2021-2022学年江西省南昌市普通高校对口单招高等数学一自考真题(含答案及部分解析)

2021-2022学年江西省南昌市普通高校对口单招高等数学一自考真题(含答案及部分解析) 学校:________ 班级:________ 姓名:________ 考号:________ 一、单选题(20题) 1.设函数y=f(x)二阶可导，且f(x)<0，f(x)<0，又△y=f(x＋△x)-f(x)， dy=f(x)△x，则当△x>0时，有( ) A.△y>dy>0 B.△Ay>0 D.dy<△y<0 2. 3. A.-e2x-y B.e2x-y C.-2e2x-y D.2e2x-y 4. A.0 B.1/2 C.1 D.2 5.  6. A.A.1/2 B.1 C.2 D.e 7.下列命题不正确的是( )。 A.两个无穷大量之和仍为无穷大量 B.上万个无穷小量之和仍为无穷小量 C.两个无穷大量之积仍为无穷大量 D.两个有界变量之和仍为有界变量 8. 9.（　　） A.A.1/2 B.1 C.2 D.e 10.下列反常积分收敛的是（）。 A. B. C. D. 11. 12.微分方程y’-4y=0的特征根为（　　） A.0，4 B.-2，2 C.-2，4 D.2，4 13.  14. A.A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充分必要条件 D.既非充分条件也非必要条件 15.A. B.x2 C.2x D. 16.  A. B.1 C.2 D.＋∞ 17. 18.  19.设z=ysinx，则等于( )． A.A.-cosx B.-ycosx C.cosx D.ycosx 20. 二、填空题(20题) 21.  22.  23.如果函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，则在(a，b)内至少存在一点ξ，使得f(b)-f(a)=________。 24.  25.∫(x2-1)dx=________。 26. 设f(x)=e5x，则f(x)的n阶导数f(n)(x)=__________． 27.  28. 29.微分方程y''+6y'+13y=0的通解为______. 30.y=x3-27x+2在[1，2]上的最大值为______． 31. 32.设z=x3y2，则=________。 33. 34.  35.  36. 37.过点(1，-1，0)且与直线平行的直线方程为______。 38.  39. 40. 三、计算题(20题) 41. 求曲线在点(1，3)处的切线方程． 42.证明： 43.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解． 44.  45.  46.设抛物线Y=1-x2与x轴的交点为A、B，在抛物线与x轴所围成的平面区域内，以线段AB为下底作内接等腰梯形ABCD(如图2—1所示)．设梯形上底CD长为2x，面积为 S(x)． (1)写出S(x)的表达式； (2)求S(x)的最大值． 47. 48.  49. 50.求函数一的单调区间、极值及其曲线的凹凸区间和拐点． 51.已知某商品市场需求规律为Q=100e-0.25p，当p=10时，若价格上涨1％，需求量增(减)百分之几? 52. 求函数f(x)=x3-3x+1的单调区间和极值． 53. 求函数y=x-lnx的单调区间，并求该曲线在点(1，1)处的切线l的方程． 54. 求微分方程的通解． 55.设平面薄板所占Oxy平面上的区域D为1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度 u(x，y)=2+y2，求该薄板的质量m． 56. 57. 将f(x)=e-2X展开为x的幂级数． 58.当x一0时f(x)与sin 2x是等价无穷小量，则 59.研究级数的收敛性(即何时绝对收敛，何时条件收敛，何时发散，其中常数a>0． 60. 四、解答题(10题) 61.  62. 63.设x2为f(x)的原函数．求． 64. 计算∫xsinxdx。 65. 66.  67.计算 68.  69. (本题满分8分) 70. 五、高等数学(0题) 71.设某产品需求函数为 求p=6时的需求弹性，若价格上涨1％，总收入增加还是减少? 六、解答题(0题) 72.计算 参考答案 1.B 2.B 3.C 本题考查了二元函数的高阶偏导数的知识点。 4.D 本题考查了二元函数的偏导数的知识点。 5.C解析： 6.C 7.A∵f(x)→∞；g(x)→∞ ∴f(x)+g(x)是不定型，不一定是无穷大。 8.D 9.C 10.D 11.A 12.B 由r2-4=0，r1=2，r2=-2，知y"-4y=0的特征根为2，-2，故选B． 13.A 14.B 15.C 16.C 17.B 18.D解析： 19.C 本题考查的知识点为高阶偏导数． 由于z=ysinx，因此 可知应选C． 20.C 21. 22.0 23.f"(ξ)(b-a)由题目条件可知函数f(x)在[a，b]上满足拉格朗日中值定理的条件，因此必定存在一点ξ∈(a，b)，使f(b)-f(a)=f"(ξ)(b-a)。 24.2/32/3 解析： 25. 26. 27.eyey 解析： 28.本题考查的知识点为二重积分的直角坐标与极坐标转化问题。 29.y=e-3x(C1cos2x+C2sin2x) 微分方程y''+6y'+13y=0的特征方程为r2+6r+13=0，特征根为所以微分方程的通解为y=e-3x(C1cos2x+C2sin2x). 30.-24 本题考查的知识点为连续函数在闭区间上的最大值． 若f(x)在(a，b)内可导，在[a，b]上连续，常可以利用导数判定f(x)在[a，b]上的最值： (1)求出f'(x)． (2)求出f(x)在(a，b)内的驻点x1，…，xk． (3)比较f(x1)，f(x2)，…，f(xk)，f(a)，f(b)．其中最大(小)值为f(x)在[a，b]上的最大(小)值，相应的点x为f(x)的最大(小)值点． y=x3-27x+2, 则 y'=3x2-27=3(x-3)(x+3), 令y'=0得y的驻点x1=-3，x2=3，可知这两个驻点都不在(1，2)内． 由于f(1)=-24，f(2)=-44，可知y=x3-27x+2在[1，2]上的最大值为-24． 本题考生中出现的错误多为求出驻点x1=-3，x2=3之后，直接比较 f(-3)=56，f(3)=-52，f(1)=-24，f(2)=-44， 得出y=x3-27x+2在[1，2]上的最大值为f(-3)=56．其错误的原因是没有判定驻点x1=-3，x2=3是否在给定的区间(1，2)内，这是值得考生注意的问题．在模拟试题中两次出现这类问题，目的就是希望能引起考生的重视． 本题还可以采用下列解法：注意到y'=3(x-3)(x+3)，在区间[1，2]上有y'＜0，因此y为单调减少函数。可知 x=2为y的最小值点，最小值为 y|x=2=-44． x=1为y的最大值点，最大值为 y|x=1=-24． 31. 32.由z=x3y2，得=2x3y，故dz=3x2y2dx+2x3ydy，。 33.2x＋3y． 本题考查的知识点为偏导数的运算． 34.-sinx 35.π/4 36. 37.本题考查的知识点为直线的方程和直线与直线的关系。 由于两条直线平行的充分必要条件为它们的方向向量平行，因此可取所求直线的方向向量为(2，1，-1)．由直线的点向式方程可知所求直线方程为 38.y=f(0) 39.F(sinx)＋C． 本题考查的知识点为不定积分的换元法． 40. 本题考查的知识点为函数商的求导运算． 考生只需熟记导数运算的法则 41.曲线方程为，点(1，3)在曲线上． 因此所求曲线方程为或写为2x+y-5=0． 如果函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)存在，则表明曲线y=f(x)在点 (x0，fx0))处存在切线，且切线的斜率为f′(x0)．切线方程为 42. 43.解：原方程对应的齐次方程为y"-4y'+4y=0， 44. 则 45. 46. 47. 48. 由一阶线性微分方程通解公式有 49. 50. 列表： 说明 51.需求规律为Q=100ep-2.25p ∴当P=10时价格上涨1％需求量减少2．5％需求规律为Q=100ep-2.25p, ∴当P=10时,价格上涨1％需求量减少2．5％ 52. 函数的定义域为 注意 53. 54. 55.由二重积分物理意义知 56. 57. 58.由等价无穷小量的定义可知 59. 60. 61. 62.本题考查的知识点为：描述函数几何性态的综合问题。 极小值点为x=一1，极小值为 曲线的凹区间为(一2，+∞)； 曲线的凸区间为(一∞，一2)； 63.解法1 由于x2为f(x)的原函数，因此  解法2 由于x2为f(x)的原函数，因此  本题考查的知识点为定积分的计算． 64.∫xsinxdx=x(-cosx)-∫(-cosx)dx=-xcosx+sinx+C。 65. 66. 67. 本题考查的知识点为不定积分的运算． 需指出，由于不是标准公式的形式，可以利用凑微分法求解． 68. 69. 本题考查的知识点为函数求导． 由于y=xsinx，可得 70.本题考查的知识点为两个：极限的运算；极限值是个确定的数值． 71.需求函数为需求弹性为即若价格p上涨1％需求量Q减少0．33％；∵R=pQ∴总收入增加。需求函数为需求弹性为即若价格p上涨1％,需求量Q减少0．33％；∵R=pQ∴总收入增加。 72.