北京首都师范大学附属育新学校高一数学理联考试卷含解析

北京首都师范大学附属育新学校高一数学理联考试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 的值为（      ） A． B．  C． D． 参考答案： D 由题意知，.   2. 已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，SA⊥平面ABC，AB⊥BC且AB=BC=1，SA=，则球O的表面积是（　　） A．4π B．π C．3π D．π 参考答案： A 【考点】球的体积和表面积． 【专题】计算题；空间位置关系与距离；球． 【分析】由三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，可得SA⊥AC，SB⊥BC，则SC的中点为球心，由勾股定理解得SC，再由球的表面积公式计算即可得到． 【解答】解：如图，三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上， ∵SA⊥平面ABC，SA=，AB⊥BC且AB=BC=1， ∴AC==， ∴SA⊥AC，SB⊥BC， SC===2， ∴球O的半径R=SC=1， ∴球O的表面积S=4πR2=4π． 故选A． 【点评】本题考查球的表面积的求法，合理地作出图形，确定球心，求出球半径，是解题的关键． 3. 若关于的方程有且只有两个不同的实数根，则实数的取值范围是   （   ）          A．      B．       C．         D．  参考答案： D 4. 已知A为△ABC的一个内角，且，则△ABC的形状是（　　） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不确定 参考答案： B 【分析】平方已知式子结合三角形内角范围可得cosA为负数，可得A为钝角，可得结论． 【解答】解：∵△ABC中， ∴平方可得， ∴， 由三角形内角范围可得sinA＞0， ∴cosA＜0，A为钝角． 故选：B 【点评】本题考查三角形形状的判定，平方法是解决问题的关键，属基础题． 5. 已知一扇形的圆心角是72，半径等于20cm，则扇形的面积是          。 参考答案： 略 6. 若函数(，，)在一个周期内的图象如图所示，M、N分别是这段图象的最高点和最低点，且，则（     ） A．     B． C．         D．   参考答案： C 略 7. 设函数，则函数的零点的个数为（    ）       A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 参考答案： D 略 8. 在三角形ABC中，AB=， BC= 2，，如果不等式恒成立，则实数t取值范围是                                （    ）  A.     B.    C.     D. 参考答案： C 略 9. 首项为﹣12的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差d的取值范围是（　　） A．d＞ B．d＜3 C．≤d＜3 D．＜d≤ 参考答案： D 【考点】84：等差数列的通项公式． 【分析】由题意可得：，解得d． 【解答】解：由题意可得：，解得． 故选：D． 【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其单调性、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 10. 下列命题成立的是  A．若是第二象限角，则 B．若是第三象限角，则 C．若是第四象限角，则 D．若是第三象限角，则 参考答案： D 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 数列{an}中，其前n项和为Sn＝n2＋n，设，则数列{bn}的前10项和等于    参考答案： 12. 已知函数f（x）=（）x的图象与函数y=g（x）的图象关于直线y=x对称，令h（x）=g（1﹣x2），则关于函数y=h（x）的下列4个结论： ①函数y=h（x）的图象关于原点对称； ②函数y=h（x）为偶函数； ③函数y=h（x）的最小值为0；          ④函数y=h（x）在（0，1）上为增函数 其中，正确结论的序号为　　．（将你认为正确结论的序号都填上） 参考答案： ②③④ 【考点】命题的真假判断与应用． 【分析】由已知求出h（x）=，分析函数的奇偶性，单调性，最值，可得答案． 【解答】解：∵函数f（x）=（）x的图象与函数y=g（x）的图象关于直线y=x对称， ∴g（x）=， ∴h（x）=g（1﹣x2）=， 故h（﹣x）=h（x）， 即函数为偶函数，函数图象关于y轴对称， 故①错误；②正确； 当x=0时，函数取最小值0，故③正确； 当x∈（0，1）时，内外函数均为减函数，故函数y=h（x）在（0，1）上为增函数，故④正确； 故答案为：②③④ 【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了函数的奇偶性，单调性，最值，难度中档． 13. 设x为实数，[x]为不超过实数x的最大整数，如，.记，则{x}的取值范围为[0,1)，现定义无穷数列{an}如下：，当时，；当时，，若，则________. 参考答案： 【分析】 根据已知条件，计算数列的前几项，观察得出无穷数列{an}呈周期性变化，即可求出的值。 【详解】当时，，， ，，……，无穷数列{an}周期性变化，周期为2，所以。 【点睛】本题主要考查学生的数学抽象能力，通过取整函数得到数列，观察数列的特征，求数列中的某项值。 14. 函数的值域为　　　　　　　　　　． 参考答案： （-∞，1] 15. 如图1是某高三学生进入高中﹣二年来的数学考试成绩茎叶图，第1次到第 14次．考试成绩依次记为A1，A2，…，A14．如图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图．那么算法流程图输出的结果是　  　． 参考答案： 10 【考点】程序框图． 【分析】该程序的作用是累加12次考试成绩超过90分的人数，由此利用茎叶图能求出结果． 【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用， 再根据流程图所示的顺序， 可知：该程序的作用是累加12次考试成绩超过90分的人数； 根据茎叶图的含义可得超过90分的人数为10个． 故答案为：10． 16. 在△ABＣ中，，，则　　　　　　 参考答案： 17. 已知=（2，0），=（1，），若（1﹣λ）+λ﹣=（λ∈R），则||的最小值为　　． 参考答案： 【考点】向量的模． 【分析】求出的坐标，得出||关于λ的函数，利用二次函数的性质得出最小值． 【解答】解：∵（1﹣λ）+λ﹣=， ∴=（1﹣λ）+=（2﹣λ，）， ∴||===2≥2×=． 故答案为：． 【点评】本题考查了平面向量的模长计算，属于中档题． 　 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知，且为第二象限角． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求的值． 参考答案： （Ⅰ）；（Ⅱ）. 【分析】 （Ⅰ）由已知利用同角三角函数基本关系式可求，利用诱导公式，二倍角公式即可计算得解； （Ⅱ）由已知利用二倍角的余弦函数公式可求cos2α的值，根据同角三角函数基本关系式可求tan2α的值，根据两角和的正切函数公式即可计算得解． 【详解】（Ⅰ）由已知，得， ∴． （Ⅱ）∵，得， ∴． 【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，诱导公式，二倍角公式，两角和的正切函数公式在三角函数化简求值中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题． 19. 若函数f（x）的定义域为（﹣4，4），函数f（2x）的定义域为集合A，集合B={x|x2﹣x+a﹣a2＜0}，其中a＜0． （1）若A∪B=B，求a的取值范围； （2）若A∩B=B，求a的取值范围． 参考答案： 【考点】集合的包含关系判断及应用；函数的定义域及其求法． 【专题】计算题；集合思想；综合法；函数的性质及应用． 【分析】通过f（x）的定义域为（﹣4，4）可知A=（﹣2，2），通过解解不等式x2﹣x+a﹣a2＜0可知B=（a，1﹣a）； （1）通过A∪B=B可知A?B，进而解不等式组a≤﹣2、2≤1﹣a即得结论； （2）通过A∩B=B可知A?B，进而解不等式组﹣2≤a、1﹣a≤2即得结论． 【解答】解：∵f（x）的定义域为（﹣4，4）， ∴函数f（2x）的定义域集合A=（﹣2，2）， 解不等式x2﹣x+a﹣a2＜0，即（x﹣a）[x﹣（1﹣a）]＜0，又a＜0， 得a＜x＜1﹣a， ∴B=（a，1﹣a）； （1）∵A∪B=B， ∴A?B，即a≤﹣2，且2≤1﹣a， 整理得：a≤﹣2； （2）∵A∩B=B， ∴A?B，即﹣2≤a，1﹣a≤2， 解得：a≥﹣1． 【点评】本题考查集合包含关系的判断与应用，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题． 20. 已知函数f（x）=b?ax（a＞0，且a≠1，b∈R）的图象经过点A（1，6），B（3，24）． （1）设g（x）=，确定函数g（x）的奇偶性； （2）若对任意x∈（﹣∞，1]，不等式（）x≥2m+1恒成立，求实数m的取值范围． 参考答案： 【考点】函数恒成立问题；函数奇偶性的判断． 【分析】（1）将点的坐标代入函数解析式，即可求得f（x）与g（x），在利用奇偶性定义判断g（x）是奇函数； （2）对任意x∈（﹣∞，1]，不等式（）x≥2m+1恒成立 即可转化为：≥2m+1在x≤1上恒成立； 【解答】解：（1）根据题意得：，?a=2，b=3． ∴f（x）=3?2x； 故g（x）=； g（x）定义域为R； ∵g（﹣x）=； ==； =﹣g（x）； 所以，g（x）为奇函数． （2）设h（x）==，则y=h（x）在R上为减函数； ∴当x≤1时，h（x）min=h（1）=； ∵h（x）=≥2m+1在x≤1上恒成立： ∴h（x）min≥2m+1?m≤； 故m的取值范围为：（﹣∞，]． 　 21. （10分）求经过直线l1：7x﹣8y﹣1=0和l2：2x+17y+9=0的交点，且垂直于直线2x﹣y+7=0的直线方程． 参考答案： 考点： 两条直线的交点坐标；直线的点斜式方程． 专题： 计算题． 分析： 先解方程组求得交点的坐标，再利用垂直关系求出斜率，点斜式写出直线的方程，并化为一般式． 解答： 由方程组， 解得，所以交点坐标为． 又因为直线斜率为， 所以，求得直线方程为27x+54y+37=0． 点评： 本题考查求两直线的交点的坐标的方法，两直线垂直的性质，用点斜式求直线的方程． 22. （本小题满分15分）用算法语句计算，并画出流程图. 参考答案：                 …………15分            ………………………7分 (注：此题答案不唯一)