湖南省常德市燕子山中学高一数学文测试题含解析

湖南省常德市燕子山中学高一数学文测试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 若sinα+sinβ+sinγ=0，cosα+cosβ+cosγ=0，且0≤α＜β＜γ＜2π，则β﹣α=（　　） A． B． C． D．以上答案都不对 参考答案： B 【考点】GP：两角和与差的余弦函数． 【分析】利用两角和与差的公式即可即可求出． 【解答】解：由sinα+sinβ+sinγ=0，cosα+cosβ+cosγ=0， ∵0≤α＜β＜γ＜2π， ∴sinα+sinβ=﹣sinγ，cosα+cosβ=﹣cosγ， ∴0≤α＜β＜π＜γ＜． 则（sinα+sinβ）2+（cosα+cosβ）2=1． ∴2（sinαsinβ+cosαcosβ）=﹣1． 得cos（β﹣α）=﹣． 由0≤α＜2π． ∴﹣2π＜﹣α≤0， 0＜β＜π． ∴0＜β﹣α＜π． ∴β﹣α=． 故选：B． 2. 如图为一个半球挖去一个圆锥后的几何体的三视图，则剩余部分与挖去部分的体积之比为（　　） A．3：1 B．2：1 C．1：1 D．1：2 参考答案： C 【考点】简单空间图形的三视图；由三视图求面积、体积． 【分析】V=V半球﹣V圆锥，由三视图可得球与圆锥内的长度． 【解答】解：球的半径为r，圆锥的半径为r，高为r； V圆锥=?πr3，V半球=×πr3=πr3， ∴V=V半球﹣V圆锥=πr3， ∴剩余部分与挖去部分的体积之比为1：1， 故选：C 3. 已知为上的奇函数，，在为减函数。若，，，则a，b，c的大小关系为 A．      B． C． D． 参考答案： C 4. 下列图象中表示函数图象的是（     ） 参考答案： C 根据函数的定义可知对于定义域内任意一个x值，都有唯一的y值与其对应，故只有C是函数的图像.A，B，D一个x对应多个y值   5. 函数的图像的一条对称轴是（    ） A．    B．     C．    D． 参考答案： C 6. 若函数的图象关于直线x=-2对称，则a,b的值分别为(    )      A   8,15    B 15,8  C   3,4     D   -3,-4 参考答案： A 略 7. 已知随机变量x，y的值如下表所示，如果x与y线性相关，且回归直线方程为，则实数b的值为（   ） x 2 3 4 y 5 4 6 A．             B．             C．             D． 参考答案： D 根据所给数据，得到，， ∴这组数据的样本中心点是（3,5）， ∵线性回归直线一定过样本中心点， ，解得.   8. 下列图象中不能表示函数的图象是  （   ） A                   B                   C              D 参考答案： D 略 9. .在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若，，且△ABC的面积为，则b+c= A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 参考答案： B 【分析】 本题首先可以根据计算出，然后根据解三角形面积公式以及的面积为即可计算出的值，然后通过余弦定理、以及计算出的值，最后根据即可得出结果。 【详解】因为，所以，则的面积为. 因为的面积为，所以，. 由余弦定理可得， 因为，，所以， 则，故选B。 【点睛】本题考查三角函数的相关性质，主要考查解三角形余弦公式以及解三角形面积公式，能否对公式进行活用是解决本题的关键，考查化归与转化思想，是中档题。 10. 函数在有零点，则的取值范围为 A．  B.        C.     D. 参考答案： D 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 在x轴上的截距为2且斜率为1的直线方程为　　． 参考答案： x﹣y﹣2=0 【考点】直线的斜截式方程． 【分析】由题意可得直线过点（2，0），用点斜式求得直线方程，并化为一般式． 【解答】解：由题意可得直线过点（2，0）， 由直线的点斜式求得在x轴上的截距为2且斜率为1的直线方程为y﹣0=x﹣2， 即x﹣y﹣2=0． 故答案为 x﹣y﹣2=0． 12. 的值为________． 参考答案： － 　 13. 关于x的方程sin＝k在[0，π]上有两解，则实数k的取值范围是______． 参考答案： [ 1，） 14. 函数的定义域为_____________________． 参考答案： 试题分析：由题意得，即,解得 ． 考点：函数的定义域及其求法 . 15. 命题“若a，b都是奇数，则a+b是偶数”的逆否命题是            ． 参考答案： 若a+b不是偶数，则a，b不都是奇数 【考点】四种命题间的逆否关系． 【专题】阅读型． 【分析】根据逆否命题的定义，先否定原命题的题设做结论，再否定原命题的结论做题设，就得到原命题的逆否命题． 【解答】解：∵“a，b都是奇数”的否命题是“a，b不都是奇数”， “a+b是偶数”的否命题是“a+b不是偶数”， ∴命题“若a，b都是奇数，则a+b是偶数”的逆否命题是“若a+b不是偶数，则a，b不都是奇数”． 故答案为：若a+b不是偶数，则a，b不都是奇数． 【点评】本题考查四种命题间的逆否关系，解题时要注意四种命题间的相互转化． 16. 函数f（x）=loga（3x﹣5）﹣2的图象恒过定点P，则点P的坐标是       ． 参考答案： （2，﹣2） 【考点】对数函数的图像与性质． 【专题】函数的性质及应用． 【分析】根据对数函数y=logax的图象过定点P（1，0），即可求出函数f（x）图象过定点的坐标． 【解答】解：根据题意，令3x﹣5=1，解得x=2，此时y=0﹣2=﹣2， ∴即函数f（x）的图象过定点P（2，﹣2）． 故答案为：（2，﹣2）． 【点评】本题考查了对数函数的图象与性质的应用问题，是基础题目． 17. 棱长为2的正方体的外接球的表面积为　　　　　　　　．   参考答案： 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. (本题满分12分)在中，内角的对边分别为,且 (Ⅰ)求的值； (Ⅱ)若,求的取值范围; (Ⅲ)若,求的取值范围. 参考答案： (Ⅰ)因为: 所以:展开后得: 故=,即.............................4分 (II)由,得外接圆直径,且点在优弧上任意运动. 由图:于点,设有向线段长为,则= 由图可知:,故                                          ....................................................8分 (III)设线段中点为D,由图可知 由极化恒等式:== 所以:                                                    .........................................12分 19. 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数． （Ⅰ）当0≤x≤200时，求函数v（x）的表达式； （Ⅱ）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）f（x）=x?v（x）可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）． 参考答案： 【考点】函数模型的选择与应用；基本不等式在最值问题中的应用． 【分析】（Ⅰ）根据题意，函数v（x）表达式为分段函数的形式，关键在于求函数v（x）在20≤x≤200时的表达式，根据一次函数表达式的形式，用待定系数法可求得； （Ⅱ）先在区间（0，20]上，函数f（x）为增函数，得最大值为f（20）=1200，然后在区间[20，200]上用基本不等式求出函数f（x）的最大值，用基本不等式取等号的条件求出相应的x值，两个区间内较大的最大值即为函数在区间（0，200]上的最大值． 【解答】解：（Ⅰ） 由题意：当0≤x≤20时，v（x）=60；当20＜x≤200时，设v（x）=ax+b 再由已知得，解得 故函数v（x）的表达式为．   （Ⅱ）依题并由（Ⅰ）可得 当0≤x＜20时，f（x）为增函数，故当x=20时，其最大值为60×20=1200 当20≤x≤200时， 当且仅当x=200﹣x，即x=100时，等号成立． 所以，当x=100时，f（x）在区间（20，200]上取得最大值． 综上所述，当x=100时，f（x）在区间[0，200]上取得最大值为， 即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大值，最大值约为3333辆/小时． 答：（Ⅰ） 函数v（x）的表达式 （Ⅱ） 当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大值，最大值约为3333辆/小时． 20. （本小题满分12分） 如图所示，我艇在A处发现一走私船在方位角45°且距离为12海里的B处正以每小时10海里的速度向方位角105°的方向逃窜,我艇立即以14海里/小时的速度追击,求我艇追上走私船所需要的最短时间。   参考答案： 2小时 设我艇追上走私船所需要的时间为t小时，则BC＝10t，AC＝14t， 在△ABC中，∠ABC＝120°，根据余弦定理知：(14t)2＝(10t)2＋122－2·12·10tcos 120°， ∴t＝2或t＝－(舍去)，故我艇追上走私船所需要的时间为2小时  ………12分 21. 已知向量，满足，，且，的夹角为60°. （1）求； （2）若，求的值. 参考答案： （1）-12；（2）12. 【分析】 (1)按照向量的点积公式得到，再由向量运算的分配律得到结果；（2）根据向量垂直得到，按照运算公式展开得到结果即可. 【详解】（1）由题意得， ∴ （2）∵，∴，∴， ∴，∴ 【点睛】这个题目考查了向量的点积运算，以及向量垂直的转化；向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题. 22. 计算：(1) (2)已知，，求．（其值用a，b表示） 参考答案： 原式=-------------------------2分            -------------------------------------4分 -------------------------------------------6分 （2）---------------------8分             -------------------------------10分 -------------------------12分