2021-2022学年吉林省辽源市普通高校对口单招高等数学一

2021-2022学年吉林省辽源市普通高校对口单招高等数学一 学校:________ 班级:________ 姓名:________ 考号:________ 一、单选题(20题) 1. 2. 设函数y＝f(x)的导函数，满足f(－1)＝0，当x<－1时，f(x)<0；当x>－1时，f(x)>0．则下列结论肯定正确的是（　　）． A.x＝－1是驻点，但不是极值点 B.x＝－1不是驻点 C.x＝－1为极小值点 D.x＝－1为极大值点 3.微分方程y'+y=0的通解为( )。 A.y=ex B.y=e-x C.y=Cex D.y=Ce-x 4.下列关系式中正确的有( )。 A. B. C. D. 5. 6.设f(x)为连续函数，则等于( ) A.A. B. C. D. 7.函数y=ln(1+x2)的单调增加区间是( )。 A.(-5，5) B.(-∞，0) C.(0，+∞) D.(-∞，+∞) 8. 9.设y=e-3x，则dy= A.e-3xdx B.-e-3xdx C.-3e-3xdx D.3e-3xdx 10.设a={-1，1，2)，b={3，0，4}，则向量a在向量b上的投影为（ ） A.A. B.1 C. D.-1 11.曲线y＝1nx在点(e，1)处切线的斜率为（　　）． A.A.e2 B.e C.1 D.1/e 12.下列命题中正确的有（　　）． A.A. B. C. D. 13.A.-1 B.1 C. D.2 14.函数z=x2-xy+y2+9x-6y+20有 A.极大值f(4,1)=63 B.极大值f(0,0)=20 C.极大值f(-4,1)=-1 D.极小值f(-4,1)=-1 15.  16.  17. A.0 B.1 C.2 D.4 18.  19.  20.方程x2+2y2-z2=0表示的曲面是 A.A.椭球面 B.锥面 C.柱面 D.平面 二、填空题(20题) 21.函数f(x)=ex，g(x)=sinx，则f[g(x)]=__________。 22.设z=x3y2，则 23. 24.  25. 26.______。 27. 28.设z=sin(x2y)，则=________。 29.过点(1，-1，0)且与直线平行的直线方程为______。 30.  31. 32.=______． 33.y'=x的通解为______． 34.设y=sin2x，则y'______． 35. 36.设区域D由y轴，y=x，y=1所围成，则． 37. 微分方程y'+4y=0的通解为_________。 38. 39.  40. 三、计算题(20题) 41.设平面薄板所占Oxy平面上的区域D为1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度 u(x，y)=2+y2，求该薄板的质量m． 42. 43. 求微分方程的通解． 44.设抛物线Y=1-x2与x轴的交点为A、B，在抛物线与x轴所围成的平面区域内，以线段AB为下底作内接等腰梯形ABCD(如图2—1所示)．设梯形上底CD长为2x，面积为 S(x)． (1)写出S(x)的表达式； (2)求S(x)的最大值． 45.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解． 46.研究级数的收敛性(即何时绝对收敛，何时条件收敛，何时发散，其中常数a>0． 47.已知某商品市场需求规律为Q=100e-0.25p，当p=10时，若价格上涨1％，需求量增(减)百分之几? 48. 49. 50.求函数一的单调区间、极值及其曲线的凹凸区间和拐点． 51. 将f(x)=e-2X展开为x的幂级数． 52.  53. 54. 求函数f(x)=x3-3x+1的单调区间和极值． 55.  56.  57. 求曲线在点(1，3)处的切线方程． 58.证明： 59. 求函数y=x-lnx的单调区间，并求该曲线在点(1，1)处的切线l的方程． 60.当x一0时f(x)与sin 2x是等价无穷小量，则 四、解答题(10题) 61.将f(x)=sin3x展开为x的幂级数，并指出其收敛区间。 62.  63. 64. 65.  66.  67. 若y=y(x)由方程y=x2+y2，求dy。 68.设函数y=xlnx,求y''. 69. 70. 五、高等数学(0题) 71.设 则∫f(x)dx等于( )。 A.2x+c B.1nx+c C. D. 六、解答题(0题) 72. 参考答案 1.C 2.C 本题考查的知识点为极值的第－充分条件． 由f(－1)＝0，可知x＝－1为f(x)的驻点，当x<－1时f(x)<0；当x>－1时， f(x)>1，由极值的第－充分条件可知x＝－1为f(x)的极小值点，故应选C． 3.D 可以将方程认作可分离变量方程；也可以将方程认作一阶线性微分方程；还可以仿二阶线性常系数齐次微分方程，并作为特例求解。 解法1 将方程认作可分离变量方程。 分离变量  两端分别积分  或 y=Ce-x 解法2 将方程认作一阶线性微分方程．由通解公式可得 解法3 认作二阶常系数线性齐次微分方程特例求解： 特征方程为r+1=0， 特征根为 r=-1， 方程通解为 y=Ce-x。 4.B 本题考查的知识点为定积分的性质． 由于x，x2都为连续函数，因此与都存在。 又由于 0＜x＜1时，x＞x2，因此 可知应选B。 5.B 6.D 本题考查的知识点为定积分的性质；牛-莱公式． 可知应选D． 7.C 本题考查的知识点为判定函数的单调性。 y=ln(1+x2)的定义域为(-∞，+∞)。 当x＞0时，y'＞0，y为单调增加函数， 当x＜0时，y'＜0，y为单调减少函数。 可知函数y=ln(1+x2)的单调增加区间是(0，+∞)，故应选C。 8.C 9.C 10.B 11.D 本题考查的知识点为导数的几何意义． 由导数的几何意义可知，若y＝f(x)在点x0处可导，则曲线)，y＝f(x)在点(x0，f(x0))处必定存在切线，且切线的斜率为f(x0)． 由于y＝ln x，可知 可知应选D． 12.B 本题考查的知识点为级数的性质． 可知应选B．通常可以将其作为判定级数发散的充分条件使用． 13.A 14.D 本题考查了函数的极值的知识点。 15.A解析： 16.C解析： 17.A 本题考查了二重积分的知识点。 18.A解析： 19.C解析： 20.B 21.由f(x)=exg(x)=sinx；∴f[g(x)]=f[sinx]=esinx 22.12dx+4dy ；本题考查的知识点为求函数在一点处的全微分． 由于z=x3y2可知，均为连续函数，因此 23. 24.y=x3+1 25. 26.本题考查的知识点为极限运算。 所求极限的表达式为分式，其分母的极限不为零。 因此 27. 本题考查的知识点为可变上限积分的求导． 28.设u=x2y，则z=sinu，因此=cosu.x2=x2cos(x2y)。 29.本题考查的知识点为直线的方程和直线与直线的关系。 由于两条直线平行的充分必要条件为它们的方向向量平行，因此可取所求直线的方向向量为(2，1，-1)．由直线的点向式方程可知所求直线方程为 30.11 解析： 31. 32.本题考查的知识点为定积分的换元积分法。 设t=x/2，则x=2t，dx=2dt．当x=0时，t=0；当x=π时，t=π/2。因此 33. 本题考查的知识点为：求解可分离变量的微分方程． 由于y'=x，可知  34.2sinxcosx 本题考查的知识点为复合函数导数运算． 35.1 36.1/2 本题考查的知识点为计算二重积分．其积分区域如图1-2阴影区域所示． 可利用二重积分的几何意义或将二重积分化为二次积分解之． 解法1 由二重积分的几何意义可知表示积分区域D的面积，而区域D为等腰直角三角形，面积为1/2，因此． 解法2 化为先对y积分，后对x积分的二次积分． 作平行于y轴的直线与区域D相交，沿y轴正向看，入口曲线为y=x，作为积分下限；出口曲线为y=1，作为积分上限，因此 x≤y≤1． 区域D在x轴上的投影最小值为x=0，最大值为x=1，因此 0≤x≤1． 可得知 解法3 化为先对x积分，后对Y积分的二次积分． 作平行于x轴的直线与区域D相交，沿x轴正向看，入口曲线为x=0，作为积分下限；出口曲线为x=y，作为积分上限，因此 0≤x≤y． 区域D在y轴上投影的最小值为y=0，最大值为y=1，因此 0≤y≤1． 可得知 37.y=Ce-4x 38.yf''(xy)+f'(x+y)+yf''(x+y) 39. 40. 41.由二重积分物理意义知 42. 43. 44. 45.解：原方程对应的齐次方程为y"-4y'+4y=0， 46. 47.需求规律为Q=100ep-2.25p ∴当P=10时价格上涨1％需求量减少2．5％需求规律为Q=100ep-2.25p, ∴当P=10时,价格上涨1％需求量减少2．5％ 48. 49. 50. 列表： 说明 51. 52. 53. 54. 函数的定义域为 注意 55. 由一阶线性微分方程通解公式有 56. 则 57.曲线方程为，点(1，3)在曲线上． 因此所求曲线方程为或写为2x+y-5=0． 如果函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)存在，则表明曲线y=f(x)在点 (x0，fx0))处存在切线，且切线的斜率为f′(x0)．切线方程为 58. 59. 60.由等价无穷小量的定义可知 61. 62. 63. 解 64.本题考查的知识点为：描述函数几何性态的综合问题。 极小值点为x=一1，极小值为 曲线的凹区间为(一2，+∞)； 曲线的凸区间为(一∞，一2)； 65. 66. 67. 68. 69. 70. 71.C 72.