河北省承德市虎什哈中学高二数学理联考试题含解析

河北省承德市虎什哈中学高二数学理联考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 若集合，则满足的集合B的个数是（    ） A. 1                 B. 2                C. 7             D. 8 参考答案： D 2. 函数y＝(x＋1)2(x－1)在x＝1处的导数等于(　　) A．1                                        B．2  C．3                                        D．4 参考答案： D 略 3. 在下图中，直到型循环结构为（                                                      ） 参考答案： A 4. 圆截直线所得的弦长为，则的值是(    ) A.        B．或      C． 或      D． 参考答案： B 略 5. 椭圆的左、右焦点分别为，弦过，若的内切圆周长为，两点的坐标分别为和，则的值为（    ） A.          B.            C.            D. 参考答案： D 6. 设a为常数，函数，给出以下结论： （1）若，则存在唯一零点 （2）若，则 （3）若f(x)有两个极值点，则 其中正确结论的个数是（   ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 参考答案： A 【分析】 （1）先根据函数存在零点，得到方程有实根，再令，将问题转为函数图像与直线有交点即可，用导数的方法研究函数单调性和最值，即可得出结论成立； （2）根据（1）的结果，可判断当时，在上恒成立，从而可得在上恒成立，即可得出结论成立； （3）先对函数求导，根据题意得到，再将函数有两极值点，转化为方程有两不等式实根来处理，用导数的方法研究其单调性，和值域，进而可得出结论成立. 【详解】（1）若函数存在零点，只需方程有实根，即方程有实根，令，则只需函数图像与直线有交点即可. 又，由可得；由可得； 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 故， 因此，当时，直线与图像仅有一个交点，即原函数只有一个零点，所以（1）正确； （2）由（1）可知，当时，在上恒成立， 即在上恒成立，即在上恒成立；故（2）正确； （3）因为，所以， 若有两个极值点，则，所以， 又由有两个极值点，可得方程有两不等实根，即方程有两不等式实根，令，则， 由得；由得； 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，又当时，；当时，； 所以方程有两不等式实根，只需直线与函数的图像有两不同交点，故；所以，即（3）正确. 故选A 【点睛】本题主要考查导数的应用，通常需要对函数求导，用导数的方法研究函数单调性、最值等，属于常考题型. 7. 下列三个数：，，，大小顺序正确的是（   ） A. B. C. D. 参考答案： A 【分析】 将与化成相同的真数，然后利用换底公式与对数函数的单调性比较的大小，然后再利用中间量比较的大小，从而得出三者的大小． 【详解】解：因为， 且， 所以， 因为， 所以． 故选：A． 【点睛】本题考查三个数的大小的判断，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 8. 若定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）=f（x），且当x∈[0，1]时，f（x）=x，则函数y=f（x）﹣log3|x|的零点个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 参考答案： C 【考点】函数奇偶性的性质；函数零点的判定定理；根的存在性及根的个数判断． 【分析】在同一个坐标系中画出函数y=f（x）的图象与函数y=log3|x|的图象，这两个函数图象的交点个数即为所求． 【解答】解：∵偶函数f（x）满足f（x+2）=f（x），故函数的周期为2． 当x∈[0，1]时，f（x）=x，故当x∈[﹣1，0]时，f（x）=﹣x． 函数y=f（x）﹣log3|x|的零点的个数等于函数y=f（x）的图象与函数y=log3|x|的图象的交点个数． 在同一个坐标系中画出函数y=f（x）的图象与函数y=log3|x|的图象，如图所示： 显然函数y=f（x）的图象与函数y=log3|x|的图象有4个交点， 故选：C 　 9. 在△ABC中，∠A＝30°，则△ABC的面积等于 (   ) A. B. C. D. 参考答案： B 10. 复数z＝在复平面上对应的点位于(　　)  A．第一象限　　B.第二象限     C.第三象限　　　D.第四象限 参考答案： A 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 某学校2015届高三有1800名学生，2014-2015学年高二有1500名学生，2014-2015学年高一有1200名学生，现采用分层抽样的方法抽取一个容量为150的样本，则应在2014-2015学年高一抽取      人． 参考答案： 40 考点：分层抽样方法． 专题：概率与统计． 分析：根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论． 解答： 解：由分层抽样的定义得在2014-2015学年高一抽取×=40人， 故答案为：40 点评：本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键．比较基础． 12. 设过点的直线分别与轴的正半轴和轴的正半轴交于A、B两点，点Q于点P关于y轴对称，O为原点，若P为AB的中点，且，则点P的轨迹方程为__________． 参考答案： 解：由为中点可得，，则， 而点坐标为，则，，且，， 则轨迹方程为． 13. 点是曲线上的点，则的最大值和最小值的差是_____． 参考答案： 8 【分析】 先将曲线方程化简整理，得到其参数方程，表示出点坐标，根据三角函数的性质，即可求出结果. 【详解】由可得， 所以该曲线的参数方程为，（其中为参数） 因为为该曲线上一点，所以， 因此， 因为，所以，， 因此，. 故答案为8 【点睛】本题主要考查曲线的参数方程的应用，以及三角函数的性质，熟记椭圆的参数方程以及正弦函数的性质即可，属于常考题型. 14. 已知幂函数的图像经过点，则的值为__________. 参考答案： 2 略 15. 设过曲线f（x）=﹣ex﹣x（e为自然对数的底数）上任意一点处的切线为l1，总存在过曲线g（x）=ax+2cosx上一点处的切线l2，使得l1⊥l2，则实数a的取值范围为　　． 参考答案： [﹣1，2] 【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程． 【分析】求出函数f（x）=﹣ex﹣x的导函数，进一步求得∈（0，1），再求出g（x）的导函数的范围，然后把过曲线f（x）=﹣ex﹣x上任意一点的切线为l1，总存在过曲线g（x）=ax+2cosx上一点处的切线l2，使得l1⊥l2转化为集合间的关系求解． 【解答】解：由f（x）=﹣ex﹣x，得f′（x）=﹣ex﹣1， ∵ex+1＞1，且k1k2=﹣1， ∴∈（0，1）， 由g（x）=ax+2cosx，得g′（x）=a﹣2sinx， 又﹣2sinx∈[﹣2，2]， ∴a﹣2sinx∈[﹣2+a，2+a]， 要使过曲线f（x）=﹣ex﹣x上任意一点的切线为l1， 总存在过曲线g（x）=ax+2cosx上一点处的切线l2，使得l1⊥l2， 则，解得﹣1≤a≤2． 即a的取值范围为﹣1≤a≤2． 故答案为：[﹣1，2]． 16. 设，，且，则      . 参考答案： 9 17. 过点P(2,3)且在两轴上的截距相等的直线方程是_________________. 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本题满分16分）已知直线： （1）求证：不论实数取何值，直线总经过一定点. （2）为使直线不经过第二象限，求实数的取值范围. （3）若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程. 参考答案： 解：（1）直线方程整理得：所以直线恒过定点 （2）当a=2时，直线垂直x轴。当时由（1）画图知：斜率得 综上：   (3)由题知则令y=0则,令x=0则.所以 所以当时三角形面积最小，： 19. 已知函数f(x)＝x3＋bx2＋ax＋d的图象过点P（0，2），且在点M（－1，f（－1））处的切线方程为6x-y+7=0. （Ⅰ）求函数y=f(x)的解析式； （Ⅱ）求函数y=f(x)的单调区间. 参考答案： 略 20. 求下列两点间的距离: (1)  A(1 , 1 , 0) , B(1 , 1 , 1); (2)  C(-3 ,1 , 5) , D(0 , -2 , 3). 参考答案： 解析: (1)|AB|=  (2)|CD|==   21. 如图，已知在多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AC=AD=CD=DE=2AB，F为CE的中点． （1）求直线AF与平面ACD所成的角； （2）求证：平面BCE⊥平面DCE．   参考答案： （1）取的中点，连接 ∵为的中点，∴∥且…………………1分 ∵⊥平面，∴平面…………………2分 ∴就是直线与平面所成的角…………………3分      令，∵    ∴在直角中，…………………5分    ∴…………………6分 （2）设，∵⊥平面，∴在直角中，    在直角梯形中，    ∴ 连接 ∵为的中点 ∴ 且 ∵ ∴ 且    ∴是二面角的平面角…………………9分 连接，∵⊥平面 ∴在直角中，      在中，∵，∴是斜边为的直角三角形      ∴，…………………11分 ∴平面平面…………………12分 22. 已知函数y=（sinx+cosx）2 （1）求它的最小正周期和最大值； （2）求它的递增区间． 参考答案： 【考点】二倍角的正弦；复合三角函数的单调性． 【分析】（1）由条件利用二倍角的正弦公式可得y=1+sin2x，再根据正弦函数的周期性性和最大值得出结论． （2）由条件根据正弦函数的单调性求得f（x）的递增区间． 【解答】解：（1）∵y=（sinx+cosx）2=sin2x+cos2x+2sinxcosx=1+sin2x，∴函数的最小正周期为，y最大值=1+1=2． （2）由，k∈z，可得要求的递增区间是，k∈z．