2021-2022学年湖南省娄底市普通高校对口单招高等数学一自考真题(含答案及部分解析)

2021-2022学年湖南省娄底市普通高校对口单招高等数学一自考真题(含答案及部分解析) 学校:________ 班级:________ 姓名:________ 考号:________ 一、单选题(20题) 1.设y1，y2为二阶线性常系数微分方程y"+p1y+p2y=0的两个特解，则C1y1+C2y2( ) A.为所给方程的解，但不是通解 B.为所给方程的解，但不一定是通解 C.为所给方程的通解 D.不为所给方程的解 2.微分方程y''-2y'=x的特解应设为 A.Ax B.Ax+B C.Ax2+Bx D.Ax2+Bx+C 3. 4.点作曲线运动时，“匀变速运动”指的是( )。 A.aτ为常量 B.an为常量 C.为常矢量 D.为常矢量 5.已知斜齿轮上A点受到另一齿轮对它作用的捏合力Fn，Fn沿齿廓在接触处的公法线方向，且垂直于过A点的齿面的切面，如图所示，α为压力角，β为斜齿轮的螺旋角。下列关于一些力的计算有误的是( )。 A.圆周力FT=Fncosαcosβ B.径向力Fa=Fncosαcosβ C.轴向力Fr=Fncosα D.轴向力Fr=Fnsinα 6.若∫f(x)dx=F(x)+C，则∫f(2x)dx等于( )． A.A.2F(2x)+C B.F(2x)+C C.F(x)+C D.F(2x)/2+C 7.  A.2x2+x+C B.x2+x+C C.2x2+C D.x2+C 8. 按照卢因的观点，组织在“解冻”期间的中心任务是（　　　） A.改变员工原有的观念和态度 B.运用策略，减少对变革的抵制 C.变革约束力、驱动力的平衡 D.保持新的组织形态的稳定 9.设函数在x=0处连续，则等于( )。 A.2 B.1/2 C.1 D.-2 10.设函数y=(2+x)3，则y'= A.(2+x)2 B.3(2+x)2 C.(2+x)4 D.3(2+x)4 11.函数y=ex+e-x的单调增加区间是 A.(-∞，+∞) B.(-∞，0] C.(-1，1) D.[0，+∞) 12.  13.  14. 微分方程y"+y'=0的通解为 A.y=Ce-x B.y=e-x+C C.y=C1e-x+C2 D.y=e-x 15.设y=exsinx，则y'''= A.cosx·ex B.sinx·ex C.2ex(cosx-sinx) D.2ex(sinx-cosx) 16.设f'(x)在点x0的某邻域内存在，且f(x0)为f(x)的极大值，则等于( )． A.A.2 B.1 C.0 D.-2 17.  18.  19.。 A.2 B.1 C.-1/2 D.0 20. 鉴别的方法主要有查证法、比较法、佐证法、逻辑法。其中（　　　）是指通过寻找物证、人证来验证信息的可靠程度的方法。 A.查证法 B.比较法 C.佐证法 D.逻辑法 二、填空题(20题) 21. 22.曲线y =x3－3x2－x的拐点坐标为____。 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29.设y＝f(x)在点x＝0处可导，且x＝0为f(x)的极值点，则f(0)＝ ． 30.设函数y=x2+sinx，则dy______． 31. 设f(x＋1)=4x2＋3x＋1，g(x)=f(e-x)，则g(x)=__________． 32. 33. 34.  35. 36.  37. 38. 39. 40. 三、计算题(20题) 41. 求微分方程的通解． 42. 43. 44. 求曲线在点(1，3)处的切线方程． 45. 46.研究级数的收敛性(即何时绝对收敛，何时条件收敛，何时发散，其中常数a>0． 47. 求函数y=x-lnx的单调区间，并求该曲线在点(1，1)处的切线l的方程． 48.已知某商品市场需求规律为Q=100e-0.25p，当p=10时，若价格上涨1％，需求量增(减)百分之几? 49. 求函数f(x)=x3-3x+1的单调区间和极值． 50.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解． 51. 52.设平面薄板所占Oxy平面上的区域D为1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度 u(x，y)=2+y2，求该薄板的质量m． 53.证明： 54.求函数一的单调区间、极值及其曲线的凹凸区间和拐点． 55.  56. 将f(x)=e-2X展开为x的幂级数． 57.  58.  59.当x一0时f(x)与sin 2x是等价无穷小量，则 60.设抛物线Y=1-x2与x轴的交点为A、B，在抛物线与x轴所围成的平面区域内，以线段AB为下底作内接等腰梯形ABCD(如图2—1所示)．设梯形上底CD长为2x，面积为 S(x)． (1)写出S(x)的表达式； (2)求S(x)的最大值． 四、解答题(10题) 61.  62.  63.求直线y=2x+1与直线x=0，x=1和y=0所围平面图形的面积，并求该图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积。 64.设y=ln(1+x2)，求dy。 65. 66. 67. 68.  69.求由曲线y=3-x2与y=2x，y轴所围成的平面图形的面积及该封闭图形绕x轴旋转一周所成旋转体的体积． 70. 五、高等数学(0题) 71. 六、解答题(0题) 72. 参考答案 1.B 如果y1，y2这两个特解是线性无关的，即≠C，则C1y1+C2y2是其方程的通解。现在题设中没有指出是否线性无关，所以可能是通解，也可能不是通解，故选B。 2.C 因f(x)=x为一次函数，且特征方程为r2-2r=0,得特征根为r1=0，r2=2.于是特解应设为y*=(Ax+B)x=Ax2+Bx. 3.D 4.A 5.C 6.D 本题考查的知识点为不定积分的第一换元积分法(凑微分法)． 由题设知∫f(x)dx=F(x)+C，因此 可知应选D． 7.B  8.A解析：组织在解冻期间的中心任务是改变员工原有的观念和态度。 9.C 本题考查的知识点为函数连续性的概念。 由于 f(x)在点x=0连续，因此，故a=1，应选C。 10.B本题考查了复合函数求导的知识点。 因为y=(2+x)3，所以y'=3(2+x)2·(2+x)'=3(2+x)2. 11.Dy=ex+e-x，则y'=ex-e-x，当x＞0时，y'＞0，所以y在区间[0，+∞)上单调递增. 12.D 13.C 14.C解析：y"+y'=0，特征方程为r2+r=0，特征根为r1=0，r2=-1；方程的通解为y=C1e-x+C1，可知选C。 15.C 由莱布尼茨公式，得（exsinx)'''=(ex)'''sinx+3(ex)''(sinx)'+3(ex)'(sinx)''+ex(sinx)'''=exsinx+3excosx+3ex(-sinx)+ex(-cosx)=2ex(cosx-sinx). 16.C 本题考查的知识点为极值的必要条件；在一点导数的定义． 由于f(x0)为f(x)的极大值，且f'(x0)存在，由极值的必要条件可知f'(x0)=0．从而 可知应选C． 17.C 18.A 19.A 20.C解析：佐证法是指通过寻找物证、人证来验证信息的可靠程度的方法。 21. 本题考查的知识点为不定积分的换元积分法． 22.（1，-1） 23.1 24.|x| 25.0 26.  27. 28.F(sinx)＋C． 本题考查的知识点为不定积分的换元法． 29.0． 本题考查的知识点为极值的必要条件． 由于y＝f(x)在点x＝0可导，且x＝0为f(x)的极值点，由极值的必要条件可知有f(0)＝0． 30.(2x+cosx)dx ；本题考查的知识点为微分运算． 解法1 利用dy=y'dx．由于y'=(x2+sinx)'=2x+cosx， 可知 dy=(2x+cosx)dx． 解法2 利用微分运算法则dy=d(x2+sinx)=dx2+dsinx=(2x+cosx)dx． 31.  32. 33.0 本题考查了利用极坐标求二重积分的知识点. 34.x/1=y/2=z/-1 35. 36.极大值为8极大值为8 37. 本题考查的知识点为微分的四则运算． 注意若u，v可微，则 38.本题考查的知识点为平面方程和平面与直线的关系． 由于已知直线与所求平面垂直，可知所给直线的方向向量s平行于所求平面的法向量n．由 于s=(2，1，一3)，因此可取n=(2，1，－3)．由于平面过原点，由平面的点法式方程，可知所求平面方程为 2x+y一3z=0． 39.e-2 40. 41. 42. 43. 44.曲线方程为，点(1，3)在曲线上． 因此所求曲线方程为或写为2x+y-5=0． 如果函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)存在，则表明曲线y=f(x)在点 (x0，fx0))处存在切线，且切线的斜率为f′(x0)．切线方程为 45. 46. 47. 48.需求规律为Q=100ep-2.25p ∴当P=10时价格上涨1％需求量减少2．5％需求规律为Q=100ep-2.25p, ∴当P=10时,价格上涨1％需求量减少2．5％ 49. 函数的定义域为 注意 50.解：原方程对应的齐次方程为y"-4y'+4y=0， 51. 52.由二重积分物理意义知 53. 54. 列表： 说明 55. 则 56. 57. 58. 由一阶线性微分方程通解公式有 59.由等价无穷小量的定义可知 60. 61. 62. 63.解：设所围图形面积为A，则 64. 65. 66. 67. 68. 69.所给曲线围成的平面图形如图1-3所示．  解法1 利用定积分求平面图形的面积． 由于的解为x=1，y=2，可得 解法2 利用二重积分求平面图形面积． 由于 的解为x=1，y=2，  求旋转体体积与解法1同． 本题考查的知识点有两个：利用定积分求平面图形的面积；用定积分求绕坐标轴旋转所得旋转体的体积． 本题也可以利用二重积分求平面图形的面积． 70. 71. 72.