，那么 就是所求的函数。就是所求的函数。8原问题原问题：有物不知其数，三三数之剩：有物不知其数，三三数之剩 ，五五数之剩，五五数之剩 ，七七数之剩，七七数之剩 ，问物几何？，问物几何？现问题现问题：有函数不知其式，在：有函数不知其式，在 处取值处取值 ，在，在 处取值处取值 ，在，在 处取值处取值 ，问函数问函数（解析式）为何？（解析式）为何？原问题的解原问题的解现问题的解现问题的解9 下下边边求求 。最最简简单单的的是是 用用多多项项式式的的方方法法。比比如如设设 是是一一个个多多项项式式，则则 据据 条条 件件 知知，它它 有有 两两 个个 一一次次 因因 式式，可可 令令 ，再再 用用 条条 件件 去求去求 。，。故故 。10 同理，可求出同理，可求出 ，。于是得于是得:11 经验证，它符合要求，称为经验证，它符合要求，称为插值公式插值公式。即该函数在即该函数在 三点，插进去的都是预三点，插进去的都是预 先指定的值先指定的值 。它简单，明快，可顺利地推广到任意它简单，明快，可顺利地推广到任意 有限多个点插值的情况。这样，就可以有限多个点插值的情况。这样，就可以用用 一个一个连续连续的的函数函数去去拟合离散拟合离散的的测量结果。测量结果。12 华罗庚由此联想到如何解决具有类似结构的各种问题。华罗庚由此联想到如何解决具有类似结构的各种问题。正是他把上述解决问题的基本思想称为正是他把上述解决问题的基本思想称为“单因子构件凑成法单因子构件凑成法”，并概括成如下的，并概括成如下的“合成原则合成原则”：要做出具有平行的、类要做出具有平行的、类似的几个性质似的几个性质A，B，C的一个数学结构，而的一个数学结构，而A，B，C分别分别以某种以某种 量刻划量刻划，这时，可用，这时，可用“单因子构件凑成法单因子构件凑成法”：先作：先作B，C不发生作用，而不发生作用，而A取单位量的构件，再作取单位量的构件，再作C，A不发生作用，不发生作用，B取单位量的构件；再作取单位量的构件；再作A、B不发生作用，不发生作用，C取单位量的构件。然后用这些构件凑出所求的结构。这个原取单位量的构件。然后用这些构件凑出所求的结构。这个原则在有的书里称为则在有的书里称为“孙子孙子华原则华原则”。体现了体现了“化繁为简化繁为简”的思想。的思想。13思思：如何用：如何用“类比类比”的观点，的观点，推广推广“现问题现问题”的上述解答：的上述解答：14原问题原问题：有物不知其数，三三数之剩：有物不知其数，三三数之剩 ，五五数之剩，五五数之剩 ，七七数之剩，七七数之剩 ，问物几何？，问物几何？现问题现问题：有函数不知其式，在：有函数不知其式，在 处取值处取值 ，在，在 处取值处取值 ，在，在 处取值处取值 ，问函数问函数（解析式）为何？（解析式）为何？原问题的解原问题的解现问题的解现问题的解15三、分割问题中的类比三、分割问题中的类比 1 问题问题：5个平面最多把空间分为几个部分？个平面最多把空间分为几个部分？平面互相尽可能平面互相尽可能多多地相交，才能分割最多。如果地相交，才能分割最多。如果5个个平面全都平行，那末空间分成的是平面全都平行，那末空间分成的是6部分，就较少。但部分，就较少。但5个个平面如何相交最多以致分割最多，一时也想不清楚，我们平面如何相交最多以致分割最多，一时也想不清楚，我们想起从想起从“抓三堆抓三堆”趣味问题中学到的数学思想，先把问题趣味问题中学到的数学思想，先把问题一般化，再把问题特殊化，逐渐找规律。一般化，再把问题特殊化，逐渐找规律。16 2问题一般化：问题一般化：n个平面最多把空间分为几个部分？个平面最多把空间分为几个部分？记分为记分为 个部分个部分;再令再令 把问题特殊化把问题特殊化。17 3问题特殊化：问题特殊化：从简单的情况做起，以便从简单的情况做起，以便“类比类比”18 由此我们想到了空间的四面体，这似乎是四个平面相由此我们想到了空间的四面体，这似乎是四个平面相交最多（从而分割最多）的情况，把四面体的四个面延展成交最多（从而分割最多）的情况，把四面体的四个面延展成四个平面，是否就能把空间分为最多的部分呢？四个平面，是否就能把空间分为最多的部分呢？到底现在把空间分成了几个部分呢？到底现在把空间分成了几个部分呢？暂难想象。暂难想象。由此我们想到去类比由此我们想到去类比 “直线分割平面直线分割平面”的情形。的情形。19 4 类比类比3条直线分割平面的情形条直线分割平面的情形 这也可以看成是把三角形的三条边均这也可以看成是把三角形的三条边均延长为直线，看这延长为直线，看这3条直线把平面分为几条直线把平面分为几部分。数一数，是部分。数一数，是7部分。这对我们有什部分。这对我们有什么启示？么启示？20 21 我们分析一下这我们分析一下这7个部分的特点：个部分的特点：一个一个是有限的部分，在三角形内部，即是有限的部分，在三角形内部，即；其余；其余六个是无限的部分，其中六个是无限的部分，其中，与三角形有公与三角形有公共顶点，共顶点，与三角形有公共边。与三角形有公共边。把它们加起来，于是把它们加起来，于是1+3+3=7。所以所以3条直线分割平面，最多分为条直线分割平面，最多分为7个部分。个部分。22 5 类比考虑四面体的四个面延展成类比考虑四面体的四个面延展成4个平面，把空间分为几个平面，把空间分为几个部分：有限部分（四面体内部）数为个部分：有限部分（四面体内部）数为1；无限部分与原四；无限部分与原四面体或有一个公共顶点（有面体或有一个公共顶点（有4个部分），或有一条公共棱个部分），或有一条公共棱（有（有6个部分），或有一个公共面（有个部分），或有一个公共面（有4个部分），于是所分个部分），于是所分空间总的部分数为空间总的部分数为 1+4+6+4=15。以下仍要考虑以下仍要考虑 这就是一开始提出的问题：这就是一开始提出的问题：5个平面最多把空间分为几个个平面最多把空间分为几个部分？部分？23 这一问题在平面上的类似问题是什么？是这一问题在平面上的类似问题是什么？是5条还是条还是4条直条直线分割平面？又如何类比？想不清楚了。对我们来说，线分割平面？又如何类比？想不清楚了。对我们来说，不不如在如在“一般情形一般情形”下考虑问题下考虑问题：个平面分割空间和个平面分割空间和 条直条直线分割平面。线分割平面。条直线条直线“处于一般位置处于一般位置”的要求也可以说是：任何两的要求也可以说是：任何两条直线都相交；任何三条直线都不共点。条直线都相交；任何三条直线都不共点。个平面个平面“处于一般位置处于一般位置”的要求是：任两平面都相交，的要求是：任两平面都相交，且任意三个平面都只交于一点；每个平面都不过它以外任且任意三个平面都只交于一点；每个平面都不过它以外任意三个平面的交点。意三个平面的交点。24 进而，我们再类比直线上的问题：进而，我们再类比直线上的问题：个一般位置的点分割个一般位置的点分割直线的问题。直线的问题。这一问题的结论比较清楚：这一问题的结论比较清楚：个点最多把直线分为个点最多把直线分为 个部分。个部分。这对我们会有启发。这对我们会有启发。如果我们把极端情况如果我们把极端情况有零个分割元素的情况有零个分割元素的情况也也考虑在内，那么被考虑在内，那么被“分割分割”成的部分数是成的部分数是1。下图综合列出点分直线、直线分平面、平面分空间的已取下图综合列出点分直线、直线分平面、平面分空间的已取得的结果。得的结果。25 6 类比一般化类比一般化 （解释记号（解释记号 ，然后看图），然后看图）26 于于 是是，我我 们们 得得 到到 了了 一一 系系 列列 待待 解解 决决 的的 问问题题。弧弧 立立 的的 问问 题题 有有 时时 难难 于于 理理 解解，而而解解 决决 系系列列 问问 题题 有有 时时 比比 解解 决决 弧弧 立立 问问 题题 好好 入入 手手。现现在在，原原问问题题“”已已处处在在系系列列问问题题之之中中，比比 之之 原原 来来 的的 情情 形形，求求 解解 已已 有有 进进 展展。27 7（用类比的观点）猜想（用类比的观点）猜想 观察上表中已得到的结果，看看表中的数字间有什么联系？其中有观察上表中已得到的结果，看看表中的数字间有什么联系？其中有什么规律性？什么规律性？从最右一列，先以为有从最右一列，先以为有“2的方幂的方幂”的规律，但的规律，但8后边的后边的 表明这个猜想不对。表明这个猜想不对。反复求索的结果，我们可能忽然看到表中有反复求索的结果，我们可能忽然看到表中有 3 4；7 8 7 15，以及联想到以及联想到 3+4=7，7+8=15。这是一个独特的联系：表中已出现的每个数都可由它这是一个独特的联系：表中已出现的每个数都可由它“头上头上”的数的数与与“左肩左肩”上的数相加而得到。上的数相加而得到。28 表中已出现的每个数都可由它表中已出现的每个数都可由它“头上头上”的数与的数与“左肩左肩”上的数上的数相加而得到。相加而得到。29 这这是是我我们们解解决决原原问问题题的的钥钥匙匙吗吗？我我们们猜猜想想它它确确是是规规律律。那那我我们们把把表表按按此此规规律律，顺顺沿沿到到 ，原原问问题题的的解解就就是是？30 分割元素 个 数 被分成的部分数 点分直线 直线分平面 平面分空间 0 1 1 1 1 2 2 2 2 3 4 4 3 4