辽宁省沈阳市东旭高级中学高二数学理期末试题含解析

辽宁省沈阳市东旭高级中学高二数学理期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 下列命题错误的是(     ) A．命题“若x2+y2=0，则x=y=0”的逆否命题为“若x，y中至少有一个不为0，则x2+y2≠0” B．若命题，则￢p：?x∈R，x2﹣x+1＞0 C．△ABC中，sinA＞sinB是A＞B的充要条件 D．若向量，满足?＜0，则与的夹角为钝角 参考答案： D 考点：命题的真假判断与应用． 专题：综合题． 分析：A．我们知道：命题“若p，则q”的逆否命题是“若￢q，则￢p”，同时注意“x=y=0”的否定是“x，y中至少有一个不为0”，据此可以判断出A的真假． B．依据“命题：?x0∈R，结论p成立”，则￢p为：“?x∈R，结论p的反面成立”，可以判断出B的真假． C．由于，因此在△ABC中，sinA＞sinB?＞0?A＞B．由此可以判断出C是否正确． D．由向量，可得的夹角，可以判断出D是否正确． 解答：解：A．依据命题“若p，则q”的逆否命题是“若￢q，则￢p”，可知：命题“若x2+y2=0，则x=y=0”的逆否命题为“若x，y中至少有一个不为0，则x2+y2≠0”．可判断出A正确． B．依据命题的否定法则：“命题：?x0∈R，﹣x0+1≤0”的否定应是“?x∈R，x2﹣x+1＞0”，故B是真命题． C．由于，在△ABC中，∵0＜A+B＜π，∴0，∴， 又0＜B＜A＜π，∴0＜A﹣B＜π，∴，∴． 据以上可知：在△ABC中，sinA＞sinB?＞0?A＞B．故在△ABC中，sinA＞sinB是A＞B的充要条件． 因此C正确． D．由向量，∴，∴的夹角， ∴向量与的夹角不一定是钝角，亦可以为平角π，∴可以判断出D是错误的． 故答案是D． 点评：本题综合考查了四种命题之间的关系、命题的否定、三角形中的角大小与其相应的正弦值之间的大小关系、向量的夹角，解决问题的关键是熟练掌握其有关基础知识． 2. 如图，在圆O中，若弦AB＝3，弦AC＝5，则·的值（   ） A． －8          B． －1           C． 1             D． 8 参考答案： D 3. 等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1，a3，a4成等比数列，则的值为（　　） A．1或2 B． C．2 D．或2 参考答案： D 考点：等差数列的前n项和．  专题：等差数列与等比数列． 分析：设等差数列{an}的公差为d，由a1，a3，a4成等比数列，可得，即，化为a1=﹣4d≠0，或d=0．代入即可得出． 解答：解：设等差数列{an}的公差为d， ∵a1，a3，a4成等比数列， ∴， 即， 化为a1=﹣4d≠0，或d=0． 则====2， 或===． 故选：D． 点评：本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 4. 给出下列命题：①a>bac2>bc2；②a>|b|a2>b2；③a>ba3>b3；④|a|>ba2>b2.其中正确的命题是(　　) A．①②　　    B．②③           C．③④      D．①④ 参考答案： B 5. 点P在曲线上移动，设点P处切线的倾斜角为，则的取值范围是（    ）   参考答案： B 略 6. 在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]， 即  [k]={5n+k丨n∈Z}，k=0,1,2,3,4。    给出如下四个结论： ① 2013∈[3]    ②－3∈[2]；   ③  Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4] ④“整数a，b属于同一“类”的充要条件是“a-b∈[0]”。其中正确结论的个数是(    ) A．1       B．2         C．3          D．4 参考答案： D 7. 已知函数f（x）=，则方程f（x）=ax恰有两个不同实数根时，实数a的取值范围是（　　）（注：e为自然对数的底数） A．（0，） B．[，] C．（0，） D．[，e] 参考答案： B 【考点】分段函数的应用． 【专题】函数的性质及应用． 【分析】由题意，方程f（x）=ax恰有两个不同实数根，等价于y=f（x）与y=ax有2个交点，又a表示直线y=ax的斜率，求出a的取值范围． 【解答】解：∵方程f（x）=ax恰有两个不同实数根， ∴y=f（x）与y=ax有2个交点， 又∵a表示直线y=ax的斜率， ∴y′=， 设切点为（x0，y0），k=， ∴切线方程为y﹣y0=（x﹣x0）， 而切线过原点，∴y0=1，x0=e，k=， ∴直线l1的斜率为， 又∵直线l2与y=x+1平行， ∴直线l2的斜率为， ∴实数a的取值范围是[，）． 故选：B． 【点评】本题考查了函数的图象与性质的应用问题，解题时应结合图象，以及函数与方程的关系，进行解答，是易错题． 8. 若点在椭圆上，F1，F2分别是该椭圆的两焦点，且，则的面积是（    ） A.   1       B.   2        C.      D. 参考答案： A 9. 执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的值为 (  ) A．           B．      C．           D． 参考答案： A 略 10. 已知双曲线的两个焦点为F1（﹣，0）、F2（，0），M是此双曲线上的一点，且满足?=2，||?||=0，则该双曲线的方程是(     ) A．﹣y2=1 B．x2﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1 参考答案： A 【考点】平面向量数量积的运算． 【专题】计算题；转化思想；向量法；平面向量及应用． 【分析】由?=0，可得MF1⊥MF2进一步求出=36，由此得到a=3，则该双曲线的方程可求． 【解答】解：∵?=0， ∴即MF1⊥MF2， ∴． 则=40﹣2×2=36． ∴|MF1|﹣|MF2|=6=2a．即a=3． ∵c=，∴b2=c2﹣a2=1． 则该双曲线的方程是：． 故选：A． 【点评】本题考查了平面向量数量积的运算，考查了双曲线的性质和应用，解题时要注意向量的合理运用，是中档题． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 点是曲线上任意一点，则点到直线的最小距离为　　　　.　 参考答案： 12. 对于回归方程，当时，的估计值为。 参考答案： 390 略 13. 若直线ax－by＋1=0（a>0，b>0）经过圆的圆心，则的最小值为____________. 参考答案： 3+ 略 14. 函数f(x)=log(x-x2)的单调递增区间是  ________ 参考答案： [0.5,1) 略 15.  如图，侧棱长为的正三棱锥V-ABC中，∠AVB=∠BVC=∠CVA=400  ，  过A作截面AEF，则截面△AEF周长的最小值为            参考答案： 6 16. 不等式的解集为                参考答案： 17. 根据以上事实，由归纳推理可得：当且时，= 。 参考答案：   三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知函数的定义域为，且同时满足下列条件： （1）是奇函数；   （2）在定义域上单调递减； （3）  求的取值范围。 参考答案： 解：，则, 19. 已知已知集合, 又,求的值。 参考答案： 略 20. 已知直线，且直线与都相交，求证：直线共面。 参考答案： 证明：，不妨设共面于平面，设         ，即，所以三线共面 21. 已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率等于 ，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）点，， ，在椭圆上，、是椭圆上位于直线两侧的动点． ①若直线的斜率为，求四边形面积的最大值； ②当、运动时，满足于，试问直线的斜率是否为定值？若是，请求出定值，若不是，请说明理由． 参考答案： 解：(1）设椭圆的方程为，则．由，得 ∴椭圆C的方程为．      （2）①解：设，直线的方程为， 代入， 得 由，解得        由韦达定理得． 四边形的面积∴当，．       ②解：当，则、的斜率之和为0，设直线的斜率为 则的斜率为，的直线方程为  由 略 22. 已知，且（1－2x）n＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋……＋anxn． （Ⅰ）求n的值； （Ⅱ）求a1＋a2＋a3＋……＋an的值。 参考答案： 解：（Ⅰ）由得： n（n－1）（n－2）（n－3）（n－4）＝56 · 即（n－5）（n－6）＝90 解之得：n＝15或n＝－4（舍去）． ∴ n＝15． （Ⅱ）当n＝15时，由已知有： （1－2x）15＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋……＋a15x15， 令x＝1得：a0＋a1＋a2＋a3＋……＋a15＝－1， 令x＝0得：a0＝1， ∴a1＋a2＋a3＋……＋a15＝－2．   略