2022年江苏省连云港市猴嘴中学高三数学理期末试卷含解析

2022年江苏省连云港市猴嘴中学高三数学理期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 定义在R上的偶函数满足：对任意有，则（   ） （A）     （B） （C）     （D） 参考答案： B 2. 若函数在(0,2)上存在两个极值点，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 参考答案： D 函数在(0,2)上存在两个极值点， 等价于 在(0,2)上有两个零点， 令f′(x)=0,则 ， 即 ， ∴x?1=0或 ， ∴x=1满足条件,且 (其中x≠1且x∈(0,2)； ∴ ,其中x∈(0,1)∪(1,2)； 设t(x)=ex?x2,其中x∈(0,1)∪(1,2)； 则t′(x)=(x2+2x)ex>0， ∴函数t(x)是单调增函数， ∴t(x)∈(0,e)∪(e,4e2)， ∴a∈. 本题选择D选项.   3. 设集合，，则（     ）     A．     B．    C．   D．  参考答案： 、A 略 4. 函数的图像大致为 参考答案： A 试题分析：根据函数的奇偶性，可知函数为奇函数，所以图像关于原点对称，故C,D不对又因为在，且比较接近于零的地方，，所以函数值大于零，图像在第一象限，所以B不对，故选A. 考点：函数图像的选取. 5. 已知i是虚数单位，则复数的虚部等于 A.           B.           C.           D．1 参考答案： D 略 6. 如图，、是双曲线，的左、右焦点，过的直线与双曲线的左、右两个分支分别交于点、，若为等边三角形，则该双曲线的离心率为 （    ） （A） （B） （C）    （D）   参考答案： D 7. 已知函数，若存在实数满足 其中，则的取值范围是（   ） A．    B．    C．    D． 参考答案： B 试题分析：由题意知，因此，，得，令，得或，由图知，令， 得或，，，故答案为B 考点：1、函数的图象；2、对数的运算性质 8. （    ） A．         B．       C．       D．1 参考答案： B 9. 把函数的图象向左平移个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是                                          （    ）          A．      B．      C．   D． 参考答案： C 10. 设函数,若,则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 参考答案： C 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 将函数f（x）=sinx的图象向右平移个单位后得到函数y=g（x）的图象，则函数y=f（x）+g（x）的最大值为　　． 参考答案：   【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换． 【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再利用两角和差的三角公式化简f（x）+g（x）的解析式，再利用正弦函数的值域求得函数y=f（x）+g（x）的最大值． 【解答】解：将函数f（x）=sinx的图象向右平移个单位后得到函数y=g（x）=sin（x﹣）的图象， 则函数y=f（x）+g（x）=sinx+sin（x﹣）=sinx﹣cosx=sin（x﹣） 的最大值为， 故答案为：． 12. 展开式中的系数是________． 参考答案： -3 13. 已知函数f（x）=，若函数y=2[f（x）]2+3mf（x）+1有6个不同的零点，则实数m的取值范围是           ． 参考答案： m＜﹣1 【考点】函数零点的判定定理． 【专题】函数的性质及应用． 【分析】先将函数进行换元，转化为一元二次函数问题．结合函数f（x）的图象，从而确定m的取值． 【解答】解：令t=f（x），则原函数等价为y=2t2+3mt+1． 做出函数f（x）的图象如图， 图象可知 当t＜0时，函数t=f（x）有一个零点． 当t=0时，函数t=f（x）有三个零点． 当0＜t＜1时，函数t=f（x）有四个零点． 当t=1时，函数t=f（x）有三个零点． 当t＞1时，函数t=f（x）有两个零点． 要使关于x的函数y=2f2（x）+3mf（x）+1有6个不同的零点，则函数y=2t2+3mt+1有两个根t1，t2， 且0＜t1＜1，t2＞1或t1=0，t2=1， 令g（t）=2t2+3mt+1，则由根的分布可得， 将t=1，代入得：m=﹣1， 此时g（t）=2t2﹣3t+1的另一个根为t=，不满足t1=0，t2=1， 若0＜t1＜1，t2＞1，则， 解得：m＜﹣1， 故答案为：m＜﹣1 【点评】本题考查复合函数零点的个数问题，以及二次函数根的分布，换元是解决问题的关键，属中档题． 14. 若点O、F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上的任一点，则的最大值为 参考答案： 6 略 15. 在△ABC中,AB＝2,D为BC的中点,若=,则AC＝_____     __． 参考答案： 1 16. 已知实数x，y满足，则z=x+2y的最小值为　　． 参考答案： ﹣5 【考点】简单线性规划． 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义即可得到结论． 【解答】解：作出不等式组对应的平面区域， 由z=x+2y，得y=，平移直线y=，由图象可知当直线经过点B时， 直线y=的截距最小，此时z最小， 由，得，即B（﹣1，﹣2） 此时z=﹣1+2×（﹣2）=﹣5． 故答案为：﹣5． 17. 已知函数有零点，则的取值范围是           . 参考答案： 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. (本小题满分10分)选修:坐标系与参数方程选讲 已知直线l的方程为y=x+4,圆C的参数方程为(θ为参数),以原点为极点,x轴正半轴为极轴,建立极坐标系. (Ⅰ) 求直线l与圆C的交点的极坐标； (Ⅱ) 若P为圆C上的动点,求P到直线l的距离d的最大值. 参考答案： (Ⅰ)直线:,圆:,……………………1分    联立方程组,解得或,……………………3分 对应的极坐标分别为,.………………………………………………5分 (Ⅱ)[方法1]设,则, 当时,取得最大值.……………………………………10分 [方法2]圆心到直线的距离为,圆的半径为, 所以到直线的距离的最大值为.……………………………………10分 19. （本小题15分）已知函数．    （I）求函数的最小正周期；    （II）求函数在上的值域． 参考答案： （I）（II） 【知识点】三角函数的图象与性质C3 （I）解法1：由已知得 ………………………………………5分 故函数的最小正周期为；     ………………………………………………7分 解法2： ，………………………………5分 故函数的最小正周期为；     ………………………………………………7分 解法3：        …………………………5分 故函数的最小正周期为；    ………………………………………………7分 （II）由（I）得        …………………………8分 设，当时        …………………………10分 又函数在上为增函数，在上为减函数， …………………12分 则当时有最小值；当时有最大值， ………………14分 故的值域为                    …………………………15分 【思路点拨】（I）先对函数化简，再根据公式求出周期（II）根据三角函数的单调性求出最值。 20. 已知函数. （Ⅰ）求函数的最小正周期和单调增区间； （Ⅱ）将函数的图像向右平移个单位长度，得到函数的图像，求使得的的取值范围. 参考答案： （1）∵f（x）=-10sinxcosx + 10cos2 x= =10sin+5………………………………2分 ∴所求函数f（x）的最小正周期T=π 所以函数f（x）在上单调递增…………………5分                正确答案的不同表示形式照常给分。 （2）将函数f（x）的图象向右平移个单位长度后得到的图象…………8分 所以当 所以 所以………………………………….12分 21. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，. （1）求cosC； （2）若b＝7，D是BC边上的点，且△ACD的面积为，求sin∠ADB. 参考答案： （1）；（2）. 【分析】 （1）根据诱导公式和二倍角公式，将已知等式化为角关系式，求出，再由二倍角余弦公式，即可求解； （2）在中，根据面积公式求出长，根据余弦定理求出，由正弦定理求出 ，即可求出结论. 【详解】（1）， ， ； （2）在中，由（1）得， ， 由余弦定理得 ， ，在中， ， . 【点睛】本题考查三角恒等变换求值、面积公式、余弦定理、正弦定理解三角形，考查计算求解能力，属于中档题. 22. 如图21，F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，A是椭圆C的顶点，B是直线AF2与椭圆C的另一个交点，∠F1AF2＝60°. (1)求椭圆C的离心率； (2)已知△AF1B的面积为40，求a，b的值．       参考答案： 解： (1)由题意可知，△AF1F2为等边三角形，a＝2c，所以e＝. (2)( 方法一)a2＝4c2，b2＝3c2. 直线AB的方程可为y＝－(x－c)． 将其代入椭圆方程3x2＋4y2＝12c2， 得B. 所以|AB|＝·＝c. 由S△AF1B＝|AF1|·|AB|sin∠F1AB ＝a·c·＝a2＝40， 解得a＝10，b＝5. (方法二)设|AB|＝t. 因为|AF2|＝a，所以|BF2|＝t－a. 由椭圆定义|BF1|＋|BF2|＝2a可知，|BF1|＝3a－t. 再由余弦定理(3a－t)2＝a2＋t2－2atcos60°可得， t＝a. 由S△AF1B＝a·a·＝a2＝40知，a＝10，b＝5.