2022年陕西省西安市第六十八中学高三数学理期末试卷含解析

2022年陕西省西安市第六十八中学高三数学理期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 设函数，则f（﹣7）+f（log312）=（　　） A．7 B．9 C．11 D．13 参考答案： A 【考点】函数的值． 【分析】由﹣7＜1，1＜log312求f（﹣7）+f（log312）的值． 【解答】解：∵﹣7＜1，1＜log312， ∴f（﹣7）+f（log312） =1+log39+ =1+2+4=7， 故选：A． 【点评】本题考查了分段函数的应用及对数运算的应用． 2. 如图所示，是定义在[0，1]上的四个函数，其中满足性质：“对[0，1]中任意的x1和x2，任意恒成立”的只有             A．      B．                C．      D． 参考答案： 答案：A 3. 已知命题“已知函数与其反函数的图像有交点，且交点的横坐标是，，且”是假命题，请说明理由____________________________________________。 参考答案： 4. 已知圆锥的母线长为1，那么该圆锥体积的最大值为 （A）   （B）    （C）    （D） 参考答案： A 5. 设函数的导函数为，对任意都有成立，则（ ） A. B. C. D.与的大小不确定 参考答案： B 6. 已知表示两个不同的平面，为平面内的一条直线，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 参考答案： B 略 7. 两个非零向量，的夹角为，则“”是“为锐角”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 参考答案： B 8. “”是“且”的     A. 必要不充分条件       B.  充分不必要条件     C. 充分必要条件         D. 既不充分也不必要条件 参考答案： A 解析：易得时必有.若时，则可能有，选A。 9. 函数在区间的简图是(　▲　）         参考答案： A 略 10. 已知，则=（　　） A． B． C． D． 参考答案： D 【考点】GH：同角三角函数基本关系的运用． 【分析】把已知等式化弦为切，求出tanα，然后展开两角和的正切得答案． 【解答】解：∵， ∴，解得tanα=﹣5， ∴=． 故选：D． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 函数的图象与的图象所有交点的横坐标之和等于       ． 参考答案： 4 试题分析：解：函数与的图象有公共的对称中心，作出两个函数的图象当时，，而函数在上出现1．5个周期的图象，在上是单调增且为正数，函数在上单调减，所以在处取最大值，而函数在上为负数与的图象没有交点，所以两个图象在上有两个交点，根据它们有公共的对称中心，可得在区间上也有两个交点如图，，故横坐标之和为4 考点：函数的零点与方程的根 12. 设实数x，y满足约束条件，则z=x+3y的最小值为 .（考点：线性规划） 参考答案： -5 13. 已知，是两个向量，，，且，则与的夹角为__________． 参考答案： 14. 设是两条不同的直线，是两个不同的平面，给出下列四个命题，     ①若，，则；     ②若；     ③若；        ④若. 其中正确命题的序号是     (把所有正确命题的序号都写上)． 参考答案： ①④ 略 15. （几何证明选讲选做题）如图4，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4，CD＝2，E、F分别为AD、BC上点，且EF＝3，EF∥AB，则梯形ABFE与梯形EFCD的面积比为                            ．     图4 参考答案： 本题主要考查几何图形中的关系、梯形面积的求解，考查对几何图形的认识以及计算能力，难度中等.   因为EF∥AB，且，所以EF为梯形ABCD的中位线，即梯形ABFE和梯形EFCD的高相同，所以面积比为. 16. 设函数为奇函数，则　********   ． 参考答案： 17. 若，则a3=　80　． 参考答案： 考点： 二项式定理的应用．. 专题： 计算题． 分析： 根据二项式展开式的通项公式为 Tr+1=?（2x）r，可得x3的系数a3=?23，运算求得结果． 解答： 解：二项式展开式的通项公式为 Tr+1=?（2x）r，故x3的系数a3=?23=80， 故答案为 80． 点评： 本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （选修4—2：矩阵与变换） 已知二阶矩阵有特征值及其对应的一个特征向量，特征值及其对应的一个特征向量，求矩阵的逆矩阵． 参考答案： 19. （本小题满分13分）如图，中，两点分别是线段 的中点，现将沿折成直二面角。 (Ⅰ) 求证：；    (Ⅱ)求直线与平面所成角的正切值. 参考答案： 【知识点】线面垂直的判定定理；二面角的求法. 【答案解析】（1）见解析（2） 解析 ：解：(Ⅰ) 由两点分别是线段的中点， 得， 为二面角平面角， 。             又                                                                                         ……………7分 (Ⅱ)  连结BE交CD于H，连结AH 过点D作于O。 ， 所以为与平面所成角。 中，，       中，. 所以直线与平面所成角的正切值为 。       ……………13分 【思路点拨】（1）先找到二面角平面角，再结合线面垂直的判定定理即可；（2）通过已知条件确定为与平面所成角，然后在三角形中解出其正切值即可. 20. （本小题满分14分）设，向量，函数的图象经过坐标原点，是函数的导函数．已知，，． （Ⅰ）求的解析式； （Ⅱ）若关于的方程在区间上有两个不相等的实数根，求的取值范围； （Ⅲ）若，设数列满足． 求证：． 参考答案： 解：（I）∵， ∴ ． 令，则，解得． ∴． ∵的图象过原点， ∴．                              …………4分 （II）原方程可以整理为． 令，则． 由有或， 且当或时，当时． ∴ 在时，在上是减函数，在上是增函数，……8分 ∴ 在上． 又， ∴ 要使原方程在上有两个不相等的实数根，则须使． 即的取值范围为．                        ……………10分 （III）时，． ∴ )，整理得 ()． 变形得 ， 令，则，() ． 两边同取对数有 ，即． 令，则，且， ∴-1>2(-1)( )， ∴-1>2(-1) >22(-1)>……>(-1)=， ∴>1+>，∴=， ∴  ()． 当时，=3>-1=1，即不等式也成立， ∴．                                  …………14分 21. 设椭圆C：的左顶点为，且椭圆C与直线相切． （1）求椭圆的标准方程； （2）过点的动直线与椭圆C交于A，B两点，设O为坐标原点，是否存在常数，使得？请说明理由． 参考答案： （1），（2）存在，． （1）根据题意可知，所以，······················1分 由椭圆C与直线相切，联立得， 消去可得：，·························3分 ，即， 解得：或3， 所以椭圆的标准方程为．···································5分 （2）当过点的直线的斜率存在时，设直线的方程为，设两点的坐标分别为，， 联立得，化简， 所以，··········································7分 所以 ， 所以当时，；·························10分 当过点的直线的斜率不存在时，直线即与轴重合，此时，所以， 所以当时，； 综上所述，当时，．···················12分 22. （15分）（2015?浙江模拟）已知函数 f（x）=x2+4|x﹣a|（x∈R）． （Ⅰ）存在实数x1、x2∈[﹣1，1]，使得f（x1）=f（x2）成立，求实数a的取值范围； （Ⅱ）对任意的x1、x2∈[﹣1，1]，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤k成立，求实数k的最小值． 参考答案： 【考点】： 绝对值不等式的解法． 【专题】： 不等式的解法及应用． 【分析】： （Ⅰ）化简函数的解析式，由题意可得函数f（x）在[﹣1，1]上不单调，利用二次函数的性质求得a的范围． （Ⅱ）分类讨论求得函数f（x）在[﹣1，1]上的最大值M（a） 和最小值为m（a），求得M（a）﹣m（a），结合题意可得k≥M（a）﹣m（a），从而得到k的范围． 解：（Ⅰ）函数 f（x）=x2+4|x﹣a|=，由题意可得函数f（x）在[﹣1，1]上不单调， 当a≥1时，函数f（x）在[﹣1，1]上单调递减，不满足条件． 当a≤时，函数f（x）在[﹣1，1]上单调递增，不满足条件． ∴﹣1＜a＜1，此时，函数f（x）在[﹣1，a]上单调递减，在（a，1]上单调递增， （Ⅱ）∵对任意的x1、x2∈[﹣1，1]，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤k成立， 设函数f（x）在[﹣1，1]上的最大值为M（a），最小值为m（a）， 当a≥1时，函数f（x）在[﹣1，1]上单调递减，M（a）=f（﹣1）=4a+5，m（a）=f（1）=4a﹣3． 当a≤时，函数f（x）在[﹣1，1]上单调递增，M（a）=f（1）=5﹣4a，m（a）=f（﹣1）=﹣4a﹣3． ∴﹣1＜a＜1，函数f（x）在[﹣1，a]上单调递减，在（a，1]上单调递增，m（a）=f（a）=a2，M（a）=max{f（1），f（﹣1）}={5﹣4a，5+4a}． 即当0＜a＜1时，M（a）=5+4a，当﹣1＜a＜0时，M（a）=5﹣4a． 综上可得，M（a）﹣m（a）=，由对任意的x1、x2∈[﹣1，1]，|f（x1）﹣f（x2）|≤k恒成立， 可得k≥M（a）﹣m（a）， 故当a≥1 或a≤﹣1时，k≥8； 当0≤a＜1时，k≥﹣a2+4a+5=9﹣（a﹣2）2，由9﹣（a﹣2）2∈[5，8），可得k≥8； 当﹣1＜a≤0时，k≥﹣a2﹣4a+5=9﹣（a+2）2，由9﹣（a+2）2∈[5，8），可得k≥8． 综合可得，k≥8． 【点评】： 本题主要考查绝对值不等式的解法，二次函数的性质，函数的恒成立问题，分段函数的性质应用，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于难题．