2021-2022学年辽宁省阜新市普通高校对口单招高等数学一自考预测试题(含答案)

2021-2022学年辽宁省阜新市普通高校对口单招高等数学一自考预测试题(含答案) 学校:________ 班级:________ 姓名:________ 考号:________ 一、单选题(20题) 1.方程x2+2y2-z2=0表示的曲面是 A.A.椭球面 B.锥面 C.柱面 D.平面 2. 3.当x→0时，3x2+2x3是3x2的( )。 A.高阶无穷小 B.低阶无穷小 C.同阶无穷小但不是等价无穷小 D.等价无穷小 4.f(x)在[a，b]上可导是f(x)在[a，b]上可积的( )。 A.充要条件 B.充分条件 C.必要条件 D.无关条件 5. A.A. B.B. C.C. D.D. 6.  7.对于微分方程y"-2y'+y=xex，利用待定系数法求其特解y*时，下列特解设法正确的是（）。 A.y*=(Ax+B)ex B.y*=x(Ax+B)ex C.y*=Ax3ex D.y*=x2(Ax+B)ex 8.  A.3(x+y) B.3(x+y)2 C.6(x+y) D.6(x+y)2 9. 设函数f(x)=arcsinx，则f'(x)等于( )． A.-sinx B.cosx C. D. 10.（　　） A.A.1 B.2 C.1/2 D.-1 11. 12. 13.设D={(x，y){|x2+y2≤a2，a＞0,y≥0)，在极坐标下二重积分(x2+y2)dxdy可以表示为( ) A.∫0πdθ∫0ar2dr B.∫0πdθ∫0ar3dr C. D. 14.极限等于( )． A.A.e1/2 B.e C.e2 D.1 15.设函数f(x)在区间[0，1]上可导，且f(x)＞0，则( ) A.f(1)＞f(0) B.f(1)＜f(0) C.f(1)=f(0) D.f(1)与f(0)的值不能比较 16.（）。 A. B. C. D. 17.微分方程y'+y=0的通解为( )。 A.y=ex B.y=e-x C.y=Cex D.y=Ce-x 18.  19. 20.设( ) A.1 B.-1 C.0 D.2 二、填空题(20题) 21. 设z=x2+y2-xy，则dz=__________。 22.微分方程xy'=1的通解是_________。 23.设z=x3y2，则=________。 24. 25. 26. 27.幂级数的收敛半径为________。 28.  29. 设f(x)=e5x，则f(x)的n阶导数f(n)(x)=__________． 30. 31.  32. 设．y=e-3x，则y'________。 33. 34.  35.设f(0)=0，f'(0)存在，则 36.  37.  38. 39. 40. 三、计算题(20题) 41.证明： 42.设抛物线Y=1-x2与x轴的交点为A、B，在抛物线与x轴所围成的平面区域内，以线段AB为下底作内接等腰梯形ABCD(如图2—1所示)．设梯形上底CD长为2x，面积为 S(x)． (1)写出S(x)的表达式； (2)求S(x)的最大值． 43.研究级数的收敛性(即何时绝对收敛，何时条件收敛，何时发散，其中常数a>0． 44.求函数一的单调区间、极值及其曲线的凹凸区间和拐点． 45. 求函数f(x)=x3-3x+1的单调区间和极值． 46. 47. 将f(x)=e-2X展开为x的幂级数． 48.设平面薄板所占Oxy平面上的区域D为1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度 u(x，y)=2+y2，求该薄板的质量m． 49.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解． 50.当x一0时f(x)与sin 2x是等价无穷小量，则 51. 52. 求函数y=x-lnx的单调区间，并求该曲线在点(1，1)处的切线l的方程． 53. 54. 求微分方程的通解． 55. 求曲线在点(1，3)处的切线方程． 56.  57.  58.  59.已知某商品市场需求规律为Q=100e-0.25p，当p=10时，若价格上涨1％，需求量增(减)百分之几? 60. 四、解答题(10题) 61.计算 62. 63.  64.求由曲线y=3-x2与y=2x，y轴所围成的平面图形的面积及该封闭图形绕x轴旋转一周所成旋转体的体积． 65.  66.设y=xcosx，求y'． 67. 68.在曲线y=x2(x≥0)上某点A(a，a2)处作切线，使该切线与曲线及x轴所围成的图形的面积为1/12．试求： (1)切点A的坐标((a，a2)． (2)过切点A的切线方程． 69. 70.  五、高等数学(0题) 71.f(x)在[a，b]上连续是f(x)在[a，b]上有界的( )条件。 A.充分 B.必要 C.充要 D.非充分也非必要 六、解答题(0题) 72. 参考答案 1.B 2.D 3.D 本题考查的知识点为无穷小阶的比较。 由于，可知点x→0时3x2+2x3与3x2为等价无穷小，故应选D。 4.B∵可导一定连续，连续一定可积；反之不一定。∴可导是可积的充分条件 5.B 本题考查了已知积分函数求原函数的知识点 6.A 7.D 特征方程为r2-2r+1=0，特征根为r=1(二重根)，f(x)=xex，α=1为特征根，因此原方程特解y*=x2(Ax+B)ex，因此选D。 8.C  因此选C． 9.C解析：本题考查的知识点为基本导数公式． 可知应选C． 10.C 由于f'(2)=1，则 11.D 12.B 13.B 因为D：x2+y2≤a2，a＞0，y≥0，令则有r2≤a2，0≤r≤a，0≤θ≤π，所以(x2+y2)dxdy=∫0πdθ∫0ar2.rdr=∫0πdθ∫0ar3.rdr故选B。 14.C 本题考查的知识点为重要极限公式． 由于，可知应选C． 15.A由f"(x)＞0说明f(x)在[0，1]上是增函数，因为1＞0，所以f(1)＞f(0)。故选A。 16.A 17.D 可以将方程认作可分离变量方程；也可以将方程认作一阶线性微分方程；还可以仿二阶线性常系数齐次微分方程，并作为特例求解。 解法1 将方程认作可分离变量方程。 分离变量  两端分别积分  或 y=Ce-x 解法2 将方程认作一阶线性微分方程．由通解公式可得 解法3 认作二阶常系数线性齐次微分方程特例求解： 特征方程为r+1=0， 特征根为 r=-1， 方程通解为 y=Ce-x。 18.C 19.D 20.A 21.(2x-y)dx+(2y-x)dy 22.y=lnx+C 23.由z=x3y2，得=2x3y，故dz=3x2y2dx+2x3ydy，。 24. 25. 本题考查的知识点为连续性与极限的关系． 由于为初等函数，定义域为(-∞，0)，(0，+∞)，点x=2为其定义区间(0，+∞)内的点，从而知 26.x-arctanx+C ；本题考查的知识点为不定积分的运算． 27.因为级数为，所以用比值判别法有当＜1时收敛，即x2＜2。收敛区间为，故收敛半径R=。 28.-2y 29. 30. 31.[e+∞)(注：如果写成x≥e或(e+∞)或x＞e都可以)。[e,+∞)(注：如果写成x≥e或(e,+∞)或x＞e都可以)。 解析： 32.-3e-3x 33.4π 本题考查了二重积分的知识点。 34. 解析： 35.f'(0) 本题考查的知识点为导数的定义． 由于f(0)=0，f'(0)存在，因此 本题如果改为计算题，其得分率也会下降，因为有些考生常常出现利用洛必达法则求极限而导致运算错误： 因为题设中只给出f'(0)存在，并没有给出，f'(z)(x≠0)存在，也没有给出，f'(x)连续的条件，因此上述运算的两步都错误． 36.2 37. 解析： 38. 39.2 本题考查的知识点为二重积分的几何意义． 由二重积分的几何意义可知，所给二重积分的值等于长为1，宽为2的矩形的面积值，故为2．或由二重积分计算可知 40. 41. 42. 43. 44. 列表： 说明 45. 函数的定义域为 注意 46. 47. 48.由二重积分物理意义知 49.解：原方程对应的齐次方程为y"-4y'+4y=0， 50.由等价无穷小量的定义可知 51. 52. 53. 54. 55.曲线方程为，点(1，3)在曲线上． 因此所求曲线方程为或写为2x+y-5=0． 如果函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)存在，则表明曲线y=f(x)在点 (x0，fx0))处存在切线，且切线的斜率为f′(x0)．切线方程为 56. 由一阶线性微分方程通解公式有 57. 则 58. 59.需求规律为Q=100ep-2.25p ∴当P=10时价格上涨1％需求量减少2．5％需求规律为Q=100ep-2.25p, ∴当P=10时,价格上涨1％需求量减少2．5％ 60. 61. 本题考查的知识点为定积分的换元积分法． 62. 63. 64.所给曲线围成的平面图形如图1-3所示．  解法1 利用定积分求平面图形的面积． 由于的解为x=1，y=2，可得 解法2 利用二重积分求平面图形面积． 由于 的解为x=1，y=2，  求旋转体体积与解法1同． 本题考查的知识点有两个：利用定积分求平面图形的面积；用定积分求绕坐标轴旋转所得旋转体的体积． 本题也可以利用二重积分求平面图形的面积． 65. 66.y=xcosx，则 y'=cosx-xsinx． 67. 68.由于y=x2，则y'=2x，曲线y=x2上过点A(a，a2)的切线方程为y-a2=2a(x-a)，即y=2ax-a2，曲线y=x2， 其过点A(a，a2)的切线及x轴围成的平面图形的面积  由题设S=1/12，可得a=1， 因此A点的坐标为(1，1)． 过A点的切线方程为y-1=2(x-1)或y=2x-1． 解析：本题考查的知识点为定积分的几何意义和曲线的切线方程。 本题在利用定积分表示平面图形时，以y为积分变量，以简化运算，这是值得注意的技巧。 69.本题考查的知识点为导数的应用． 单调增加区间为(0，＋∞)； 单调减少区间为(－∞，0)； 极小值为5，极小值点为x＝0； 注上述表格填正确，则可得满分． 这个题目包含了利用导数判定函数的单调性；求函数的极值与极值点；求曲线的凹凸区间与拐点． 70. 71.A 定理：闭区间上的连续函数必有界；反之不一定。 72.