河北省保定市银定庄中学高二数学理上学期期末试卷含解析

河北省保定市银定庄中学高二数学理上学期期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. x，y∈R，A={（x，y）|x2+y2=1}，B={（x，y）|﹣=1，a＞0，b＞0}，当A∩B只有1个元素时，a，b满足的关系式为(     ) A．+=1 B．a2+b2=1 C．+=1 D．a+b=ab 参考答案： C 【考点】交集及其运算． 【专题】计算题；转化思想；综合法；集合． 【分析】集合A表示圆心（0，0），半径为1的圆上的点集，集合B表示直线bx﹣ay﹣ab=0，两集合交集只有1个元素，即为直线与圆相切，求出a与b满足的关系式即可． 【解答】解：∵A={（x，y）|x2+y2=1}，B={（x，y）|﹣=1，a＞0，b＞0}，且A∩B只有1个元素， ∴圆x2+y2=1与直线﹣=1，即bx﹣ay﹣ab=0相切， 即圆心（0，0）到直线的距离d=r=1，即=1， 整理得：a2+b2=a2b2，即+=1， 故选：C． 【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键． 2. 函数f（x）=cos（2x﹣）在区间[0，]上的最小值为（　　） A．﹣1 B．﹣ C．0 D． 参考答案： B 【考点】余弦函数的图象． 【分析】由条件利用余弦函数的定义域和值域求得f（x）在区间[0，]上的最小值． 【解答】解：由x∈[0，]，可得2x﹣∈[﹣，]，故当2x﹣= 时，函数f（x）取得最小值为﹣， 故选：B． 3. 如果实数满足,则有                    (        ) A．最小值和最大值1          B．最大值1和最小值  C．最小值而无最大值         D．最大值1而无最小值 参考答案： B 4. 若x，t满足约束条件，且目标函数z=2x+y的最大值为10，则a等于（　　） A．﹣3 B．﹣10 C．4 D．10 参考答案： C 【考点】简单线性规划． 【分析】画出满足条件的平面区域，显然直线过A（3，a）时，直线取得最大值，得到10=6+a，解出即可． 【解答】解：画出满足约束条件的平面区域，如图示： ， 显然直线过A（3，a）时，直线取得最大值， 且目标函数z=2x+y的最大值为10，则10=6+a， 解得：a=4， 故选：C． 5. 若命题“ ”为假，且“ ”为假，则（　　） 　 A． p假q真 B． p真q假 　 C． p和q均为真 D． 不能判断p，q的真假 参考答案： B 6. 若函数在区间内存在零点，则实数的取值范围是（   ） A.          B.          C.       D. 参考答案： B 7. 已知，，且，若，则（  ） A. B. C. D. 参考答案： B 当 时有 ，所以 ，得出 ，由于 ，所以 .故选B. 8. 在边长为1的正六边形ABCDEF中，记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为 ；以D为起点，其余顶点为终点的向量分别为.若分 别为的最小值、最大值，其中， ,则满足. A.         B.         C.         D. 参考答案： D 略 9. 一个正方体的展开图如图所示，A、B、C、D为原正方体的顶点，则在原来的正方体中（  ） A．AB∥CD   B．AB与CD相交    C．AB⊥CD      D．AB与CD所成的角为60° 参考答案： D 略 10. 抛物线的焦点到准线的距离为（    ） A. 1            B.  2           C.  4         D.   8 参考答案： C 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 集合，则 ____________. 参考答案： -2 12. 观察下列等式: 照此规律， 第n个等式可为                                               . 参考答案： 13. 如图，有一个圆环型花圃，要在花圃的6个部分栽种4种不同颜色的花，　　　 每部分栽种1种，且相邻部分栽种不同颜色的花，则不同的栽种方法有    种。 参考答案： 120 14. 给出下列四个命题： ①若；    ②若a、b是满足的实数，则； ③若，则；  ④若，则；     其中正确命题的序号是____________。（填上你认为正确的所有序号） 参考答案： ②④ 15. 设F1(－c, 0), F2(c, 0)是椭圆(a>b>0)的两个焦点，P是以|F1F2|为直径的圆与椭圆的一个交点，且∠PF1F2=5∠PF2F1，则该椭圆的离心率为_________ 参考答案： 略 16. 中心在坐标原点，一焦点为F(2，0)的等轴双曲线的标准方程为    ▲    。 参考答案： 略 17. 设等边的边长为,是内任意一点,且到三边、、的距离分别为、、,则有为定值;由以上平面图形的特性类比到空间图形:设正四面体的棱长为,是正四面体内任意一点,且到平面、平面、平面、平面的距离分别为、、、h4，则有+h4为定值____________. 参考答案： 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分12分）如图，三棱柱中，侧棱垂直底面，， ，是棱的中点。 (Ｉ) 证明：⊥平面 （Ⅱ）设，求几何体的体积。 参考答案：                                      6分 （2）,.                                12分 19. 农民有田2亩，根据他的经验：若种水稻，则每亩每期产量为400公斤，若种花生，则每亩产量为100公斤，但水稻成本较高，每亩每期240元，而花生只要80元，且花生每公斤可卖5元，稻米每公斤只卖3元，现在他只能凑足400元，问这位农民对两种作物应各种多少亩，才能得到最大利润？ 参考答案： 解析：设水稻种x亩，花生种y亩，则有题意得： 　，　　 即　…………………………5’ 而利润P＝（3×400－200）x＋（5×100－80）y＝960x+420y…………………7’ 所以当x＝1.5，y＝0.5时，Pmax＝960×1.5＋420×0.5＝1650（元）…………9’ 即水稻种1.5亩，花生种0.5亩时所得的利润最大。……………………10’   20. （本题满分15分）在棱长为2的正方体中，为正方形的中心，点在棱上，且。 (1) 求直线与平面所成角的余弦值； (2)的平面角的余弦值；(3) 求点到平面的距离。                                        参考答案： 解:(1)建立如图所示空间直角坐标系，--------------------------------------------------1分 则,,而平面的一个法向量是,又设 直线与平面所成角为------------------------------------------------------3分 ,即直线与平面所成角的余弦值 为-----------------------------------------------------------------------------------------------6分 1.,设是平面的一个法向量， ，令 ，------------------------8分 设的平面角是，则--------------------11分 （3）,点到平面的距离----------------15分 21. 已知双曲线x2﹣y2=1的左、右顶点分别为A1、A2，动直线l：y=kx+m与圆x2+y2=1相切，且与双曲线左、右两支的交点分别为P1（x1，y1），P2（x2，y2）． （1）求k的取值范围，并求x2﹣x1的最小值； （2）记直线P1A1的斜率为k1，直线P2A2的斜率为k2，那么k1?k2是定值吗？证明你的结论． 参考答案： 【考点】圆与圆锥曲线的综合． 【专题】综合题． 【分析】（1）由l与圆相切，知m2=1+k2，由，得（1﹣k2）x2﹣2mkx﹣（m2+1）=0，所以由此能求出k的取值范围和x2﹣x1的最小值． （2）由已知可得A1，A2的坐标分别为（﹣1，0），（1，0），， =．由此能证明k1?k2是定值． 【解答】解：（1）∵l与圆相切，∴∴m2=1+k2（2分） 由，得（1﹣k2）x2﹣2mkx﹣（m2+1）=0，∴，∴k2＜1，∴﹣1＜k＜1，故k的取值范围为（﹣1，1）．（5分） 由于， ∵0≤k2＜1∴当k2=0时，x2﹣x1取最小值．（7分） （2）由已知可得A1，A2的坐标分别为（﹣1，0），（1，0）， ∴，∴=（10分） == ==， 由m2﹣k2=1，∴为定值．（14分） 【点评】本题主要考查椭圆标准方程，简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，双曲线的简单性质等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想． 22. 已知函数. (12分) （Ⅰ）当时，求函数在上的最大值和最小值； （Ⅱ）求函数的定义域，并求函数的值域. （用表示） 参考答案： （Ⅰ）令，显然在上单调递减，故， 故，即当时，，（在即时取得） （在即时取得）.     （6分）    （Ⅱ）由的定义域为，由题易得：， 因为，故的开口向下，且对称轴，于是： 当即时，的值域为（； 当即时，的值域为（. （12分）