资源描述
2021-2022学年吉林省辽源市普通高校对口单招高等数学一
学校:________ 班级:________ 姓名:________ 考号:________
一、单选题(20题)
1.
2. 设函数y=f(x)的导函数,满足f(-1)=0,当x<-1时,f(x)<0;当x>-1时,f(x)>0.则下列结论肯定正确的是( ).
A.x=-1是驻点,但不是极值点 B.x=-1不是驻点 C.x=-1为极小值点 D.x=-1为极大值点
3.微分方程y'+y=0的通解为( )。
A.y=ex
B.y=e-x
C.y=Cex
D.y=Ce-x
4.下列关系式中正确的有( )。
A.
B.
C.
D.
5.
6.设f(x)为连续函数,则等于( )
A.A.
B.
C.
D.
7.函数y=ln(1+x2)的单调增加区间是( )。
A.(-5,5) B.(-∞,0) C.(0,+∞) D.(-∞,+∞)
8.
9.设y=e-3x,则dy=
A.e-3xdx
B.-e-3xdx
C.-3e-3xdx
D.3e-3xdx
10.设a={-1,1,2),b={3,0,4},则向量a在向量b上的投影为( )
A.A.
B.1
C.
D.-1
11.曲线y=1nx在点(e,1)处切线的斜率为( ).
A.A.e2 B.e C.1 D.1/e
12.下列命题中正确的有( ).
A.A.
B.
C.
D.
13.A.-1
B.1
C.
D.2
14.函数z=x2-xy+y2+9x-6y+20有
A.极大值f(4,1)=63 B.极大值f(0,0)=20 C.极大值f(-4,1)=-1 D.极小值f(-4,1)=-1
15.
16.
17.
A.0 B.1 C.2 D.4
18.
19.
20.方程x2+2y2-z2=0表示的曲面是
A.A.椭球面 B.锥面 C.柱面 D.平面
二、填空题(20题)
21.函数f(x)=ex,g(x)=sinx,则f[g(x)]=__________。
22.设z=x3y2,则
23.
24.
25.
26.______。
27.
28.设z=sin(x2y),则=________。
29.过点(1,-1,0)且与直线平行的直线方程为______。
30.
31.
32.=______.
33.y'=x的通解为______.
34.设y=sin2x,则y'______.
35.
36.设区域D由y轴,y=x,y=1所围成,则.
37. 微分方程y'+4y=0的通解为_________。
38.
39.
40.
三、计算题(20题)
41.设平面薄板所占Oxy平面上的区域D为1≤x2+y2≤4,x≥0,y≥0,其面密度
u(x,y)=2+y2,求该薄板的质量m.
42.
43. 求微分方程的通解.
44.设抛物线Y=1-x2与x轴的交点为A、B,在抛物线与x轴所围成的平面区域内,以线段AB为下底作内接等腰梯形ABCD(如图2—1所示).设梯形上底CD长为2x,面积为
S(x).
(1)写出S(x)的表达式;
(2)求S(x)的最大值.
45.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解.
46.研究级数的收敛性(即何时绝对收敛,何时条件收敛,何时发散,其中常数a>0.
47.已知某商品市场需求规律为Q=100e-0.25p,当p=10时,若价格上涨1%,需求量增(减)百分之几?
48.
49.
50.求函数一的单调区间、极值及其曲线的凹凸区间和拐点.
51. 将f(x)=e-2X展开为x的幂级数.
52.
53.
54. 求函数f(x)=x3-3x+1的单调区间和极值.
55.
56.
57. 求曲线在点(1,3)处的切线方程.
58.证明:
59. 求函数y=x-lnx的单调区间,并求该曲线在点(1,1)处的切线l的方程.
60.当x一0时f(x)与sin 2x是等价无穷小量,则
四、解答题(10题)
61.将f(x)=sin3x展开为x的幂级数,并指出其收敛区间。
62.
63.
64.
65.
66.
67. 若y=y(x)由方程y=x2+y2,求dy。
68.设函数y=xlnx,求y''.
69.
70.
五、高等数学(0题)
71.设
则∫f(x)dx等于( )。
A.2x+c
B.1nx+c
C.
D.
六、解答题(0题)
72.
参考答案
1.C
2.C 本题考查的知识点为极值的第-充分条件.
由f(-1)=0,可知x=-1为f(x)的驻点,当x<-1时f(x)<0;当x>-1时,
f(x)>1,由极值的第-充分条件可知x=-1为f(x)的极小值点,故应选C.
3.D
可以将方程认作可分离变量方程;也可以将方程认作一阶线性微分方程;还可以仿二阶线性常系数齐次微分方程,并作为特例求解。
解法1 将方程认作可分离变量方程。
分离变量
两端分别积分
或 y=Ce-x
解法2 将方程认作一阶线性微分方程.由通解公式可得
解法3 认作二阶常系数线性齐次微分方程特例求解:
特征方程为r+1=0,
特征根为 r=-1,
方程通解为 y=Ce-x。
4.B
本题考查的知识点为定积分的性质.
由于x,x2都为连续函数,因此与都存在。
又由于 0<x<1时,x>x2,因此 可知应选B。
5.B
6.D
本题考查的知识点为定积分的性质;牛-莱公式.
可知应选D.
7.C
本题考查的知识点为判定函数的单调性。
y=ln(1+x2)的定义域为(-∞,+∞)。
当x>0时,y'>0,y为单调增加函数,
当x<0时,y'<0,y为单调减少函数。
可知函数y=ln(1+x2)的单调增加区间是(0,+∞),故应选C。
8.C
9.C
10.B
11.D
本题考查的知识点为导数的几何意义.
由导数的几何意义可知,若y=f(x)在点x0处可导,则曲线),y=f(x)在点(x0,f(x0))处必定存在切线,且切线的斜率为f(x0).
由于y=ln x,可知
可知应选D.
12.B
本题考查的知识点为级数的性质.
可知应选B.通常可以将其作为判定级数发散的充分条件使用.
13.A
14.D
本题考查了函数的极值的知识点。
15.A解析:
16.C解析:
17.A
本题考查了二重积分的知识点。
18.A解析:
19.C解析:
20.B
21.由f(x)=exg(x)=sinx;∴f[g(x)]=f[sinx]=esinx
22.12dx+4dy ;本题考查的知识点为求函数在一点处的全微分.
由于z=x3y2可知,均为连续函数,因此
23.
24.y=x3+1
25.
26.本题考查的知识点为极限运算。
所求极限的表达式为分式,其分母的极限不为零。
因此
27.
本题考查的知识点为可变上限积分的求导.
28.设u=x2y,则z=sinu,因此=cosu.x2=x2cos(x2y)。
29.本题考查的知识点为直线的方程和直线与直线的关系。
由于两条直线平行的充分必要条件为它们的方向向量平行,因此可取所求直线的方向向量为(2,1,-1).由直线的点向式方程可知所求直线方程为
30.11 解析:
31.
32.本题考查的知识点为定积分的换元积分法。
设t=x/2,则x=2t,dx=2dt.当x=0时,t=0;当x=π时,t=π/2。因此
33.
本题考查的知识点为:求解可分离变量的微分方程.
由于y'=x,可知
34.2sinxcosx
本题考查的知识点为复合函数导数运算.
35.1
36.1/2
本题考查的知识点为计算二重积分.其积分区域如图1-2阴影区域所示.
可利用二重积分的几何意义或将二重积分化为二次积分解之.
解法1 由二重积分的几何意义可知表示积分区域D的面积,而区域D为等腰直角三角形,面积为1/2,因此.
解法2 化为先对y积分,后对x积分的二次积分.
作平行于y轴的直线与区域D相交,沿y轴正向看,入口曲线为y=x,作为积分下限;出口曲线为y=1,作为积分上限,因此
x≤y≤1.
区域D在x轴上的投影最小值为x=0,最大值为x=1,因此
0≤x≤1.
可得知
解法3 化为先对x积分,后对Y积分的二次积分.
作平行于x轴的直线与区域D相交,沿x轴正向看,入口曲线为x=0,作为积分下限;出口曲线为x=y,作为积分上限,因此
0≤x≤y.
区域D在y轴上投影的最小值为y=0,最大值为y=1,因此
0≤y≤1.
可得知
37.y=Ce-4x
38.yf''(xy)+f'(x+y)+yf''(x+y)
39.
40.
41.由二重积分物理意义知
42.
43.
44.
45.解:原方程对应的齐次方程为y"-4y'+4y=0,
46.
47.需求规律为Q=100ep-2.25p ∴当P=10时价格上涨1%需求量减少2.5%需求规律为Q=100ep-2.25p, ∴当P=10时,价格上涨1%需求量减少2.5%
48.
49.
50.
列表:
说明
51.
52.
53.
54. 函数的定义域为
注意
55. 由一阶线性微分方程通解公式有
56.
则
57.曲线方程为,点(1,3)在曲线上.
因此所求曲线方程为或写为2x+y-5=0.
如果函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)存在,则表明曲线y=f(x)在点
(x0,fx0))处存在切线,且切线的斜率为f′(x0).切线方程为
58.
59.
60.由等价无穷小量的定义可知
61.
62.
63. 解
64.本题考查的知识点为:描述函数几何性态的综合问题。
极小值点为x=一1,极小值为
曲线的凹区间为(一2,+∞);
曲线的凸区间为(一∞,一2);
65.
66.
67.
68.
69.
70.
71.C
72.
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