2022年广西壮族自治区玉林市师范学院附属中学高三数学理下学期期末试题含解析

2022年广西壮族自治区玉林市师范学院附属中学高三数学理下学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 执行如右图所示的程序框图，如输入，则输出的值为 A.9    B.    C.5    D. 参考答案： B 2. 设 ，   ，，则的大小关系为(   ) A.    B.    C.    D. 参考答案： B 3. 已知数阵中，每行的3个数依次成等差数列，每列的3个数也依次成等差数列，若，则这9个数的和为 A．16    B．32     C．36    D．72 参考答案： D 略 4. 函数y=（    ） (A)在(-,+)上单调递增。    (B)在上是减函数，在上是增函数。 (C)在上是增函数，在上是减函数。 (D)在上是减函数，在上是增函数。 参考答案： B 5. 已知函数（其中）的图象如右图所示，则函数的图象是（   ） 参考答案： A  试题分析：由题意得， ，为的零点，由图可知，，，∴的图象可由向下平移个单位得到，∵，由于，，故可知A符合题意，故选A．  考点：1、二次函数的性质；2、指数函数的图象与性质. 6. 参考答案： D 略 7. 大致的图像是（   ） A．B．C．D． 参考答案： C 试题分析：由，∴为偶函数，故可排除B；当时，，即，则排除A、D；故选C. 考点：函数的图象. 8. 设是一个正整数，的展开式中第四项的系数为，记函数与 的图像所围成的阴影部分为，任取,则点恰好落在阴影区域内的概率为（  ） A．        B． C．         D． 参考答案： C 9. 如下图是2017年第一季度五省GDP情况图,则下列陈述中不正确的是（    ） A．2017年第一季度GDP增速由高到低排位第5的是浙江省.        B．与去年同期相比，2017年第一季度的GDP总量实现了增长.   C. 去年同期河南省的GDP总量不超过4000亿元 .     D．2017年第一季度GDP总量和增速由高到低排位均居同一位的省只有1个. 参考答案： D 由折线图可知A、B正确；，故C正确；2017年第一季度GDP总量和增速由高到低排位均居同一位的省有江苏均第一；河南均第四，共2个.故D错误.   10. 已知是定义在R上的函数，且满足，则“为偶函数”是“2为函数的一个周期”的 （    ） A．充分不必要条件     B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 参考答案： C 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. （几何证明选做题）如图，圆O是△ABC的外接圆，过点C的切线交AB的延长线于点 D，CD=，AB=BC=4, 则AC的长为         参考答案： C  12. 函数为奇函数，则实数a=__________． 参考答案： 1 【分析】 根据函数奇偶性的定义建立方程关系进行求解，再验证定义域是否关于原点对称即可． 【详解】函数为奇函数    即 则，即 ，则：    则： 当时，，则定义域为：且 此时定义域不关于原点对称，为非奇非偶函数，不满足题意 当时，，满足题意 本题正确结果： 【点睛】本题主要考查利用函数的奇偶性求解函数解析式，根据条件建立方程关系是解决本题的关键，易错点是忽略定义域关于原点对称的前提，造成求解错误． 13. 在极坐标系中，直线l的极坐标方程为，设抛物线C的参数方程为（t为参数，），其焦点为F，点（）是抛物线C上一点，圆M与线段MF相交于点A，且被直线l截得的弦长为，若，则          ． 参考答案： 1 14. 已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线与抛物线y2=2px（p＞0）的准线分别交于A、B两点，O为坐标原点，若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为，则该抛物线的标准方程是　　． 参考答案： y2=4x 考点： 双曲线的简单性质． 分析： 把x=﹣代入，解得y，可得|AB|=，利用△AOB的面积为，可得=，再利用=2，解得．即可得出p． 解答： 解：把x=﹣代入，解得y=±． ∴|AB|=， ∵△AOB的面积为， ∴=， 由=2，解得=． ∴， 解得p=2． ∴该抛物线的标准方程是y2=4x． 故答案为：y2=4x． 点评： 本题考查了双曲线与抛物线的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 15. 已知三棱柱的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为，，，则此球的表面积等于__________. 参考答案： 【知识点】空间几何体的表面积与体积 解：因为， ，取中点，则球心为中点， 所以外接球半径 故答案为： 16. 已知等比数列是递增数列,是的前项和,若是方程的两个根,则____________. 参考答案： 63 17. 已知函数是定义在上的奇函数，则          ． 参考答案： ln3 由定积分的运算性质可得． ∵函数是定义在上的奇函数， ∴． 又． ∴．   三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 己知函数f（x）=x2e﹣x （Ⅰ）求f（x）的极小值和极大值； （Ⅱ）当曲线y=f（x）的切线l的斜率为负数时，求l在x轴上截距的取值范围． 参考答案： 【考点】利用导数研究函数的极值；根据实际问题选择函数类型；利用导数研究曲线上某点切线方程． 【分析】（Ⅰ）利用导数的运算法则即可得出f′（x），利用导数与函数单调性的关系及函数的极值点的定义，即可求出函数的极值； （Ⅱ）利用导数的几何意义即可得到切线的斜率，得出切线的方程，利用方程求出与x轴交点的横坐标，再利用导数研究函数的单调性、极值、最值即可． 【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=x2e﹣x， ∴f′（x）=2xe﹣x﹣x2e﹣x=e﹣x（2x﹣x2）， 令f′（x）=0，解得x=0或x=2， 令f′（x）＞0，可解得0＜x＜2； 令f′（x）＜0，可解得x＜0或x＞2， 故函数在区间（﹣∞，0）与（2，+∞）上是减函数，在区间（0，2）上是增函数． ∴x=0是极小值点，x=2极大值点，又f（0）=0，f（2）=． 故f（x）的极小值和极大值分别为0，． （Ⅱ）设切点为（）， 则切线方程为y﹣=（x﹣x0）， 令y=0，解得x==， ∵曲线y=f（x）的切线l的斜率为负数， ∴（＜0， ∴x0＜0或x0＞2， 令， 则=． ①当x0＜0时， 0，即f′（x0）＞0，∴f（x0）在（﹣∞，0）上单调递增，∴f（x0）＜f（0）=0； ②当x0＞2时，令f′（x0）=0，解得． 当时，f′（x0）＞0，函数f（x0）单调递增；当时，f′（x0）＜0，函数f（x0）单调递减． 故当时，函数f（x0）取得极小值，也即最小值，且=． 综上可知：切线l在x轴上截距的取值范围是（﹣∞，0）∪． 19. 某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为立方米，且．假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为．设该容器的建造费用为千元． （Ⅰ）写出关于的函数表达式，并求该函数的定义域； （Ⅱ）求该容器的建造费用最小时的．     参考答案： 21．解：（I）设容器的容积为V， 由题意知 故 由于 因此 所以建造费用 因此    （II）由（I）得 由于 当 令 所以    （1）当时， 所以是函数y的极小值点，也是最小值点。    （2）当即时， 当函数单调递减， 所以r=2是函数y的最小值点， 综上所述，当时，建造费用最小时 当时，建造费用最小时 20. 在中，设内角、、的对边分别为、、，． （1）求角； （2）若，点满足，求：的取值范围． 参考答案： （1）；（2） （2）设的中点分别为 ∵点满足，∴为的外心 (*) 由（*）：时，得最大值12， 则 故原式的取值范围是 考点：两角差的正弦和余弦，三角恒等变换  21. 如图,在正三棱柱中, ,点是的中点,点在上,且. (1) 证明:平面平面; (2) 求直线和平面所成角的正弦值. 参考答案： （I）由正三棱柱的性质知平面， 又DE平面ABC，所以DEAA.                                      （2’） 而DEAE，AAAE=A 所以DE平面AC CA                            （4’） 又DE平面ADE，故平面ADE平面AC CA。                             （6’） （2）设O为AC中点，以O为原点建立空间直角坐标系，不妨设A A=，则AB=2，则A(0,-1,0) ，B（，0，0）， C（0，1，），D（，-，）        （7’） 直线AD和平面ABC所成角为，平面ABC的法向量为n=（x，y，z） 由=(，1，0)， =(0，2，)， =(，-，）           有解得x=-y， z=-，故可取n=(1，-，)  （9’） ===                                     （11’） 所以，直线AD和平面ABC所成角的正弦值为。                           （12’） 22. 已知公差不为0的等差数列的前项和为，若,且成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）求证: 对一切正整数,有 .   参考答案： （1）；（2）见 。 【解析】：（1）    ⑴     ------1分 ，  -----2分 由题意得：       ---------3分 即     ⑵     联立⑴、⑵解得    4分   -------5分 （2）.............9分 ......................................11分 ...........................................................13分 所以对一切正整数,有 . .................................14