河北省承德市隆化县中关镇中关中学高三数学理上学期期末试题含解析

河北省承德市隆化县中关镇中关中学高三数学理上学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 在复平面内，复数对应的点在　（　　） A. 第一象限　　　B.第二象限　　　 C.第三象限 　　　D.第四象限 参考答案： B 略 2. 当时，不等式            恒成立，则实数的取值范围是 A.       B.       C.             D. 参考答案： A 略 3. 抛物线y2=8x的焦点到双曲线x2﹣=1的一条渐近线的距离为（　　） 　 A． 1 B． 2 C． D．   参考答案： C 略 4. 在△中，“”是“”的 （A）充分不必要条件   （B）必要不充分条件  （C）充分必要条件   （D）既不充分也不必要条件 参考答案： C 5. 已知集合，Q={1,2,3}，则P∩Q=（    ） A. {1} B. {1,2} C. {2,3} D. {1,2,3} 参考答案： A 集合,则＝,故选A. 点睛: 集合的三要素是：确定性、互异性和无序性.研究一个集合，我们首先要看清楚它的研究对象，是实数还是点的坐标还是其它的一些元素，这是很关键的一步.第二步常常是解一元二次不等式，我们首先用十字相乘法分解因式，求得不等式的解集.在解分式不等式的过程中，要注意分母不能为零.本题利用了指数函数的单调性求解不等式.在求交集时注意区间端点的取舍. 熟练画数轴来解交集、并集和补集的题目. 6. 已知双曲线C： 的一条新近线与直线垂直，则此双曲线的离心率为(    ) A.         B.          C.          D. 参考答案： B 7. 在某条件下的汽车测试中，驾驶员在一次加满油后的连续行驶过程中从汽车仪表盘得到如下信息： 时间 油耗（升/100公里） 可继续行驶距离（公里） 10：00 9.5 300 11：00 9.6 220 注：油耗=加满油后已用油量加满油后已行驶距离，可继续行驶距离=汽车剩余油量当前油耗，平均油耗=指定时间内的用油量指定时间内的行驶距离． 从上述信息可以推断在10：00﹣11：00这1小时内(     ) ①行使了80公里； ②行使不足80公里；③平均油耗超过9.6升/100公里；④平均油耗恰为9.6升/100公里；⑤平均车速超过80公里/小时．(     ) A．①④ B．②③ C．②④ D．③⑤ 参考答案： B 【考点】进行简单的合情推理；变化的快慢与变化率． 【专题】应用题． 【分析】根据油耗=，可继续行驶距离=，平均油耗=．可以算出实际用油为7.38．行驶距离为，和平均油耗和平均车速． 【解答】解：实际用油为9.5×300﹣9.6×220=7.38． 行驶距离，所以①错误，②正确． 设L为已用油量，△L为一个小时内的用油量，S为已行驶距离，△S为一个小时内已行的距离， 得L+△L=9.6S+9.6△S，9.5S+△L=9.6S+9.6△S，△L=0.1S+9.6△S， ∴． 所以③正确，④错误； 因为行驶的时间为1小时，由②知平均车速不超过80公里/小时，故⑤错误． 故选B． 【点评】本小题主要考查变化的快慢与变化率、进行简单的合情推理等基础知识，考查学生的阅读能力和代入公式的计算能力．属于基础题． 8. 设x，y满足约束条件，则的最小值为（  ） A. 1 B. C. D. 参考答案： D 【分析】 画出可行域，利用的几何意义，求得的最小. 【详解】由图知的最小值为原点到直线的距离，则最小距离为.故选D. 【点睛】本小题主要考查非线性目标函数的最值的求法，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题. 9. 若函数为奇函数，则的值为（   ） A． 2            B． 1             C． -1            D． 0 参考答案： B 10. 某中学生为了能观看2008年奥运会，从2001年起，每年2月1日到银行将自己积攒的零用钱存入元定期储蓄，若年利率为且保持不变，并约定每年到期存款均自动转为新的一年定期，到2008年将所有的存款及利息全部取回，则可取回钱的总数（元）为                    （    ）    A．    B．   C．   D．  参考答案： 答案：D 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 数列对任意的正整数满足，则数列的通项公式         。 参考答案： 12. 函数的最小值为      。 参考答案： 13. 设当时,函数取得最小值,则_______。 参考答案： 略 14. 已知函数，且函数有且仅有两个零点，则实数的取值范围是          ． 参考答案： 由得，设。做出函数的图象，当时，直线与有两个交点，所以要使有且仅有两个零点，则有，即实数的取值范围是。 15. 如图，F1和F2分别是双曲线的两个焦点，A和B是以O为圆心，以|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为　　． 参考答案： 【考点】双曲线的简单性质；直线和圆的方程的应用；直线与圆锥曲线的综合问题． 【分析】连接AF1，根据△F2AB是等边三角形可知∠AF2B=30°，F1F2是圆的直径可表示出|AF1|、|AF2|，再由双曲线的定义可得 c﹣c=2a，即可得到离心率的值． 【解答】解：连接AF1，则∠F1AF2=90°，∠AF2B=30° ∴|AF1|=， |AF2|=|F1F2|=c， ∴c﹣c=2a， ∴e==1+ 故答案为1+ 16. 已知A={x|x＜﹣1或x＞5}，B={x|a≤x＜a+4}，若A?B，则实数a的取值范围是    ． 参考答案： a≤﹣5或a＞5 【考点】子集与真子集． 【专题】计算题． 【分析】集合A是两部分组成，集合B是集合A的真子集分两种情况，一种在左边则有a+4≤﹣1；一种在右边则有a＞5． 【解答】解：∵A={x|x＜﹣1或x＞5}，B={x|a≤x＜a+4}，若A?B ∴a+4≤﹣1或a＞5 解得a≤﹣5或a＞5 故答案为：a≤﹣5或a＞5 【点评】本题考查集合与集合的包含关系已知，求参数范围，关键是判断出两个集合的端点的大小，经验总结：A集开可取等号；A集闭，B集闭可取等号；A集闭，B集开，不取等号． 17. 设，，满足，则不是直角三角形的概率是       . 参考答案： 4/7 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （2017?河北二模）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠BCD=120°，四边形BFED是以BD为直角腰的直角梯形，DE=2BF=2，平面BFED⊥平面ABCD． （Ⅰ）求证：AD⊥平面BFED； （Ⅱ）在线段EF上是否存在一点P，使得平面PAB与平面ADE所成的锐二面角的余弦值为．若存在，求出点P的位置；若不存在，说明理由． 参考答案： 【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定． 【分析】（Ⅰ）推出AB=2，求解AB2=AD2+BD2，证明BD⊥AD，然后证明AD⊥平面BFED． （Ⅱ）以D为原点，分别以DA，DE，DE为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，求出相关点的坐标，求出平面EAD的一个法向量，平面PAB的一个法向量，利用向量的数量积，转化求解即可． 【解答】解：（Ⅰ）在梯形ABCD中， ∵AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠BCD=120°， ∴故 AB=2， ∴BD2=AB2+AD2﹣2AB?AD?cos60°=3， ∴AB2=AD2+BD2 ∴BD⊥AD， ∵平面BFED⊥平面ABCD，平面BFED∩平面ABCD=BD， ∴AD⊥平面BFED．… （Ⅱ）∵AD⊥平面BFED，∴AD⊥DE， 以D为原点，分别以DA，DE，DE为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则D（0，0，0），A（1，0，0），B（0，，0），P（0，λ，）， =（﹣1，，0），=． 取平面EAD的一个法向量为=（0，1，0）， 设平面PAB的一个法向量为=（x，y，z）， 由=0， ?=0得：，取y=1，可得=（）． ∵二面角A﹣PD﹣C为锐二面角，平面PAB与平面ADE所成的锐二面角的余弦值为． ∴cos＜===， 解得λ=，即P为线段EF的3等分点靠近点E的位置．…（12分） 【点评】本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力． 19. 在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（为参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为. （1）求曲线C1的普通方程和C2的直角坐标方程； （2）已知曲线C3的极坐标方程为（，），点A是曲线C3与C1的交点，点B是曲线C3与C2的交点，且A，B均异于原点O，且，求实数a的值. 参考答案： （1）由曲线的参数方程为（为参数）， 消去参数得曲线的普通方程为. ∵曲线的极坐标方程为，∴， ∴的直角坐标方程为，整理得. （2）曲线：化为极坐标方程为， 设，， ∵曲线的极坐标方程为，，，点是曲线与的交点， 点是曲线与的交点，且，均异于原点，且， ∴， ∴， ∵，∴，∴， 解得. 20. 已知函数f（x）=x﹣ax2﹣lnx（a＞0）． （Ⅰ）讨论f（x）的单调性； （Ⅱ）若f（x）有两个极值点x1，x2，证明：f（x1）+f（x2）＞3﹣2ln2． 参考答案： 【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性． 【分析】（1）先求出函数的导数，通过讨论a的范围，确定导函数的符号，从而判断函数的单调性； （2）表示出f（x1）+f（x2）=lna++ln2+1，通过求导进行证明． 【解答】解：（1）∵f′（x）=﹣，（x＞0，a＞0）， 不妨设φ（x）=2ax2﹣x+1（x＞0，a＞0）， 则关于x的方程2ax2﹣x+1=0的判别式△=1﹣8a， 当a≥时，△≤0，φ（x）≥0，故f′（x）≤0， ∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递减， 当0＜a＜时，△＞0，方程f′（x）=0有两个不相等的正根x1，x2， 不妨设x1＜x2，则当x∈（0，x1）及x∈（x2，+∞）时f′（x）＜0， 当x∈（x1，x2）时，f′（x）＞0， ∴f（x）在（0，x1），（x2，+∞）递减，在（x1，x2）递增； （2）由（1）知当且仅当a∈（0，）时f（x）有极小值x1 和极大值x2， 且x1，x2是方程的两个正根，则x1+x2=，x1 x2=， ∴f（x1）+f（x2）=（x1+x2）﹣a[（x1+x2）2﹣2x1 x2]﹣（lnx1+lnx2） =ln（2a）++1=lna++ln2+1（0＜a＜）， 令g（a）=lna++ln2+1， 当a∈（0，）时，g′（a）=＜0， ∴g（a）在（0，）内单调递减， 故g（a）＞g（）=3﹣2ln2， ∴f（x1）+f（x2）＞3﹣2ln2． 21. （本小题满分12分）已知椭圆经过点（0，），离心率为，直线l经过椭圆C的右焦点F交椭圆于A、B两点，点A、F、B在直线x=4上的射影依次为点D、K、E. （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）若直线l交y轴于点M，且，当直线l的倾斜角变化时，探求 的值是否为定值？若是，求出的值，否则，说明理由； （Ⅲ）连接AE、BD，试探索当直线l的倾斜角变化时，直线AE与BD是否相