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2021-2022学年河南省鹤壁市普通高校对口单招高等数学一自考预测试题(含答案及部分解析)
学校:________ 班级:________ 姓名:________ 考号:________
一、单选题(20题)
1.
2.下列命题正确的是( )
A.A.
B.
C.
D.
3.
4. 函数y=x2-x+1在区间[-1,3]上满足拉格朗日中值定理的ξ等于( ).
A.-3/4 B.0 C.3/4 D.1
5.下列关系正确的是( )。
A.
B.
C.
D.
6.
A.3 B.2 C.1 D.1/2
7.
A.2x+1 B.2xy+1 C.x2+1 D.2xy
8.
9.
10.函数y=sinx在区间[0,π]上满足罗尔定理的ξ等于( ).
A.A.0 B.π/4 C.π/2 D.π
11.
12.
13. 设Y=e-5x,则dy=( ).
A.-5e-5xdx
B.-e-5xdx
C.e-5xdx
D.5e-5xdx
14.
15.函数y=x3-3x的单调递减区间为( )
A.A.(-∞,-1]
B.[-1,1]
C.[1,+∞)
D.(-∞,+∞)
16.微分方程y'+x=0的通解()。
A.
B.
C.
D.
17.
A.A.条件收敛 B.绝对收敛 C.收敛性与k有关 D.发散
18.设y=sinx,则y'|x=0等于( ).
A.1 B.0 C.-1 D.-2
19.等于( ).
A.A.0
B.
C.
D.∞
20.
二、填空题(20题)
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.设是收敛的,则后的取值范围为______.
35. 设y=ex,则dy=_________。
36.
37.
38.设曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线平行于x轴,则该切线方程为______.
39.过原点且与直线垂直的平面方程为______.
40.
三、计算题(20题)
41. 求函数f(x)=x3-3x+1的单调区间和极值.
42.已知某商品市场需求规律为Q=100e-0.25p,当p=10时,若价格上涨1%,需求量增(减)百分之几?
43. 求微分方程的通解.
44.
45.
46.
47. 求曲线在点(1,3)处的切线方程.
48.
49.求函数一的单调区间、极值及其曲线的凹凸区间和拐点.
50.设抛物线Y=1-x2与x轴的交点为A、B,在抛物线与x轴所围成的平面区域内,以线段AB为下底作内接等腰梯形ABCD(如图2—1所示).设梯形上底CD长为2x,面积为
S(x).
(1)写出S(x)的表达式;
(2)求S(x)的最大值.
51.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解.
52.研究级数的收敛性(即何时绝对收敛,何时条件收敛,何时发散,其中常数a>0.
53.设平面薄板所占Oxy平面上的区域D为1≤x2+y2≤4,x≥0,y≥0,其面密度
u(x,y)=2+y2,求该薄板的质量m.
54.证明:
55. 求函数y=x-lnx的单调区间,并求该曲线在点(1,1)处的切线l的方程.
56.
57.
58.当x一0时f(x)与sin 2x是等价无穷小量,则
59. 将f(x)=e-2X展开为x的幂级数.
60.
四、解答题(10题)
61.
62.
63.
64.求由曲线y=2x-x2,y=x所围成的平面图形的面积S.并求此平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积Vx.
65.
66.
67.
68.
69.计算其中D是由y=x,x=0,y=1围成的平面区域.
70.
五、高等数学(0题)
71.曲线
在(1,1)处的切线方程是_______。
六、解答题(0题)
72.求方程y''-2y'+5y=ex的通解.
参考答案
1.D
2.D
3.A
4.D解析:本题考查的知识点为拉格朗日中值定理的条件与结论.
由于y=x2-x+1在[-1,3]上连续,在(-1,3)内可导,可知y在[-1,3]上满足拉格朗日中值定理,又由于y'=2x-1,因此必定存在ξ∈(-1,3),使
可知应选D.
5.B
由不定积分的性质可知,故选B.
6.B
,可知应选B。
7.B
8.D
9.D解析:
10.C
本题考查的知识点为罗尔定理的条件与结论.
由于y=sinx在[0,π]上连续,在(0,π)内可导,且y|x=0=0=y|x=π,可知y=sinx在[0,π]上满足罗尔定理,因此必定存在ξ∈(0,π),使y'|x=ξ=cosx|x=ξ=cosξ=0,从而应有.
故知应选C.
11.B
12.C解析:
13.A
【评析】 基本初等函数的求导公式与导数的四则运算法则是常见的试题,一定要熟记基本初等函数求导公式.对简单的复合函数的求导,应该注意由外到里,每次求一个层次的导数,不要丢掉任何一个复合层次.
14.D
15.B
16.D
所给方程为可分离变量方程.
17.A
本题考杏的知识点为级数的绝对收敛与条件收敛.
18.A
由于
可知应选A.
19.A
20.D
21.
22.1/2
23.ee 解析:
24.连续但不可导连续但不可导
25.
26.
27.1/61/6 解析:
28.
本题考查的知识点为重要极限公式.
29.本题考查的知识点为重要极限公式。
30.
31.
32.
33.0
本题考查的知识点为无穷小量的性质.
34.k>1
本题考查的知识点为广义积分的收敛性.
由于存在,可知k>1.
35.exdx
36.
37.1/21/2 解析:
38.y=f(1)
本题考查的知识点有两个:一是导数的几何意义,二是求切线方程.
设切点为(x0,f(x0)),则曲线y=f(x)过该点的切线方程为
y-f(x0)=f'(x0)(x-x0).
由题意可知x0=1,且在(1,f(1))处曲线y=f(x)的切线平行于x轴,因此应有f'(x0)=0,故所求切线方程为
y=f(1)=0.
本题中考生最常见的错误为:将曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程写为
y-f(x0)=f'(x)(x-x0)
而导致错误.本例中错误地写为
y-f(1)=f'(x)(x-1).
本例中由于f(x)为抽象函数,一些考生不习惯于写f(1),有些人误写切线方程为
y-1=0.
39.2x+y-3z=0
本题考查的知识点为平面方程和平面与直线的关系.
由于已知直线与所求平面垂直,可知所给直线的方向向量s平行于所求平面的法向量n.由于s=(2,1,-3),因此可取n=(2,1,-3).由于平面过原点,由平面的点法式方程,可知所求平面方程为2x+y-3z=0
40.
41. 函数的定义域为
注意
42.需求规律为Q=100ep-2.25p ∴当P=10时价格上涨1%需求量减少2.5%需求规律为Q=100ep-2.25p, ∴当P=10时,价格上涨1%需求量减少2.5%
43.
44.
45.
则
46.
47.曲线方程为,点(1,3)在曲线上.
因此所求曲线方程为或写为2x+y-5=0.
如果函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)存在,则表明曲线y=f(x)在点
(x0,fx0))处存在切线,且切线的斜率为f′(x0).切线方程为
48.
49.
列表:
说明
50.
51.解:原方程对应的齐次方程为y"-4y'+4y=0,
52.
53.由二重积分物理意义知
54.
55.
56.
57.
58.由等价无穷小量的定义可知
59.
60. 由一阶线性微分方程通解公式有
61.
62.
63.
64.所给平面图形如图4-1中阴影部分所示. 由,可解得 因此 :
本题考查的知识点为定积分的几何应用:利用定积分表示平面图形的面积;利用定积分求绕坐标轴旋转而成旋转体体积.这是常见的考试题型,考生应该熟练掌握.
65.
66.
67.
68.
69.
本题考查的知识点为二重积分运算和选择二次积分次序.
由于不能用初等函数形式表示,因此不能先对y积分,只能选取先对x积分后对y积分的次序.
通常都不能由初等函数形式表示,即不可积分,考生应该记住这两个常见的形式.
70.
71.曲线的切点(11)斜率切线方程为x=1。曲线的切点(1,1)斜率切线方程为x=1。
72.
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