2022年湖北省随州市普通高校对口单招高等数学一自考真题(含答案及部分解析)

2022年湖北省随州市普通高校对口单招高等数学一自考真题(含答案及部分解析) 学校:________ 班级:________ 姓名:________ 考号:________ 一、单选题(20题) 1.对于微分方程y"-2y'+y=xex，利用待定系数法求其特解y*时，下列特解设法正确的是（）。 A.y*=(Ax+B)ex B.y*=x(Ax+B)ex C.y*=Ax3ex D.y*=x2(Ax+B)ex 2. 3.  4.。 A.  B.  C.  D.  5. 6. 7. A.A. B.0 C. D.1 8.设函数f(x)满足f'(sin2x=cos2x，且f(0)=0，则f(x)=（） A. B. C. D. 9.设f(x)为连续函数，则等于( ) A.A. B. C. D. 10.（　　） A.A.1 B.2 C.1/2 D.-1 11.设y=2x3，则dy=( ) A.2x2dx B.6x2dx C.3x2dx D.x2dx 12.设y1，y2为二阶线性常系数微分方程y"+p1y'+p2y=0的两个特解，则C1y1+C2y2( )． A.A.为所给方程的解，但不是通解 B.为所给方程的解，但不一定是通解 C.为所给方程的通解 D.不为所给方程的解 13.级数(a为大于0的常数)( )． A.A.绝对收敛 B.条件收敛 C.发散 D.收敛性与a有关 14.  15.设y=cos4x，则dy=（）。 A.4sin4xdx B. -4sin4xdx C.(1/4)sin4xdx D. -(1/4)sin4xdx 16. 17. 18. A.3 B.2 C.1 D.1/2 19.微分方程y'=x的通解为 A.A.2x2+C B.x2+C C. (1/2)x2+C D.2x+C 20.  二、填空题(20题) 21.  22. 23. 24.  25.设f(x，y，z)=xyyz，则 =_________． 26.  27.  28. 29.微分方程y＝0的通解为 ． 30.f(x)=lnx，则f[f(x)]=__________。 31. 32. 33. 设y=cos3x，则y'=__________。 34. 35.  36. 37.  38. 函数f(x)=2x2+4x+2的极小值点为x=_________。 39.  40.  三、计算题(20题) 41.设抛物线Y=1-x2与x轴的交点为A、B，在抛物线与x轴所围成的平面区域内，以线段AB为下底作内接等腰梯形ABCD(如图2—1所示)．设梯形上底CD长为2x，面积为 S(x)． (1)写出S(x)的表达式； (2)求S(x)的最大值． 42. 43.求函数一的单调区间、极值及其曲线的凹凸区间和拐点． 44.  45.当x一0时f(x)与sin 2x是等价无穷小量，则 46.研究级数的收敛性(即何时绝对收敛，何时条件收敛，何时发散，其中常数a>0． 47. 求曲线在点(1，3)处的切线方程． 48. 求函数y=x-lnx的单调区间，并求该曲线在点(1，1)处的切线l的方程． 49. 50.设平面薄板所占Oxy平面上的区域D为1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度 u(x，y)=2+y2，求该薄板的质量m． 51.已知某商品市场需求规律为Q=100e-0.25p，当p=10时，若价格上涨1％，需求量增(减)百分之几? 52.  53.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解． 54. 求函数f(x)=x3-3x+1的单调区间和极值． 55.证明： 56. 57. 将f(x)=e-2X展开为x的幂级数． 58.  59. 60. 求微分方程的通解． 四、解答题(10题) 61. 62. 63.求曲线y=x3-3x+5的拐点. 64. 65.证明:ex＞1+x(x＞0). 66.  67.  68. 求y=xlnx的极值与极值点． 69.  70.设z=z(x，y)由x2+y3+2z=1确定，求 五、高等数学(0题) 71.f(x，y)在点(x0，y0)存在偏导数是在该点可微的( )。 A.必要而不充分条件 B.充分而不必要条件 C.必要且充分条件 D.既不必要也不充分条件 六、解答题(0题) 72. 参考答案 1.D 特征方程为r2-2r+1=0，特征根为r=1(二重根)，f(x)=xex，α=1为特征根，因此原方程特解y*=x2(Ax+B)ex，因此选D。 2.C 3.A解析： 4.A 本题考查的知识点为定积分换元积分法。 因此选A。 5.B 6.C 7.D 本题考查的知识点为拉格朗日中值定理的条件与结论． 可知应选D． 8.D 9.D 本题考查的知识点为定积分的性质；牛-莱公式． 可知应选D． 10.C 由于f'(2)=1，则 11.B 12.B 本题考查的知识点为线性常系数微分方程解的结构． 已知y1，y2为二阶线性常系数齐次微分方程y"+p1y'+p2y=0的两个解，由解的结构定理可知C1y1+C2y2为所给方程的解，因此应排除D．又由解的结构定理可知，当y1，y2线性无关时，C1y1+C2y2为y"+p1y'+p2y=0的通解，因此应该选B． 本题中常见的错误是选C．这是由于忽略了线性常系数微分方程解的结构定理中的条件所导致的错误．解的结构定理中指出：“若y1，y2为二阶线性常系数微分方程y"+p1y'+p2y=0的两个线性无关的特解，则C1y1+C2y2为所给微分方程的通解，其中C1，C2为任意常数．”由于所给命题中没有指出)y1，y2为线性无关的特解，可知C1y1+C2y2不一定为方程的通解．但是由解的结构定理知C1y1+C2y2为方程的解，因此应选B． 13.A 本题考查的知识点为级数绝对收敛与条件收敛的概念． 注意为p=2的p级数，因此为收敛级数，由比较判别法可知收敛，故绝对收敛，应选A． 14.B 15.B 16.A 17.D 18.B ，可知应选B。 19.C 20.B 21.33 解析： 22. 本题考查的知识点为微分的四则运算． 注意若u，v可微，则 23.2 本题考查的知识点为极限的运算． 24.y 25. =xylnx.yz+xy.zyz-1=xyz-1y(ylnx+z)。 26. 解析：本题考查的知识点为不定积分的凑微分法． 27.(-24)(-2,4) 解析： 28. 29.y＝C． 本题考查的知识点为微分方程通解的概念． 微分方程为y＝0． dy＝0．y＝C． 30. 则 31. 32. 33.-3sin3x 34. 本题考查的知识点为导数的四则运算． 35.11 解析： 36.e-1/2 37.y=x3+1 38.-1 39. 40.2 41. 42. 43. 列表： 说明 44. 45.由等价无穷小量的定义可知 46. 47.曲线方程为，点(1，3)在曲线上． 因此所求曲线方程为或写为2x+y-5=0． 如果函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)存在，则表明曲线y=f(x)在点 (x0，fx0))处存在切线，且切线的斜率为f′(x0)．切线方程为 48. 49. 50.由二重积分物理意义知 51.需求规律为Q=100ep-2.25p ∴当P=10时价格上涨1％需求量减少2．5％需求规律为Q=100ep-2.25p, ∴当P=10时,价格上涨1％需求量减少2．5％ 52. 由一阶线性微分方程通解公式有 53.解：原方程对应的齐次方程为y"-4y'+4y=0， 54. 函数的定义域为 注意 55. 56. 57. 58. 则 59. 60. 61. 62. 63.y'=3x2-3，y''=6x 令y''=0，解得x=0 当x＜0时，y''＜0；当x＞0时，y''＞0。 当x=0时，y=5 因此，点（0，5）为所给曲线的拐点。 64. 65. 66. 67. 68. y=x1nx的定义域为x>0， 69. 70. 本题考查的知识点为求二元隐函数的偏导数． 若z=z(x，y)由方程F(x，y，z)=0确定，求z对x，y的偏导数通常有两种方法： 一是利用偏导数公式，当需注意F'x，F'yF'z分别表示F(x，y，z)对x，y，z的偏导数．上面式F(z，y，z)中将z，y，z三者同等对待，各看做是独立变元． 二是将F(x，y，z)=0两端关于x求偏导数，将z=z(x，y)看作为中间变量，可以解出同理将F(x，y，z)=0两端关于y求偏导数，将z=z(x，y)看作中间变量，可以解出 71.A∵偏导数存在且连续→函数可微→偏导数存在；反之不一定。 ∴偏导数存在只是函数可微的必要条件。 72.