2022-2023学年广东省清远市小三江中学高三数学理月考试题含解析

2022-2023学年广东省清远市小三江中学高三数学理月考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，A，B是抛物线上的两个动点，且满足∠AFB=．设线段AB的中点M在l上的投影为N，则的最小值是（　　） A． B． C． D．2 参考答案： C 【考点】抛物线的简单性质． 【分析】设|AF|=a、|BF|=b，由抛物线定义结合梯形的中位线定理，得2|MN|=a+b．再由勾股定理得|AB|2=a2+b2，结合基本不等式求得|AB|的范围，从而可得的最小值． 【解答】解：设|AF|=a，|BF|=b，A、B在准线上的射影点分别为Q、P，连接AQ、BQ　　 由抛物线定义，得AF|=|AQ|且|BF|=|BP|， 在梯形ABPQ中根据中位线定理，得2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b． 由勾股定理得|AB|2=a2+b2，整理得：|AB|2=（a+b）2﹣2ab， 又∵ab≤（） 2， ∴（a+b）2﹣2ab≥（a+b）2﹣2×（） 2=（a+b）2， 则|AB|≥（a+b）． ∴≥=，即的最小值为． 故选C． 2. 设函数f（x）=cosx+bsinx（b为常数），则“b=0”是“f（x）为偶函数”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 参考答案： C 【分析】 根据定义域为R的函数为偶函数等价于进行判断. 【详解】 时，, 为偶函数； 为偶函数时，对任意的恒成立， ，得对任意恒成立，从而.从而“”是“为偶函数”的充分必要条件，故选C. 【点睛】本题较易，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查. 3. 已知的最大值是，且，则（    ） A．           B．         C．        D． 参考答案： D 略 4. 定义在R上的函数f（x）满足f'（x）﹣f（x）=x?ex，且，则的最大值为（　　） A．1 B．﹣ C．﹣1 D．0 参考答案： A 【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；函数的最值及其几何意义． 【分析】先构造函数，F（x）=，根据题意求出f（x）的解析式，即可得到=，再根据基本不等式即可求出最大值． 【解答】解：令F（x）=，则F′（x）==x， 则F（x）=x2+c， ∴f（x）=ex（x2+c）， ∵f（0）=， ∴c=， ∴f（x）=ex（x2+）， ∴=， x＞0， ==≤1， ∴的最大值为1， 故选：A． 【点评】本题考查了导数和函数的关系以及函数的值域问题，关键是构造函数和利用基本不等式求函数的值域，属于中档题． 5. 某程序框图如图所示，该程序运行输出的的值是 （     ） A．4         B．5        C．6          D．7 参考答案： A 略 6. 下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是 A．   B．   C．   D． 参考答案： C 7. 将函数图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，然后向左平移个单位长度，得到图象，若关于x的方程在上有两个不相等的实根，则实数a的取值范围是（   ） A．[－2,2] B．[－2,2) C．[1,2) D．[－1,2) 参考答案： C 8. 设是平行四边形的对角线的交点，为任意一点，则   （A）    （B）   （C）     （D）  参考答案： D 在△OAC中，M为AC中点，根据平行四边形法则，有，同理有，故 考点：向量的三角形法则和平行四边形法则 9. 已知曲线，，则下列说法正确的是（   ） A．把C1上各点横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2 B．把C1上各点横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2 C．把曲线C1向右平移个单位长度，再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到曲线C2 D．把曲线C1向右平移个单位长度，再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到曲线C2 参考答案： B 10. 设两圆C1，C2都与坐标轴相切，且都过点（4,1），则两圆的圆心距｜Cl C2｜＝（　）   A. 4　　　　　　　　　B、4　　　　　　　C、8　　　　D、8－4　                                                                                                                                                                                                                                             参考答案： C  【知识点】圆的标准方程．H3 解析：∵两圆C1、C2都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），故圆在第一象限内，设圆心的坐标为（a，a），则有|a|=， ∴a=5+2，或 a=5﹣2，故圆心为（5+2，5+2 ） 和 （5﹣2，5﹣2 ）， 故两圆心的距离|C1C2|==8，故选C． 【思路点拨】圆在第一象限内，设圆心的坐标为（a，a），则有|a|=，解方程求得a值，代入两点间的距离公式可求得两圆心的距离|C1C2|的值． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 函数的定义域为　 　 　  　． 参考答案： 试题分析：由题意可知，解得. 考点：函数的定义域. 12. 已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则?=　　． 参考答案： 2 13. 如右图，在△OAB中，∠AOB=120°，OA=2，OB=1，C、D分别是线段OB和AB的中点，那么=_________ 参考答案： － 略 14. 若（其中表示复数z的共轭复数），则复数z的模为　　． 参考答案： 3 考点： 复数求模． 专题： 计算题． 分析： 先设z=a+bi，则=a﹣bi，由可得a2+b2，从而可求复数z的模 解答： 解：设z=a+bi，则=a﹣bi ∵ ∴（a+bi）（a﹣bi）=a2﹣b2i2=a2+b2=9 ∴|z|==3 故答案为：3 点评： 本题主要考查了复数基本概念；复数的模，共轭复数及复数的基本运算，属于基本试题 15.  设，则不等式的解集为          参考答案： 16. 执行如图的程序，则输出的结果等于       ． 参考答案： 2550 考点：程序框图． 专题：算法和程序框图． 分析：执行程序框图，依次写出每次循环得到的S的值，当i=101，退出循环，输出T的值． 解答： 解：执行程序框图，有 i=1，s=0， 第1次执行循环，有s=1，有i=3， 第2次执行循环，s=1+3=4，有i=5， 第3次执行循环，s=4+5=9，有i=7， 第4次执行循环，s=9+7=16， … 有i=99， 第99次执行循环，s=1+3+5+7+…+99=×（1+99）×50=2550， 此时有i=101≥100，满足条件退出循环，输出S的值． 故答案为：2550． 点评：本题主要考察了程序框图和算法，考察了数列的求和，属于基本知识的考查． 17. 已知向量不超过5，则k的取值范围是             .   参考答案： 答案：[-6,2] 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 如图所示，直角梯形ABCD中，∠A=∠D=90°，AD=2，AB=3，CD=4，P在线段AB上，BP=1，O在CD上，且OP∥AD，将图甲沿OP折叠使得平面OCBP⊥底面ADOP，得到一个多面体（如图乙），M、N分别是AC、OP的中点． （1）求证：MN⊥平面ACD； （2）求平面ABC与底面OPAD所成角（锐角）的余弦值． 参考答案： 考点： 用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法． 专题： 空间位置关系与距离；空间角． 分析： （1）取CD中点Q，结合已知条件，利用线面垂直的判定定理证出OQ垂直于平面ACD，通过证明四边形OQMN为平行四边形得到OQ平行于MN，从而证出要证的结论； （2）以O为坐标原点，分别以OP，OD，OC为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，求出平面ABC与底面OPAD的一个法向量，利用法向量所成角的余弦值得到平面ABC与底面OPAD所成角（锐角）的余弦值． 解答： （1）证明：如图， 取CD的中点为Q，连接MQ，OQ， 因为OC=OD，所以OQ⊥CD， 依题意知：面OCD⊥底面OPAD， AD⊥OD，AD⊥平面OCD， 而OQ?面OCD，AD⊥OQ， 又CD∩AD=D， 所以OQ⊥面ACD， MQ是△ACD的中位线，故MQ∥，MQ=， NO∥，NO=， 则MQNO，所以MN∥OQ， 故MN⊥平面ACD； （2）解：如图所示，分别以OP，OD，OC为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系． B（2，0，1），A（2，2，0）C（0，0，2）， 底面OPAD的一个法向量， 设平面ABC的法向量为，， 依题知：， 即， 令x=1，则y=1，z=2，， 所以 ， 故平面ABC与底面OPAD所成角的余弦值为． 点评： 本题考查了直线与平面垂直的判定，考查了二面角的平面角及其求法，综合考查了学生的空间想象能力和思维能力，解答的关键是明确折叠问题在折叠前后的变量和不变量，是中档题． 19. 为了参加2013年市级高中篮球比赛，该市的某区决定从四所高中学校选出人组成男子篮球队代表所在区参赛，队员来源人数如下表： 学校 学校甲 学校乙 学校丙 学校丁 人数 该区篮球队经过奋力拼搏获得冠军,现要从中选出两名队员代表冠军队发言． （Ⅰ）求这两名队员来自同一学校的概率； （Ⅱ）设选出的两名队员中来自学校甲的人数为，求随机变量的分布列及数学期望． 参考答案： 略 20. （2015?钦州模拟）已知直线l的参数方程为（t为参数）．曲线C的极坐标方程为ρ=2．直线l与曲线C交于A，B两点，与y轴交于点P． （1）求曲线C的直角坐标方程； （2）求的值． 参考答案： 【考点】： 直线的参数方程；参数方程化成普通方程． 【专题】： 选作题；坐标系和参数方程． 【分析】： （1）利用极坐标公式，把曲线C的极坐标方程化为ρ2=2ρsinθ+2ρcosθ，可得求曲线C的直角坐标方程； （2）把直线的参数方程，代入曲线C的普通方程（x﹣1）2+（y﹣1）2=2中，得t2﹣t﹣1=0，利用参数的几何意义求的值． 解：（1）利用极坐标公式，把曲线C的极坐标方程化为ρ2=2ρsinθ+2ρcosθ，…2分 ∴直角坐标方程是x2+y2=2y+2x，…4分 即（x﹣1）2+（y﹣1）2=2…5分 （2）直线与曲线C交于A，B两点，与y轴交于点P， 把直线的参数方程，代入曲线C的普通方程（x﹣1）2+（y﹣1）2=2中， 得t2﹣t﹣1=0，…7分 ∴…8分 ∴==…10分． 【点评】： 本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查直线的参数方程，考查学生的计算能力，比较基础． 21. 已知函数的最小正周期为,且点在函数的图象上.  (1)确定函数f(x)的表达式,求f(x)取得最大值时x的取值集合；  (2)求函数f(x)的单调