福建省南平市武夷山实验中学高一数学理月考试题含解析
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 若函数对于任意的，都有，则函数的单调递增区间是（ ）
A．
B．
C.
D．
参考答案：
D
由题意时，取最小值，即，
不妨令，取，即．
令，得，故选D．
2. 与直线2x+y－1=0关于点（1，0）对称的直线方程是（ ）
A. 2x+y－3=0 B. 2x+y+3=0 C. x+2y+3=0 D. x+2y－3=0
参考答案：
A
在所求直线上取点（x，y），关于点（1，0）对称的点的坐标为（a，b），则
∴a=2-x，b=-y，∵（a，b）在直线2x+y-1=0上
∴2a+b-1=0∴2（2-x）-y-1=0∴2x+y-3=0
故选A
3. 设区间，集合，，则图中的阴影部分表示的集合为（ ）
A． B．
C． D．
参考答案：
B
4. 在平面直角坐标系中，已知，，那么线段中点的坐标为
A． B． C． D．
参考答案：
A
5. 已知全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x＝2a， a∈A}，则集合?U(A∪B)中元素的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
参考答案：
B
略
6. 的值是 ( )
(A) (B)
(C) 2 (D)
参考答案：
B
略
7. 若向量，满足，且与的夹角为，则
A. B.
C. D.
参考答案：
B
8. 用单位正方块搭一个几何体，使它的主视图和俯视图如右图所示，则该几何体的体积
的最小值与最大值分别为（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
参考答案：
C
略
9. 函数是定义域为的偶函数，当时， ， 若关于的方程，有且仅有6个不同实数根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
参考答案：
B
10. 执行如图所示的程序框图，输出的s值为（ ）
A．﹣3 B．﹣ C． D．2
参考答案：
D
【考点】循环结构．
【分析】i=0，满足条件i＜4，执行循环体，依此类推，当i=4，s=2，此时不满足条件i＜4，退出循环体，从而得到所求．
【解答】解：i=0，满足条件i＜4，执行循环体，i=1，s=
满足条件i＜4，执行循环体，i=2，s=﹣
满足条件i＜4，执行循环体，i=3，s=﹣3
满足条件i＜4，执行循环体，i=4，s=2
不满足条件i＜4，退出循环体，此时s=2
故选：D
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 设数列｛an｝的各项依次是1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,…，（1个1，2个2，…，k个k，…）则数列的第100项等于 ；前100项之和等于 。
参考答案：
14；945
12. 若，则 = ．
参考答案：
13. 设Sn表示数列{an}的前n项和，已知，若{an}是等比数列，则公比q= ；若{an}是等差数列，则 ．
参考答案：
；
若数列为等比数列，很明显，，
据此有：，解得：，
若数列为等差数列，由前n项和的性质，
设，则：
14. 某小学四年级男同学有45名，女同学有30名，老师按照分层抽样的方法组建了一个5人的课外兴趣小组.
（Ⅰ）求某同学被抽到的概率及课外兴趣小组中男、女同学的人数；
（Ⅱ）经过一个月的学习、讨论，这个兴趣小组决定选出两名同学做某项实验，方法是先从小组里选出1名同学做实验，该同学做完后，再从小组内剩下的同学中选一名同学做实验，求选出的两名同学中恰有一名女同学的概率.
参考答案：
（Ⅰ）某同学被抽到的概率为，课外兴趣小组中男同学为人，女同学为人；（Ⅱ）.
试题分析：（Ⅰ）抽样的原则是保证每个个体入样的机会是均等的，分层抽样的规则是样本中各部分所占比例与总体中各部分所占比相等，据此可解决此小问；（Ⅱ）运用枚举法列出所有基本事件，即可解决问题，注意选出的两名同学是有先后顺序的，否则易犯错，当然枚举也是讲究方法的，否则同样会发不多就少的错误.
试题解析：（Ⅰ）某同学被抽到的概率为 2分
设有名男同学被抽到，则有，
抽到的男同学为人，女同学为人 4分
（Ⅱ）把3名男同学和2名女同学分别记为，则选取2名同学的基本事件有
，共个， 8分
基中恰好有一名女同学有，有种 10分
选出的两名同学中恰有一名女同学的概率为. 12分
考点：统计中的分层抽样和古典概型的概率计算.
15. 执行图程序中，若输出y的值为2，则输入x的值为 ．
INPUT
IF THEN
y = x ^ 2
ELSE
y = －x ^ 2＋1
END IF
PRINT
END
参考答案：
【考点】伪代码．
【分析】模拟执行程序的运行过程知该程序的功能是输出函数是分段函数，
根据输出y的值列方程求出输入x的值．
【解答】解：模拟执行程序的运行过程知，该程序的功能是输出函数
y=；
又输出y的值为2，则
当x≥1时，令y=x2=2，解得x=；
当x＜1时，令y=﹣x2+1=2，无解；
所以输入x的值为．
故答案为：．
16. 过点且垂直于直线的直线的方程为 ．
参考答案：
17. A，B是直线l外两点，过A，B且与直线l平行的平面的个数是 ．
参考答案：
0个或1个或无数个
【考点】LP：空间中直线与平面之间的位置关系．
【分析】分直线AB与直线l相交、异面和平行三种情况加以讨论，结合空间直线与平面的位置关系和线面平行的判定定理来判断，可知经过A、B且与直线l平行的平面的个数可能是0个或1个或无数个．
【解答】解：①直线AB与直线l相交时，
不存在平面经过A、B两点且与直线l平行，此时满足条件的平面有0个；
②当直线AB与直线l异面时，
存在唯一的平面，使其经过A，B且与直线l平行，此时满足条件的平面有1个
③当直线AB与直线l平行时，
只要经过A、B的平面不经过直线l，都满足该平面与直线l平行，
此时满足条件的平面有无数个
故答案为：0个或1个或无数个
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. (本小题满分14分)
如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，四边形ABCD是菱形，AC＝6，BD＝8，E是PB上任意一点，△AEC面积的最小值是3．
（Ⅰ）求证：AC⊥DE；（Ⅱ）求四棱锥P－ABCD的体积．
参考答案：
解（Ⅰ）证明：连接BD，设AC与BD相交于点F．
因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD．2分
又因为PD⊥平面ABCD，AC平面ABCD，所以PD⊥AC．………………4分
而AC∩BD＝F，所以AC⊥平面PDB．
又因为E为PB上任意一点，DE平面PBD，所以AC⊥DE．…7分
（Ⅱ）连EF．由（Ⅰ），知AC⊥平面PDB，EF平面PBD，所以AC⊥EF．……9分
S△ACE＝AC·EF，在△ACE面积最小时，EF最小，则EF⊥PB． …11分
S△ACE＝3，×6×EF＝3，解得EF＝1．由△PDB∽△FEB，得．由于EF＝1，FB＝4，，所以PB＝4PD，即．解得PD＝．…14分
19. (本小题满分14分)已知指数函数满足：，定义域为的函数是奇函数.
（1）确定的解析式；
（2）求的值；
（3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．
参考答案：
（1） 设 ,则，a=2, ， …… 3分
（2）由（1）知：，因为是奇函数，所以=0，即 …5分
∴， 又，； ……………8分
（3）由（2）知，
易知在R上为减函数. …………… 10分
又因是奇函数，从而不等式：
等价于=， …… 12分
因为减函数，由上式得：, 即对一切有：，
从而判别式 …………14分
20. 已知函数在x∈[－2，2]上恒有f(x)<2，求实数a的取值范围．
参考答案：
则，
∴；
当0
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