湖南省怀化市沅陵县第四中学高三数学文模拟试题含解析

湖南省怀化市沅陵县第四中学高三数学文模拟试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知双曲线C1：﹣=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点M在双曲线C1的一条渐近线上，且OM⊥MF2，若△OMF2的面积为16，且双曲线C1与双曲线C2：﹣=1的离心率相同，则双曲线C1的实轴长为（　　） A．32 B．16 C．8 D．4 参考答案： B 【考点】双曲线的简单性质． 【分析】由双曲线C1的一条渐近线为y=x，利用点到直线的距离公式可知：丨F2M丨==b，丨OM丨==a，△OMF2的面积S=丨F2M丨?丨OM丨=16，则ab=32，双曲线C2的离心率e=，即可求得a和b的值，双曲线C1的实轴长2a=16． 【解答】解：由双曲线C1：﹣=1（a＞b＞0）的一条渐近线为y=x， ∵OM⊥MF2，F2（c，0）， ∴丨F2M丨==b， ∵丨OF2丨=c，丨OM丨==a△OMF2的面积S=丨F2M丨?丨OM丨=ab=16，则ab=32， 双曲线C2：﹣=1的离心率e===， ∴e===，解得：a=8，b=4， 双曲线C1的实轴长2a=16， 故选B． 2. 若（1+2ai）i=1﹣bi，其中a、b∈R，i是虚数单位，则|a+bi|=(     ) A．+i B．5 C． D． 参考答案： D 考点：点的极坐标和直角坐标的互化；复数代数形式的乘除运算． 专题：数系的扩充和复数． 分析：利用复数的运算法则、复数相等、模的计算公式即可得出． 解答： 解：∵（1+2ai）i=1﹣bi，∴﹣2a+i=1﹣bi， ∴﹣2a=1，1=﹣b，解得a=﹣，b=﹣1． 则|a+bi|=|﹣﹣i|===． 故选：D． 点评：本题考查了复数的运算法则、复数相等、模的计算公式，属于基础题． 3. 设为数列的前项之和.若不等式对任何等差数列及任何正整数恒成立，则的最大值为                                      A．            B．           C．            D．  参考答案： 答案:B 4. 数列{an}满足，则数列{log2an}的前10项和S10=（　　） A．55 B．50 C．45 D．40 参考答案： A 【考点】等比数列的前n项和；等比关系的确定． 【专题】计算题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列． 【分析】由已知得{an}是首项为2，公比为2的等比数列，从而，进而log2an=n，由此能求出数列{log2an}的前10项和S10． 【解答】解：∵数列{an}满足， ∴{an}是首项为2，公比为2的等比数列， ∴，∴log2an=n， ∴数列{log2an}的前10项和S10=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55． 故选：A． 【点评】本题考查数列的前10项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质和对数性质的合理运用． 5. “”是“”的 (A)充分不必要条件        (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 参考答案： B 略 6. 一排6个座位坐了2个三口之家.若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为（    ） A. 12 B. 36 C. 72 D. 720 参考答案： C 【分析】 根据题意，用捆绑法分析：先将2个三口之家的成员进行全排列，再对2个三口之家整体进行全排列，由分步计数乘法原理计算可得答案. 【详解】根据题意，先将2个三口之家的成员进行全排列，有种情况， 再对2个三口之家整体进行全排列，有种情况， 则有种不同的坐法. 故选：C. 【点睛】本题考查排列的简单应用，考查学生逻辑推理能力、数学运算能力，是一道容易题. 7. 若在上是减函数，则b的取值范围是   A.         B.        C.       D. 参考答案： C 函数的导数，要是函数在上是减函数，则，在恒成立，即，因为，所以，即成立。设，则，因为，所以，所以要使成立，则有，选C. 8. 数列满足，，， 则的大小关系为（    ） （A）     （B）     （C）     （D）大小关系不确定 参考答案： C 9. 已知集合，集合，则（     ） A．     B．   C．　　D． 参考答案： B =，∴=， 又=，∴   答案B 10. 复数                                                      A． B． C． D． 参考答案： 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 中，是的中点，若，则       ． 参考答案： 延长到,使,因为是的中点，所以是平行四边形, 因为,所以,,则, 解得,所以. 12. 定义在上的函数，如果对于任意给定的等比数列，仍是等比数列，则称为“等比函数”。现有定义在上的如下函数：①；②；③；④，则其中是“等比函数”的的序号为     　     ． 参考答案： 略 13. 曲线与坐标轴所围成的图形的面积是_________________. 参考答案： 3 14. 如果直线y=kx+1与圆x2+y2+kx+my﹣4=0相交于M、N两点，且点M、N关于直线x+y=0对称，则不等式组所表示的平面区域的面积为　　． 参考答案： 【考点】二元一次不等式（组）与平面区域． 【分析】由M与N关于x+y=0对称得到直线y=kx+1与x+y=0垂直，利用两直线垂直时斜率的乘积为﹣1，得到k的值；设出M与N的坐标，然后联立y=x+1与圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，根据韦达定理得到两横坐标之和的关于m的关系式，再根据MN的中点在x+y=0上得到两横坐标之和等于﹣1，列出关于m的方程，求出方程的解得到m的值，把k的值和m的值代入不等式组，在数轴上画出相应的平面区域，求出面积即可． 【解答】解：∵M、N两点，关于直线x+y=0对称， ∴k=1，又圆心在直线x+y=0上 ∴ ∴m=﹣1 ∴原不等式组变为作出不等式组表示的平面区域， △AOB为不等式所表示的平面区域，联立解得B（﹣，），A（﹣1，0）， 所以S△AOB=×|﹣1|×|﹣|=． 故答案为：． 15. 若变量x，y满足约束条件则z=3x–y的最大值是___________. 参考答案： 9 根据不等式组约束条件可知目标函数在(3,0)处取得最大值为9.   16. 棱长为的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过棱作四面体的截面，交棱的中点于，且截面面积是，则四面体外接球的表面积是          ． 参考答案： 18π 17. 某公司租赁甲、乙两种设备生产A，B两类产品，甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件，乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件．已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费为300元，现该公司至少要生产A类产品50件，B类产品140件，所需租赁费最少为　　元． 参考答案： 2300 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知函数的最小值为m. （1）求m的值； （2）若a、b、c均为正实数，且满足，求证：. 参考答案： （1）3； （2）证明见解析. 【分析】 （1）讨论的取值，去掉函数的绝对值，求出的最小值； （2）根据，利用基本不等式求出的最小值，即可证明结论成立． 【详解】（1）当时，； 当时，； 当时，． 综上，的最小值. （2）证明：因为、、均为正实数，且满足， 所以， 当且仅当时，取“＝”， 所以， 即 【点睛】本题考查了求含绝对值函数的最小值问题，也考查了基本不等式的应用问题，是综合性题目，难度较大． 19. （本小题满分10分）已知曲线为参数）， 为参数）。 （1）化的方程为普通方程; （2）若上的点对应的参数为，为上的动点，求中点到直线为参数）距离的最小值. 参考答案： 20. 设数列的前项和为，满足， 且。 （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求数列的通项公式； （Ⅲ）设数列的前项和为，且，证明：对一切正整数，         都有： 参考答案： 解：（Ⅰ）∵ ∴            （Ⅱ）由得 检验知，满足 ∴ 变形可得 ∴数列是以1为首项，1为公差的等差  解得 （Ⅲ）由（Ⅱ）知 代入得= ∵ ∴ ∴ ∴ 即 ∴   ∴ 略 21. 已知函数满足 (1）求函数值域 (2）当时，函数的最小值为7，求的最大值 参考答案： 设      (1）在（0，+）上是减函数     所以值域为（-，1） (2）  由 所以在上是减函数 或（不合题意舍去） 当时有最大值， 即  22. (本小题满分12分） 已知函数（其中），、是函数的两个不同的零点，且的最小值为． (1)求的值； (2)若，求的值． 参考答案： ⑴， ， 或 (k>0)或    ∴． ⑵，由，得， ∵ ．