湖南省长沙市第二十五中学2022-2023学年高一数学理联考试卷含解析
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. （5分）已知||=2||≠0，且关于x的方程x2+||x+?=0有实根，则向量与的夹角的取值范围是（）
A． B． C． D．
参考答案：
A
考点： 平面向量数量积的运算．
专题： 计算题；平面向量及应用．
分析： 利用二次方程有实根的充要条件列出方程，利用向量的数量积公式及已知条件求出夹角．
解答： 设两向量，的夹角为θ，
关于x的方程x2+||x+?=0有实根，
则有△=||2﹣4?≥0，
即||2﹣4||?||cosθ≥0，
||2﹣2||2?cosθ≥0，
即cosθ≤，（0≤θ≤π），
则θ∈．
故选A．
点评： 本题考查二次方程有实根的充要条件：△≥0；向量的数量积公式．
2. 等差数列{an}的公差，且，则数列{an}的前n项和Sn取得最大值时的项数n是（ ）
A. 9 B. 10 C. 10和11 D. 11和12
参考答案：
C
【分析】
利用等差数列性质得到，再判断或是最大值.
【详解】等差数列的公差，且，
根据正负关系：或是最大值
故答案选C
【点睛】本题考查了等差数列的性质，的最大值，将的最大值转化为中项的正负是解题的关键.
3. 右图所示的程序框图，若输入的分别为21, 32,75，则输出
的分别是 （ ）
A．75,21, 32 B．21, 32, 75
C．32,21,75 D．75, 32, 21
参考答案：
A
略
4. 设为任意正数，则的最小值为（ ）
(A) ； (B) ； (C) ； (D)
参考答案：
B
5. 设f(x)是R上的偶函数，且在[0,+∞)上单调递增，则f(-2),f(3),f(-)的大小顺序是：（ ）
A、 f(-)>f(3)>f(-2) B、f(-) >f(-2)>f(3)
C、 f(-2)>f(3)> f(-) D、 f(3)>f(-2)> f(-)
参考答案：
A
略
6. 在下列区间中，函数的零点所在的区间为
A. B. C. D.
参考答案：
C
7. 长方体的一个顶点上三条棱长为3、4、5，且它的八个顶点都在一个球面上，这个球的表面积是（ ）
A．20π B．25π C．50π D．200π
参考答案：
C
【考点】球的体积和表面积．
【专题】计算题．
【分析】设出球的半径，由于直径即是长方体的体对角线，由此关系求出球的半径，即可求出球的表面积．
【解答】解：设球的半径为R，由题意，球的直径即为长方体的体对角线，则（2R）2=32+42+52=50，
∴R=．
∴S球=4π×R2=50π．
故选C
【点评】本题考查球的表面积，球的内接体，考查计算能力，是基础题．
8. 设、是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是
A. 若，，则
B. 若，，则
C. 若，，则
D. 若，，则
参考答案：
B
9. 一个三角形的三个内角A，B，C的度数成等差数列，则B的度数为（ ）
A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
参考答案：
C
【分析】
结合等差数列的等差中项的性质，以及三角形内角和，即可求出角.
【详解】由题意可知，又，则，解得，故选.
【点睛】主要考查了等差中项的性质，以及三角形内角和，属于基础题.
10. 已知α是第一象限角，那么是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第一或第二象限角 D．第一或第三象限角
参考答案：
D
【考点】半角的三角函数；象限角、轴线角．
【分析】由题意α是第一象限角可知α的取值范围（2kπ， +2kπ），然后求出即可．
【解答】解：∵α的取值范围（2kπ， +2kπ），（k∈Z）
∴的取值范围是（kπ， +kπ），（k∈Z）
分类讨论
①当k=2i+1 （其中i∈Z）时
的取值范围是（π+2iπ， +2iπ），即属于第三象限角．
②当k=2i（其中i∈Z）时
的取值范围是（2iπ， +2iπ），即属于第一象限角．
故选：D．
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆，在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是 ．
参考答案：
12. 数列中 ，前n项的和为 ，且满足 ，则数列的通项公式为。
参考答案：
13. 如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P在面对角线AC上运动，给出下列四个命题：
①D1P∥平面A1BC1；
②D1P⊥BD；
③平面PDB1⊥平面A1BC1；
④三棱锥A1﹣BPC1的体积不变．
则其中所有正确的命题的序号是 ．
参考答案：
①③④
【考点】命题的真假判断与应用．
【分析】①根据线面平行的判断定理进行判断D1P∥平面A1BC1；
②D利用特殊值法即可判断D1P⊥BD不成立；
③根据面面垂直的判断条件即可判断平面PDB1⊥平面A1BC1；
④将三棱锥的体积进行等价转化，即可判断三棱锥A1﹣BPC1的体积不变．
【解答】解：①∵在正方体中，D1A∥BC1，D1C∥BA1，且D1A∩DC1=D1，
∴平面D1AC∥平面A1BC1；
∵P在面对角线AC上运动，
∴D1P∥平面A1BC1；∴①正确．
②当P位于AC的中点时，D1P⊥BD不成立，∴②错误；
③∵A1C1⊥平面BDD1B1；∴A1C1⊥B1D，
同理A1B⊥B1D，
∴B1D⊥平面A1BC1，
∴平面BDD1B⊥面ACD1，
∴平面PDB1⊥平面A1BC1；
∴③正确．
④三棱锥A1﹣BPC1的体积等于三棱锥B﹣A1PC1的体积．
△A1PC1的面积为定值，
B到平面A1PC1的高为BP为定值，
∴三棱锥A1﹣BPC1的体积不变，∴④正确．
故答案为：①③④．
14. 已知，且，则的值为 . ks5u
参考答案：
15. 设｛an｝是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和．若｛Sn｝是等差数列，则
q =
参考答案：
1
16. 若，则= _______________________．
参考答案：
17. 若函数是自然对数的底数)的最大值是m,且f(x)是偶函数,则w.w.w.k.s.5.u.c.o.m = .
参考答案：
1
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （12分）设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为，已知
(Ⅰ) 求△ABC的周长；
(Ⅱ)求cos(A—C.)。
参考答案：
（1）∵∴.
∴△ABC的周长为a+b+c=1+2+2=5……………………………..…….4分
（2）∵ ∴
∵…………………………………….……. 8分
∵，故A为锐角.
∴
∴…..12分
19. （本题15分）已知函数．
(1)当时，求f(x)的最大值和最小值，并求使函数取得最值的x的值；
(2) 求的取值范围，使得f(x)在区间上是单调函数．
参考答案：
(1) 当时，=
∵
∴当x=时，f(x)取到最小值 当x=时，f(x)取到最大值
(2)函数图象的对称轴为直线x=
当≤，即≥，即时，函数f(x)在区间上是增函数；
当<，即，即0≤<或<<
或≤时，f(x)在区间上为减函数，在上为增函数；
当≥，即≤，即≤≤时，函数f(x)在区间上是减函数。
综上所述：当或≤≤时，函数f(x)在区间上是单调函数。
20.
参考答案：
解析：令 则
即
易证f(x)在Ｒ上是递增的奇函数
（１）由
得
（２）f(x)在Ｒ上增，所以f(x)-4在Ｒ上也增
由x<2 所以 f(x)
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