江苏省扬州市维扬中学高三数学理下学期期末试题含解析

江苏省扬州市维扬中学高三数学理下学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 某商场为了了解毛衣的月销售量（件）与月平均气温之间的关系，随机统计了某4个月的月销售量与当月平均气温，其数据如下表： 月平均气温 17 13 8 2 月销售量（件） 24 33 40 55 由表中数据算出线性回归方程中的=，气象部门预测下个月的平均气温约为，据此估计该商场下个月毛衣销售量约为（       ）件． A．46       B．40       C．38        D．58 参考答案： A 2. 映射如果满足集合中的任意一个元素在中都有原像，则称为满射，已知集合中有5个元素，集合中有3个元素，那么集合到的不同满射的个数为（    ）                                                                         A．243            B．240             C．150                 D．72 参考答案： C 3. 平面向量与的夹角为60°，则 （A）     （B）       （C）4       （D）12 参考答案： 4. 欧拉公式eix=cosx+isinx（i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占用非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，e表示的复数在复平面中位于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 参考答案： B 【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义． 【分析】e=cos+isin，化简即可得出． 【解答】解：e=cos+isin=i，此复数在复平面中对应的点位于位于第二象限， 故选：B． 5. 已知函数，设函数，则函数的大致图像是 参考答案： D 略 6. 在等比数列中，若是方程的两根，则的值是 A．            B． C．             D． 参考答案： C 7. 设，其正态分布密度曲线如图所示，那么向正方形ABCD中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是（    ） （注：若，则，） A. 7539 B. 6038 C. 7028 D. 6587 参考答案： D 分析：根据正态分布的定义，可以求出阴影部分的面积，利用几何概型即可计算. 详解：，， ，则 则， 阴影部分的面积为：0.6587. 方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是6587. 故选：D. 点睛：解决正态分布问题有三个关键点：(1)对称轴x＝μ；(2)标准差σ；(3)分布区间．利用对称性可求指定范围内的概率值；由μ，σ，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3σ特殊区间，从而求出所求概率．注意只有在标准正态分布下对称轴才为x＝0. 8. 程序框图如图所示，该程序运行后输出的i的值是 A．10    B．11   C．12    D．13 参考答案： D 略 9. 已知中心在原点，焦点在轴上的双曲线的离心率为，则它的渐近线方程为          （       ） A．   B．    C．    D． 参考答案： D 略 10. 已知函数在其定义域上单调递减，则函数的图象可能是（    ） A．        B．       C.         D． 参考答案： A 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知函数，任意的t∈R，记函数f（x）在区间[t，t+1]上的最大值为M（t），最小值为m（t），则函数h（t）=M（t）﹣m（t）的值域为　　． 参考答案： 【考点】余弦函数的图象． 【分析】利用正弦函数的周期公式可得其周期T=4，区间[t，t+1]的长度为T，利用正弦函数的图象与性质，可求得函数h（t）=M（t）﹣m（t）的值域． 【解答】解：∵=sinx， ∴其周期T=4，区间[t，t+1]的长度为T， 又f（x）在区间[t，t+1]上的最大值为Mt，最小值为mt， 由正弦函数的图象与性质可知，当x∈[4k+，4k+]时，h（t）=M（t）﹣m（t），取得最小值1﹣； 当x∈[4k+，4k+]时，h（t）=M（t）﹣m（t）取得最大值﹣（﹣）=； ∴函数h（t）的值域为． 故答案为． 12. 已知是定义在上的奇函数，当时，，函数 　. 如果对于任意的，总存在，使得，　则实数的取值范围是               . 参考答案： 13. 过抛物线的焦点F的直线与抛物线交于A、B两点,则=_______ 参考答案： 略 14. 若角α的终边经过点P（1，2），则sin2α的值是          ． 参考答案： 考点：任意角的三角函数的定义；二倍角的正弦． 专题：计算题；三角函数的求值． 分析：利用三角函数的定义，计算α的正弦与余弦值，再利用二倍角公式，即可求得结论． 解答： 解：由题意，|OP|=，∴sinα=，cosα= ∴sin2α=2sinαcosα=2××= 故答案为：． 点评：本题考查三角函数的定义，考查二倍角公式，属于基础题． 15. 设变量满足约束条件的取值范围是____________. 参考答案： 16. 曲线与直线及轴所围成的图形的面积是_________． 参考答案： 略 17. 已知函数f（x）=x（lnx+mx）有两个极值点，则实数m的取值范围是        ． 参考答案： （﹣，0） 考点：函数在某点取得极值的条件． 专题：计算题；函数的性质及应用；导数的综合应用． 分析：f（x）=xlnx+mx2（x＞0），f′（x）=lnx+1+2mx．令g（x）=lnx+1+2mx，由于函数f（x）=x（lnx+mx）有两个极值点?g（x）=0在区间（0，+∞）上有两个实数根．g′（x）=+2m．当m≥0时，直接验证；当m＜0时，利用导数研究函数g（x）的单调性可得：当x=﹣时，函数g（x）取得极大值，故要使g（x）有两个不同解，只需要g（﹣）＞0，解得即可． 解答： 解：f（x）=xlnx+mx2（x＞0），f′（x）=lnx+1+2mx． 令g（x）=lnx+1+2mx， ∵函数f（x）=x（lnx+mx）有两个极值点， 则g（x）=0在区间（0，+∞）上有两个实数根． g′（x）=+2m， 当m≥0时，g′（x）＞0，则函数g（x）在区间（0，+∞）单调递增， 因此g（x）=0在区间（0，+∞）上不可能有两个实数根，应舍去． 当m＜0时，令g′（x）=0，解得x=﹣． 令g′（x）＞0，解得0＜x＜﹣，此时函数g（x）单调递增； 令g′（x）＜0，解得x＞﹣，此时函数g（x）单调递减． ∴当x=﹣时，函数g（x）取得极大值． 当x趋近于0与x趋近于+∞时，g（x）→﹣∞， 要使g（x）=0在区间（0，+∞）上有两个实数根，则g（﹣）=ln（﹣）＞0，解得0＜﹣m＜． ∴实数m的取值范围是（﹣，0）． 故答案为：（﹣，0）． 点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值，考查了等价转化方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知集合. （1）若的充分条件，求a的取值范围； （2）若，求a的取值范围； 参考答案： 略 19. 已知椭圆C：（a＞b＞0）的一个焦点是（1，0），两个焦点与短轴的一个端点构成等边三角形． （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）过点Q（4，0）且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆C于A、B两点，设点A关于x轴的对称点为A1．     （ⅰ）求证：直线A1B过x轴上一定点，并求出此定点坐标；     （ⅱ）求△OA1B面积的取值范围． 参考答案： 解：（Ⅰ）因为椭圆C的一个焦点是（1，0），所以半焦距c=1． 因为椭圆两个焦点与短轴的一个端点构成等边三角形． 所以，解得a=2，b=所以椭圆的标准方程为． （Ⅱ）（i）设直线l：x=my+4与联立并消去x得：（3m2+4）y2+24my+36=0． 记，． 由A关于x轴的对称点为A1，得A1（x1，﹣y1）， 根据题设条件设定点为T（t，0），得，即． 所以=即 定点T（1，0）． （ii）由（i）中判别式△＞0，解得|m|＞2．可知直线A1B过定点T（1，0）． 所以|OT||y2﹣（﹣y1）|=， 得， 令t=|m|记，得，当t＞2时，φ′（t）＞0． 在（2，+∞）上为增函数．所以， 得．故△OA1B的面积取值范围是． 略 20. （本小题满分10） 已知. （1）求的值； （2）求的值. 参考答案： 21. （12分）等比数列{an}的各项均为正数，且2a1＋3a2＝1，a＝9a2a6. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求数列的前n项和． 参考答案： 22. 已知函数f（x）=xlnx，g（x）=ax2﹣x（a∈R）． （1）求f（x）的单调区间和极值点； （2）求使f（x）≤g（x）恒成立的实数a的取值范围； （3）当时，是否存在实数m，使得方程有三个不等实根？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由． 参考答案： 【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用． 【分析】（1）求导数，利用导数的正负，可得f（x）的单调区间，从而可得极值点； （2）由f（x）≤g（x）得xlnx≤ax2﹣x（x＞0），所以ax≥lnx+1，即a≥对任意x＞0恒成立，求出右边的最大值，即可求使f（x）≤g（x）恒成立的实数a的取值范围； （3）假设存在实数m，使得方程有三个不等实根，即方程6lnx+8m+x2﹣8x=0有三个不等实根，令φ（x）=6lnx+8m+x2﹣8x，结合函数的图象，即可求出m的取值范围． 【解答】解：（1）f′（x）=lnx+1， 由f′（x）＞0得，f′（x）＜0得0＜x＜， ∴f（x）在（0，）单调递减，在（，+∞）单调递增， f（x）的极小值点为x=．（注：极值点未正确指出扣1分）                   （2）由f（x）≤g（x）得xlnx≤ax2﹣x（x＞0），∴ax≥lnx+1， 即a≥对任意x＞0恒成立， 令h（x）=，则h′（x）=， 由h′（x）＞0得0＜x＜1，h′（x）＜0得x＞1， ∴h（x）在（0，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减， ∴h（x）max=h（1）=1，∴a≥1， ∴当a≥1时f（x）≤g（x）恒成立． （3）假设存在实数m，使得方程有三个不等实根， 即方程6lnx+8m+x2﹣8x=0有三个不等实根， 令φ（x）=6lnx+8m+x2﹣8x， ， 由φ′（x）＞0得0＜x＜1或x＞3，由φ′（x）＜0得1＜x＜3， ∴φ（x）在（0，1）上单调递增，（1，3）上单调递减，（3，+∞）上单调递增， ∴φ（x）的极大值为φ（1）=﹣7+8m，φ（x）的极小值为φ（3）=﹣15+6ln3+8m． 要使方程6lnx+8m+x2﹣8x=0有三个不等实根，则函数φ（x）的图象与x轴要有三个交点， 根据φ（x）的图象可知必须满足，解得， ∴存在实数m，使得方程有三个不等实根， 实数m的取值范围是．