山东省泰安市东平高级艺术中学高二数学理测试题含解析

山东省泰安市东平高级艺术中学高二数学理测试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知f（n）=，且an=f（n）+f（n+1），则a1+a2+…+a2014的值为(     ) A．0 B．2014 C．﹣2014 D．2014×2015 参考答案： B 【考点】数列的求和． 【专题】等差数列与等比数列． 【分析】由已知条件推出n为奇数时，an+an+1=2，即a1+a2=2，a3+a4=2，…，a2013+a2014=2，由此能求出a1+a2+…+a2014． 【解答】解：∵f（n）=，且an=f（n）+f（n+1）， n为奇数时，an=f（n）+f（n+1）=n2﹣（n+1）2=﹣2n﹣1， an+1=f（n+1）+f（n+2）=﹣（n+1）2+（n+2）2=2n+3， ∴an+an+1=2， ∴a1+a2=2，a3+a4=2，…，a2013+a2014=2， ∴a1+a2+…+a2014 =（a1+a2）+（a3+a4）+…+（a2013+a2014） =1007×2=2014． 故选：B． 【点评】本题考查数列中前2014项的和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意n的奇偶性的合理运用． 2. 函数的单调递增区是（    ） A.(－∞,-2)　     B. (2,＋∞)　  C. (－∞,－2)和(2,＋∞)　   D. (－2,2)　 参考答案： D 略 3. 如图，一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图均为全等的等腰直角三角形，且直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的体积为（    ） A．         B．         C．          D． 参考答案： A 4. 目前哈尔滨的电话号码为8位数字，某人打电话时,忘记了电话号码的最后一位数字是多少，但他记得最后一位是偶数，不超过两次就按对的概率为（     ） A.          B.           C.           D.   参考答案： C 略 5. 复数z满足，则z=（　　） A.－2－i        B. 2－i        C.1－2i            D.1+2i 参考答案： B 6. 已知函数，则（　　） A. 1 B. 0 C. D. 参考答案： A 分析：先求导，再求，再化简得解. 详解：由题得， ∴. 因为=， ∴=1 故选A. 点睛：本题主要考查导数的运算和导数的定义，属于基础题. 7. 已知，其中为虚数单位，则（    ） A.              B.                C. D.                参考答案： D 略 8. 有关命题的说法错误的是：（    ） A．命题“若 则 ”的逆否命题为：“若, 则”. B．“”是“”的充分不必要条件. C．若为假命题，则、均为假命题. D．若命题：存在。则为：任给    参考答案： C 略 9. 若椭圆短轴上的两顶点与一焦点的连线互相垂直，则离心率等于(　　  ) A.        B.       C.        D. 参考答案： B 10. 如图，样本数为的四组数据，它们的平均数都是，频率条形图如下，则标准差最大的一组是（     ） A． 第一组          B．第二组          C．第三组          D．第四组 参考答案： D 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知圆（x﹣1）2+（y+2）2=6的圆心到直线2x+y﹣5=0的距离为　　． 参考答案： 【考点】点到直线的距离公式． 【分析】利用点到直线的距离公式即可得出． 【解答】解：圆（x﹣1）2+（y+2）2=6的圆心C（1，﹣2）到直线2x+y﹣5=0的距离d==． 故答案为：． 12. 已知正数满足，则的最小值为  ▲  ． 参考答案： 13. 直线上有一点P,它与两定点,的距离之差最大,则P点坐标是___________________. 参考答案： （3，-1） 14. 已知A（1，1），B（﹣2，3），O为坐标原点，若直线l：ax+by+1=0与△ABO所围成的区域（包括边界）没有公共点，则a﹣3b的取值范围为　    　． 参考答案： （﹣∞，） 【分析】根据所给的三个点的坐标和直线与△ABO所围成的区域（包括边界）没有公共点，得到关于a，b的不等式组，根据不等式组画出可行域，求出目标函数的取值范围． 【解答】解：A（1，1），B（﹣2，3），O为坐标原点， 直线l：ax+by+1=0与△ABO所围成区域（包含边界） 没有公共点， 得不等式组， 令z=a﹣3b， 画出不等式组表示的平面区域， 判断知，z=a﹣3b在A取得最大值， 由，解得M（﹣，﹣）， 可得a﹣3b＜． ∴a﹣3b的取值范围是（﹣∞，）． 故答案为：（﹣∞，）． 　 15. 在下列命题中， ①若直线a平面M，直线b平面M，且ab＝φ，则a//平面M； ②若直线a平面M，a平行于平面M内的一条直线，则a//平面M； ③直线a//平面M，则a平行于平面M内任何一条直线； ④若a、b是异面直线，则一定存在平面M经过a且与b平行。 其中正确命题的序号是                 。 参考答案： ②④ 略 16. 在中，若为直角，则有 ；类比到三棱锥中，若三个侧面两两垂直，且分别与底面所成的角为，则有      ． 参考答案： 17. 下面给出三个类比推理命题（其中为有理数集，为实数集，为复数集）；  ①类比推出  ②类比推出 ,若 ③类比推出 其中类比结论正确的序号是_____________（写出所有正确结论的序号） 参考答案：  ①② 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （12分）已知式子（2x2+）5． （Ⅰ）求展开式中含的项； （Ⅱ）若（2x2+）5的展开式中各二项式系数的和比（+）n的展开式中的第三项的系数少28，求n的值． 参考答案： （Ⅰ）　　　　　　　　　　 = =　 …………………………………………………………2分    令则，   ………………………………………………4分 ∴展开式中含的项为：   ，…………………………………………………………6分 （Ⅱ）的展开式中各二项式系数的和为　 …………8分 的展开式中的第三项为： 　… …………………………………………10分 依题意得， 　解得，　 …………………………………………………………………12分 19. （10分）某班50名学生在一次百米测试中，成绩（单位：秒）全部介于13与18秒之间，将测试结果按如下方式分成五组：第一组[13,14)，第二组[14,15)，…，第五组[17,18]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图. 若从第一、第五组中随机取出两个成绩，求这两个成绩一个在第一组，一个在第五组的概率. 参考答案： 由频率分布直方图知成绩在第一组[13,14)的人数为50×0.06=3人，设这3人的成绩分别为a,b,c.------1’ 成绩在第五组[17,18]的人数为50×0.04=2人，设这2人的成绩分别为x,y.------2’ 用(m,n)表示从第一、五组随机取出两个成绩的基本事件， 当m,n∈[13,14)时，有（a,b）,(a,c),(b,c),共3种情况------4’ 当m,n∈[17,18]时，有(x,y)1种情况--------6’ 当m,n分别在[13,14)和[17,18]时，有(a,x),(a,y),(b,x),(b,y),(c,x),(c,y),共6种情况，-------8’ 所以基本事件总数为10，所求事件所包含的基本事件数为6-------9’ 所以，所求事件的概率为P=------10’ 20. 已知圆C1的圆心在坐标原点O，且与直线l1：相切，设点A为圆上一动点，AM⊥x轴于点M，且动点N满足，设动点N的轨迹为曲线C． （1）求曲线C的方程； （2）若动直线l2：y=kx+m与曲线C有且仅有一个公共点，过F1（﹣1，0），F2（1，0）两点分别作F1P⊥l2，F2Q⊥l2，垂足分别为P，Q，且记d1为点F1到直线l2的距离，d2为点F2到直线l2的距离，d3为点P到点Q的距离，试探索（d1+d2）?d3是否存在最值？若存在，请求出最值． 参考答案： 【考点】直线与圆的位置关系． 【分析】（1）设圆C1：x2+y2=R2，根据圆C1与直线l1相切，求出圆的方程为x2+y2=12，由此利用相关点法能求出曲线C的方程． （2）将直线l2：y=kx+m代入曲线C的方程3x2+4y2=12中，得（4k2+3）x2+8kmx+4m2﹣12=0，由此利用根的判别式、韦达定理、直线方程、椭圆性质、弦长公式，结合已知条件能求出（d1+d2）?d3存在最大值，并能求出最大值． 【解答】解：（1）设圆C1：x2+y2=R2，根据圆C1与直线l1相切， 得R，即R=2， ∴圆的方程为x2+y2=12， 设A（x0，y0），N（x，y），∵AM⊥x轴于M，∴M（x0，0）， ∴（x，y）=（x0，y0）+（）（x0﹣0）=（）， ∴，即， ∵点A（x0，y0）为圆C1上的动点， ∴=12，∴（）2+（2y）2=12， ∴=1． （2）由（1）中知曲线C是椭圆， 将直线l2：y=kx+m代入椭圆C的方程3x2+4y2=12中，得（4k2+3）x2+8kmx+4m2﹣12=0 由直线l2与椭圆C有且仅有一个公共点知，△=64k2m2﹣4（4k2+3）（4m2﹣12）=0， 整理得m2=4k2+3…（7分），且，， 1°当k≠0时，设直线l2的倾斜角为θ，则d3?|tanθ|=|d1﹣d2|，即 ∴=…（10分） ∵m2=4k2+3∴当k≠0时， ∴， ∴…（11分） 2°当k=0时，四边形F1F2PQ为矩形，此时，d3=2 ∴…（12分） 综上1°、2°可知，（d1+d2）?d3存在最大值，最大值为…（13分） 【点评】本题综合考查了圆的标准方程、向量的坐标运算，轨迹的求法，直线与椭圆位置关系；本题突出对运算能力、化归转化能力的考查，还要注意对特殊情况的考虑，本题难度大． 21. 甲乙两班级进行数学测试，每班45人，统计学生成绩，乙班优秀率为20%，甲班优秀人数比乙班多三人. （1）根据所给数据完成下列2×2列联表；   优秀 不优秀 总计 甲班       乙班       总计         （2）能否在犯错误的概率不超过0.010的前提下，认为成绩与班级有关系？ 参考公式：：，其中； 临界值表供参考： 0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828       参考答案： （1）见解析（2）在犯错误的概率不超过0.01的前提下，不能认为“成绩与班级有关系”，详见解析 【分析】 （1）先根据乙班优秀率求出乙班优秀人数，进而可得甲班优秀人数，从而可得列联表； （2）先根据数据求出卡方，结合临界值可得结论. 【详解】（1）根据所给数据完成下列列联表；       优   秀     不 优 秀      总   计     甲   班 12 33 45     乙   班