湖北省恩施市忠路镇中学2022-2023学年高三数学文模拟试题含解析

湖北省恩施市忠路镇中学2022-2023学年高三数学文模拟试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 函数的单调递增区间是  A．       B．      C．        D． 参考答案： D 略 2. 已知函数f（x）=ex﹣ax有两个零点x1，x2，x1＜x2，则下面说法正确的是（　　） A．x1+x2＜2 B．a＜e C．x1x2＞1 D．有极小值点x0，且x1+x2＜2x0 参考答案： D 【考点】函数零点的判定定理． 【分析】对于A：根据对数的运算性质判断即可， 对于B：利用导数判断函数的单调性，以及结合零点定理即可求出a＞e； 对于C：f（0）=1＞0，0＜x1＜1，x1x2＞1不一定， 对于D：f（x）在（﹣∞，lna）单调递减，在（lna，+∞）单调递增即可得出结论． 【解答】解：∵x1+x2=ln（a2x1x2）=2lna+ln（x1x2）＞2+ln（x1x2）， 取a=，f（2）=e2﹣2a=0， ∴x2=2，f（0）=1＞0， ∴0＜x1＜1， ∴x1+x2＞2，A不正确； ∵f（x）=ex﹣ax， ∴f′（x）=ex﹣a，令f′（x）=ex﹣a＞0， ①当a≤0时，f′（x）=ex﹣a＞0在x∈R上恒成立， ∴f（x）在R上单调递增． ②当a＞0时，∵f′（x）=ex﹣a＞0，∴ex﹣a＞0，解得x＞lna， ∴f（x）在（﹣∞，lna）单调递减，在（lna，+∞）单调递增． ∵函数f（x）=ex﹣ax有两个零点x1＜x2， ∴f（lna）＜0，a＞0， ∴elna﹣alna＜0， ∴a＞e，B不正确； f（0）=1＞0， ∴0＜x1＜1，x1x2＞1不一定，C不正确； f（x）在（﹣∞，lna）单调递减，在（lna，+∞）单调递增， ∴有极小值点x0=lna，且x1+x2＜2x0=2lna，D正确． 故选：D． 3. 函数的图像大致为 参考答案： A 试题分析：根据函数的奇偶性，可知函数为奇函数，所以图像关于原点对称，故C,D不对又因为在，且比较接近于零的地方，，所以函数值大于零，图像在第一象限，所以B不对，故选A. 考点：函数图像的选取. 4. “”是“直线与直线平行”的（   ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 参考答案： D 【分析】 先由两直线平行得到方程解出m的值，再验证排除两直线重合的情况，得到平行的充要条件，再进行判断即可. 【详解】解：若直线：与直线：平行 则， 当时，直线：与直线：，两直线重合，舍 所以“直线：与直线：平行”等价于“” 所以“”是“直线：与直线：平行”的既不充分也不必要条件 故选D 【点睛】本题考查了两直线平行的充要条件，充分必要条件的判断，注意判断两直线平行一定要验证两直线是否重合. 5. 函数y=+的定义域为（　　） A．[﹣，+∞） B．（﹣∞，] C．[﹣，] D．（﹣，） 参考答案： C 【考点】函数的定义域及其求法． 【分析】根据二次根式被开方数大于或等于0，列出不等式组求出解集即可． 【解答】解：函数y=+， ∴， 解得﹣≤x≤， ∴函数y的定义域为[﹣，]． 故选：C． 6. 已知和是两条不同的直线，和是两个不重合的平面，下面给出的条件中一定能推出的是                                                                                （      ） （A）且                   （B）且 （C）且                   （D）且 参考答案： C 7. 若满足，则关于的函数图象大致是（    ） A.     B. C.     D. 参考答案： B 由，即，则，故可排除答案C，D；又，即，故排除答案A，所以应选答案B。 8. 已知点，分别是双曲线的左、右焦点，过且垂直于 轴的直线与双曲线交于，两点，若是钝角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是（   ） A．   B．  C．  D． 参考答案： C 由题设条件可知△ABC为等腰三角形，只要∠AF2B为钝角即可，所以有 ，即，所以，解得，选C. 9. 已知抛物线：的焦点为，，两点在抛物线上，且，过点，分别引抛物线的切线，，，相交于点，则（   ） A． B． C． D． 参考答案： A 10. 完成下列表格，据此可猜想多面体各面内角和的总和的表达式是（    ） 多面体 顶点数 面数 棱数 各面内角和的总和 三棱锥 4   6   四棱锥 5 5     五棱锥 6       （说明：上述表格内，顶点数指多面体的顶点数.） A．        B．       C.          D． 参考答案： A 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 袋中装有大小相同且质地一样的五个球，五个球上分别标有“2”，“3”，“4”，“6”， “9”这五个数．现从中随机选取三个球，则所选的三个球上的数恰好能构成等差数列或等比数列的概率是             ． 参考答案： 12. 已知函数，，若方程有且只有三个不同的实数根，则实数a的取值范围是          ． 参考答案：     13. （1+x﹣30x2）（2x﹣1）5的展开式中，含x3项的系数为　   　（用数字填写答案） 参考答案： ﹣260 【考点】二项式定理的应用． 【分析】分析x3得到所有可能情况，然后得到所求． 【解答】解：（1+x﹣30x2）（2x﹣1）5的展开式中，含x3项为﹣30x2=80x3﹣40x3﹣300x3=﹣260x3， 所以x3的系数为﹣260； 故答案为：﹣260． 【点评】本题考查了二项式定理；注意各种可能． 14. 若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是            . 参考答案： 略 15. 已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则?=　　． 参考答案： 2 16. （5分）设a∈R，函数f（x）=ex+a?e﹣x的导函数y=f′（x）是奇函数，若曲线y=f（x）的一条切线斜率为，则切点的横坐标为　　． 参考答案： ln2 【考点】： 利用导数研究曲线上某点切线方程． 【专题】： 计算题． 【分析】： 对函数求导，先有导函数为奇函数可求a，利用导数的几何意义设切点，表示切线的斜率，解方程可得． 解：由题意可得，f′（x）=ex﹣是奇函数， ∴f′（0）=1﹣a=0 ∴a=1，f（x）=ex+，f′（x）=ex﹣， ∵曲线y=f（x）在（x，y）的一条切线的斜率是， ∴=ex﹣， 解方程可得ex=2， ∴x=ln2． 故答案为：ln2． 【点评】： 本题主要考查函数的导数的定义及导数的四则运算及导数的运算性质、函数的奇偶性、导数的几何意义：在某点的导数值即为改点的切线斜率，属于基础知识的简单运用，难度不大． 17. 已知，且复数是纯虚数,则a=        . 参考答案： －2   三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知函数的图象过坐标原点O，且在点(―1，f(－1))处的切线的斜率是－5. (1)求实数b、c的值； (2)求f(x)在区间上的最大值； (3)对任意给定的正实数a，曲线y＝f(x)上是否存在两点P、Q，使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上？请说明理由． 参考答案： 　(1)当x<1时，f(x)＝－x3＋x2＋bx＋c，则f′(x)＝－3x2＋2x＋b. 依题意，得，即，解得b＝c＝0. (2)由(1)知，f(x)＝. ①当－1≤x<1时，f′(x)＝－3x2＋2x＝－3x，令f′(x)＝0得x＝0或x＝. 当x变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表： x (－1，0) 0 (0，) ，1) f′(x) － 0 ＋ 0 － f(x) 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减 又f(－1)＝2，f＝，f(0)＝0，∴f(x)在[－1,1)上的最大值为2. ②当1≤x≤2时，f(x)＝aln x.，当a≤0时，f(x)≤0，∴f(x)的最大值为0； 当a>0时，f(x)在[1,2]上单调递增，∴f(x)在[1,2]上的最大值为aln 2. 综上所述，当aln 2≤2，即a≤时，f(x)在[－1,2]上的最大值为2； 当aln 2>2，即a>时，f(x)在[－1,2]上的最大值为aln 2. (3)假设曲线y＝f(x)上存在两点P、Q满足题设要求，则点P、Q只能在y轴的两侧．不妨设P(t，f(t))(t>0)，则Q(－t，t3＋t2)，显然t≠1.∵△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，∴O·O＝0，即－t2＋f(t)(t3＋t2)＝0.　　① 若方程①有解，则存在满足题意的两点P、Q；若方程①无解，则不存在满足题意的两点P、Q.若01.此时f(t)＝aln t，代入①式得，－t2＋(aln t)(t3＋t2)＝0， 即＝(t＋1)ln t．　　②令h(x)＝(x＋1)ln x(x≥1)，则h′(x)＝ln x＋＋1>0， ∴h(x)在[1，＋∞)上单调递增，∵t>1，∴h(t)>h(1)＝0，当t→＋∞时，h(t)→＋∞， ∴h(t)的取值范围为(0，＋∞)． ∴对于a>0，方程②总有解，即方程①总有解． 因此对任意给定的正实数a，曲线y＝f(x)上总存在两点P、Q，使得△POQ是以点O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上． 略 19. 已知函数，且其图象的相邻对称轴间的距离为. （I）求在区间上的值域； （II）在锐角中，若求的面积. 参考答案： （1) [,]     (2)        略 20. 已知椭圆C：+=1，（a＞b＞0）的离心率等于，点P（2，）在椭圆上． （1）求椭圆C的方程； （2）设椭圆C的左右顶点分别为A，B，过点Q（2，0）的动直线l与椭圆C相交于M，N两点，是否存在定直线l′：x=t，使得l′与AN的交点G总在直线BM上？若存在，求出一个满足条件的t值；若不存在，说明理由． 参考答案： 考点：直线与圆锥曲线的综合问题． 专题：圆锥曲线中的最值与范围问题． 分析：（1）由题意可得：，解得即可． （2）当l⊥x轴时，M，N，联立直线AN、BM的方程可得G．猜测常数t=8． 即存在定直线l′：x=t，使得l′与AN的交点G总在直线BM上．当直线l的斜率存在时，设l的方程为：y=k（x﹣2），M（x1，y1），N（x2，y2），G（8，t）．把直线方程与椭圆方程联立可得根与系数的关系，由于=（12，t），=（x2+4，y2），利用三点共线可得t（x2+4）﹣12y2=0，只要证明三点B，M，G共线即可．利用向量的坐标运算及其根与系数的关系即可证明． 解答： 解：（1）∵椭圆C：+=1，（a＞b＞0）的离心率等于，点P（2，）在椭圆上． ∴，解得a2=16，b2=4，c=．∴椭圆C的方程为． （2）当l⊥x轴时，M，N，直线AN、BM的方程分别为，． 分别化为：=0，=0．联立解得G．猜测常数t=8． 即存在定直线l′：x=t，使得l′与AN的交点G总在直线BM上． 证明