河北省承德市隆化县中关镇中关中学2022-2023学年高二数学理下学期期末试卷含解析

河北省承德市隆化县中关镇中关中学2022-2023学年高二数学理下学期期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 数列﹣1，3，﹣5，7，﹣9，…的一个通项公式为（　　） A．an=2n﹣1 B．an=（﹣1）n（1﹣2n） C．an=（﹣1）n（2n﹣1） D．an（﹣1）n+1（2n﹣1） 参考答案： C 【考点】数列的概念及简单表示法． 【分析】其符号与绝对值分别考虑即可得出． 【解答】解：数列﹣1，3，﹣5，7，﹣9，…的一个通项公式为． 故选：C． 2. 已知抛物线：的焦点为，以为圆心的圆交于，交的准线于，若四边形是矩形，则圆的方程为 A.          B.     C.          D. 参考答案： B 略 3. 两个正数1、9的等差中项是，等比中项是，则曲线的离心率为（    ）     A．   B．  C．      D．与 参考答案： D  4. 已知等差数列{an}的公差为d（d≠0），且a3+a6+a10+a13=32，若am=8，则m是(     ) A．8 B．6 C．4 D．2 参考答案： A 【考点】等差数列的性质． 【专题】计算题． 【分析】根据等差中项的性质可知a3+a6+a10+a13=4a8求得a8，进而可知a8=am求得m的值． 【解答】解：a3+a6+a10+a13=4a8=32 ∴a8=8 ∵am=8 ∴m=8 故选A 【点评】本题主要考查了等差中项的性质．属基础题． 5. 已知函数f（x）=ln（ax﹣1）的导函数是f'（x），且f'（2）=2，则实数a的值为（　　） A． B． C． D．1 参考答案： B 【考点】导数的运算． 【分析】利用导数的运算法则即可得出． 【解答】解：由f（x）=ln（ax﹣1）可得， 由f'（2）=2，可得，解之得． 故选：B． 【点评】本题考查了导数的运算法则、函数求值、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 6. 已知集合A＝{(x，y)|x，y为实数，且x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|x，y为实数，且x＋y＝1}，则A∩B的元素个数为(　　) A．4　　　　　　　　  B．3 C．2                   D．1 参考答案： C 7. 数列中，，，则的值是 A．52         B. 51        C.50       D. 49 参考答案： A 8. 已知集合，则集合A∩B的真子集的个数是（   ） A. 3 B. 4 C. 7 D. 8 参考答案： A 【分析】 根据题意由A的意义，再结合交集的定义可得集合A∩B，分析可得答案． 【详解】由题意知，A为奇数集， 又由集合， 则A∩B＝{1，3}，共2个元素， 其子集有22＝4个，所以真子集有3个； 故选A． 【点睛】本题考查集合的子集与真子集，关键是正确理解集合A，求出集合A∩B． 9. 如右图是函数的导函数的图像，下列说法错误的是（    ） A. 是函数的极小值点 B .1是函数的极值点 C .在处切线的斜率大于零 D .在区间上单调递增 参考答案： B 略 10. 如图是一个正方体的平面展开图，则在正方体中，与的位置关系为 (   ) A．相交           B．平行    C．异面而且垂直                 D．异面但不垂直 参考答案： D 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. ，若在R上可导，则＝          ， 参考答案： 略 12. 如图是从甲、乙两个班级各随机选出9名同学进行测验成绩的茎叶图，从图中看，平均成绩较高的是    ▲    班． 参考答案： 略 13. 从{1，2，3，4，5}中随机选取一个数为a，从{1，2，3}中随机选取一个数为b，则使得b≠a的不同取法共有　　　　　　种． 参考答案： 12 考点：计数原理的应用． 专题：计算题． 分析：当a=1、2、3时，b的取法分别有2种，故此时有3×2=6种方法．当a=4或5时，b的取法分别有3种，故此时有2×3=6种．再把求得的这2个数相加，即得所求． 解答：解：当a=1、2、3时，b的取法分别有2种，故此时使得b≠a的不同取法共有3×2=6种． 当a=4或5时，b的取法分别有3种，故此时使得b≠a的不同取法共有2×3=6种． 综上可得，使得b≠a的不同取法共有6+6=12种， 故答案为 12． 点评：本题主要考查两个基本原理的应用，属于中档题． 14. 若x（1﹣mx）4=a+a，其中a2=﹣8，则a1+a2+a3+a4+a5=　　． 参考答案： 1 考点： 二项式系数的性质．  专题： 二项式定理． 分析： 由a2=﹣8列式求得m值，代入x（1﹣mx）4=a+a，取x=1得答案． 解答： 解：由题意得：，得m=2． ∴x（1﹣2x）4=a+a， 令x=1，则a1+a2+a3+a4+a5=1． 故答案为：1． 点评： 本题考查二项式系数的性质，训练了特值法求二项展开式的系数问题，是基础题． 15. 在等腰直角三角形ABC中，在斜线段AB上任取一点M，则AM的长小于AC的长的概率是_______________________。 参考答案： 16. 若过点的直线与曲线有公共点，则直线的斜率的取值范围为________． 参考答案： 17. 已知函数,，对于，定义，则函数的值域为     ． 参考答案：   三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知椭圆的焦距为4,且过点. (Ⅰ)求椭圆C的方程; (Ⅱ)设为椭圆上一点,过点作轴的垂线,垂足为.取点,连接,过点作的垂线交轴于点.点是点关于轴的对称点,作直线,问这样作出的直线是否与椭圆C一定有唯一的公共点?并说明理由。 参考答案： 解: (1)因为椭圆过点   且          椭圆C的方程是   (2) 由题意,各点的坐标如上图所示,           则的直线方程:                     化简得  又, 所以带入 得                                     求得最后 所以直线与椭圆只有一个公共点.            略 19. 如图，正方形ACDE与等腰直角△ACB所在的平面互相垂直，且AC=BC=2，∠ACB=90°，F、G分别是线段AE、BC的中点，求 （1）求三棱锥C﹣EFG的体积； （2）AD与GF所成角的余弦值． 参考答案： 【考点】用空间向量求直线间的夹角、距离；棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线及其所成的角． 【专题】数形结合；数形结合法；空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用． 【分析】（1）由平面ABC⊥平面ACDE可得BC⊥平面ACDE，把△CEF当做棱锥的底，则棱锥的高为CG，代入体积公式计算即可． （2）建立空间直角坐标系，求出，的坐标，使用向量的夹角公式求出夹角． 【解答】解：（1）∵平面ABC⊥平面ACDE，平面ABC∩平面ACDE=AC，BC⊥AC，BC?平面ABC， ∴BC⊥平面ACDE， ∵F、G分别是线段AE、BC的中点，∴CG=BC=1，EF=AE=1， ∴S△CEF=EF?AC=1，∴V棱锥C﹣EFG=V棱锥G﹣CEF=S△CEF?CG=． （2）以CA为x轴，CB为y轴，CD为z轴建立空间直角坐标系，则A（2，0，0），D（0，0，2），G（0，1，0），F（2，0，1）． ∴=（﹣2，0，2），=（2，﹣1，1），∴||=2，||=，?=﹣2． ∴cos＜，＞==﹣． ∴AD与GF所成角的余弦值为﹣． 【点评】本题考查了空间角的计算和棱锥的体积计算，对于空间角的问题常采用向量法解决，属于中档题． 20. (本小题满分12分) (1)当a为何值时，直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2平行？ (2)当a为何值时，直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3垂直？ 参考答案： (1)直线l1的斜率k1＝－1， 直线l2的斜率k2＝a2－2， 因为l1∥l2，所以a2－2＝－1且2a≠2， 解得：a＝－1.所以当a＝－1时，直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2平行． (2)直线l1的斜率k1＝2a－1， 直线l2的斜率k2＝4， 因为l1⊥l2，所以k1k2＝－1，即4(2a－1)＝－1， 解得a＝.所以当a＝时，直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3垂直． 21. （本题满分12分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若，且，求△ABC的面积S. 参考答案： 由已知得b2+c2=a2+bc…………………2′ ……………………………………4′ …………………………………6′ 由……………10′ ……………………………12′ 22. 在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为3ρ2cos2θ+4ρ2sin2θ=12． （Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程； （Ⅱ）已知直线l与曲线C交于A，B两点，试求|AB|． 参考答案： 【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程． 【分析】（Ⅰ）直接由曲线C的极坐标方程求出曲线C的直角坐标方程即可； （Ⅱ）把直线l的参数方程代入曲线C的方程得5t2+4t﹣12=0，求出t1+t2和t1t2的值，由此能求出|AB|． 【解答】解：（Ⅰ）∵曲线C的极坐标方程为3ρ2cos2θ+4ρ2sin2θ=12， ∴曲线C的直角坐标方程为3x2+4y2=12，化简得； （Ⅱ）把直线l的参数方程代入曲线C的方程，化简整理得5t2+4t﹣12=0， ∴，， ∴|AB|=|t1﹣t2|=．