江苏省南京市英华学校高二数学理下学期期末试题含解析

江苏省南京市英华学校高二数学理下学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 设函数是定义在R上的奇函数，且当x0时，单调递减，若数列是等差数列，且 <0，则的值为：(        ) A．恒为正数    B．恒为负数    C．恒为0   D．可正可负 参考答案： A 2. 下列命题中为真命题的是（　　） A．命题“若∥且∥，则∥” B．命题“若x＞2015，则x＞0”的逆命题 C．命题“若xy=0，则x=0或y=0”的否命题 D．命题“若x2≥1，则x≥1”的逆否命题 参考答案： C 【考点】四种命题． 【分析】根据向量平行判断A，写出命题的逆命题．即可判断B，写出命题的否命题，即可判断C，根据原命题和逆否命题为等价命题判断D 【解答】解：对于A：零向量和和非零向量都平行，故若∥且∥，则∥”为假命题， 对于B：命题“若x＞2015，则x＞0”的逆命题为“若x＞0，则x＞2015”显然为假命题， 对于C：命题“若xy=0，则x=0或y=0”的否命题为“则若xy≠0，则x≠0且y≠0”为真命题， 对于D：命题“若x2≥1，则x≥1”为假命题，则逆否命题也为假命题， 故选：C 【点评】本题主要考查命题的真假判断与应用，比较基础． 3. 下列求导运算正确的是（  ） A. B. C. D. 参考答案： B 【分析】 利用导数运算公式，对每个选项进行一一判断. 【详解】对A，因为，故A错；对B，，故B正确； 对C，，故C错；对D，，故D错. 所以本题选B. 【点睛】熟记导数公式，特别是复合函数的求导，即，不能漏了前面的负号. 4. 已知i为虚数单位，则复数等于（　　） A．﹣1+i B．1﹣i C．2+2i D．1+i 参考答案： A 【考点】复数代数形式的混合运算． 【分析】复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，虚数单位i 的幂运算性质，把式子化简到最简形式． 【解答】解：复数===﹣1+i， 故选 A． 5. 设，则的值为（   ） A. 1 B. 16 C. -15 D. 15 参考答案： C 【分析】 令，可解得的值，再求出的系数的值，从而可得结果. 【详解】解：令， 可得， 即， 含有的项为， 所以， 所以， 故选C. 【点睛】本题考查了二项式定理的知识，赋值法是常见的解题方法. 6. 复数等于 (   ) A. B. C. D. 参考答案： D 【分析】 根据复数的除法运算得到结果. 【详解】＝2－i. 故选D. 【点睛】这个题目考查了复数的除法运算，复数常考的还有几何意义，z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面上的点Z(a，b)、平面向量都可建立一一对应的关系(其中O是坐标原点)；复平面内，实轴上的点都表示实数；虚轴上的点除原点外都表示纯虚数．涉及到共轭复数的概念，一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，复数z的共轭复数记作． 7. 已知△ABC中，三内角A、B、C成等差数列，则sinB=(     ) A． B． C． D． 参考答案： B 【考点】等差数列的通项公式；正弦定理． 【专题】计算题；解三角形． 【分析】由题意可得A+C=2B，结合三角形的内角和可求B，进而可求sinB 【解答】解：由题意可得，A+C=2B ∵A+B+C=180° ∴B=60°，sinB= 故选B 【点评】本题主要考查了等差数列的性质的简单应用，属于基础试题 8. 函数的定义域是（   ） A.         B.        C.      D. 参考答案： B 9. 在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点．若函数图象恰好经过k个格点，则称函数为k阶格点函数．已知函数： ①y=sinx；  ②y=cos（x+）； ③y=ex﹣1；  ④y=x2． 其中为一阶格点函数的序号为（　　） A．①② B．②③ C．①③ D．②④ 参考答案： C 【考点】H2：正弦函数的图象． 【分析】根据已知中在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点．若函数y=f（x）的图象恰好经过k个格点，则称函数f（x）为k阶格点函数．我们逐个分析四个答案中四个函数的格点个数，即可得到答案． 【解答】解：对于①，注意到y=sinx的值域是[﹣1，1]，当sinx=0时，x=kπ（k∈Z），此时相应的整数x=0；当sinx=±1时，x=kπ+（k∈Z），此时没有相应的整数x，因此函数y=sinx仅过唯一的整点（0，0），该函数是一阶格点函数． 同理可知，对于②，函数y=cos（x+）不是一阶格点函数． 对于③，令y=ex﹣1=k（k∈Z）得ex=k+1＞0，x=ln（k+1），仅当k=0时，x=0∈Z，因此函数y=ex﹣1是一阶格点函数． 对于④，注意到函数y=x2的图象经过多个整点，如点（0，0），（1，1），因此函数y=x2不是一阶格点函数． 综上所述知①③正确， 故选C． 10. 不等式组的区域面积是(      ) A                B            C                 D  参考答案： D 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 函数的导数       ． 参考答案： 12. 圆与圆的位置关系为________． 参考答案： 相交 略 13. 12．利用数学归纳法证明“ ”时，从“”变到 “”时，左边应增乘的因式是___   ______ ； 参考答案： 2(2k+1) 略 14. 某一同学从学校到家要经过三个路口，在每一路口碰到红灯的概率分别为，且各个路口的红绿灯互不影响，则从学校到家至少碰到一个红灯的概率为           ． 参考答案：   略 15. 已知函数右图表示的是给定x的值， 求其对应的函数值y的程序框图，①处应填写          ；②处应填写          。 参考答案：   16. 下列正确结论的序号是____________． ①命题的否定是：； ②命题“若则或”的否命题是“若则且”； ③已知线性回归方程是，则当自变量的值为时，因变量的精确值为； ④已知直线平面，直线平面， 参考答案： 2,4 略 17. 已知，若关于x的方程恰好有4个不相等的实数解，则实数m的取值范围为__________. 参考答案： 【分析】 由方程可解得f（x）＝1或f（x）＝m﹣1；分析函数f（x）的单调性与极值，画出f（x）的大致图像，数形结合即可得到满足4个根时的m的取值范围． 【详解】解方程得， f（x）＝1或f（x）＝m﹣1； 又当x>0时， ，f′（x）； 故f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增； 且f（1）， 当x＜0时， ，f′（x）>0,所以在（﹣∞，0）上是增函数，画出的大致图像： 若有四个不相等的实数解，则f（x）＝1有一个根记为t， 只需使方程f（x）＝m﹣1有3个不同于t的根， 则m﹣1； 即1； 故答案为 【点睛】本题考查了利用导数研究方程根的问题，考查了函数的单调性、极值与图像的应用，属于中档题． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 对数列，规定为数列的一阶差分数列，其中。对正整数k，规定为的k阶差分数列，其中。 （1）       若数列首项，且满足，求数列的通项公式； （2）       对（1）中的数列，是否存在等差数列，使得对一切正整数都成立？若存在，求数列的通项公式；若不存在，请说明理由； （3）       令，设，若恒成立，求最小的正整数M的值。   参考答案： 解析：（1）而可得  ，，…………………… 2分 是首项为，公差为的等差数列， ， () …………………… 4分 （2）即： 而又       所以 …………………… 6分 =故可得   存在等差数列,使 对一切正整数都成立。…………………… 8分 （3）由（2）知       ……… ①    ……… ②     …………………… 10分 ①-②得：                 …………………… 12分 ，递增 ，且。 满足条件的最小的正整数M的值为6.       …………………… 14分 19. 已知函数f（x）= （1）判断函数f（x）在（﹣∞，0）上的单调性，并证明你的结论． （2）求出函数f（x）在[﹣3，﹣1]上的最大值与最小值． 参考答案： 【考点】二次函数在闭区间上的最值；函数单调性的判断与证明． 【专题】函数的性质及应用． 【分析】（1）函数f（x）=在（﹣∞，0）上单调递增，利用导数法易证得结论； （2）由（1）得函数f（x）=在[﹣3，﹣1]上单调递增，分别将x=﹣3和x=﹣1代入可得函数的最小值和最大值． 【解答】解：（1）函数f（x）=在（﹣∞，0）上单调递增，理由如下： ∵f′（x）=， 当x∈（﹣∞，0）时，f′（x）＞0恒成立， 故函数f（x）=在（﹣∞，0）上单调递增； （2）由（1）得函数f（x）=在[﹣3，﹣1]上单调递增， 故当x=﹣3时，函数取最小值，当x=﹣1时，函数取最大值． 【点评】本题考查的知识是，函数的单调性，函数的最值，是函数图象和性质的综合应用，难度中档． 20. (理科同学做)已知是底面边长为1的正四棱柱，是和的交点. ⑴设与底面所成的角的大小为，二面角的大小为,试确定与的一个等量关系,并给出证明; ⑵若点到平面的距离为，求正四棱柱的高. 参考答案： 解：设正四棱柱的高为. ⑴ 连，底面于，∴ 与底面所成的角为，即. ∵ ，为中点，∴，又， ∴ 是二面角的平面角，即. ∴  ，. ⑵ 建立如图空间直角坐标系，有 设平面的一个法向量为， ∵ ，取得 ∴  点到平面的距离为，则.   21. (12分)在中，角A，B，C所对的边分别为. 已知.求边及的面积S的值. 参考答案： 22. （本小题满分9分）已知在直角坐标系xOy中,直线的参数方程：（为参数）  ,在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，曲线 的极坐标方程：。（Ⅰ）将直线的参数方程化为普通方程，曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；:（Ⅱ）判断直线和曲线的位置关系 参考答案： (1)   直线为y=2x+1        曲线C为         4分 (2)   C圆心(1,0)  半径1   则圆心到直线距离d=>1   则相离          5分