安徽省六安市田家炳实验中学高二数学理联考试卷含解析

安徽省六安市田家炳实验中学高二数学理联考试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 在三棱锥P﹣ABC中，D为底面ABC的边AB上一点，M为底面ABC内一点，且满足，，则三棱锥P﹣AMD与三棱锥P﹣ABC的体积比为（　　） A． B． C． D． 参考答案： D 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积． 【分析】由题意画出图形，结合向量等式可得AD=，DM=，且∠ABC=∠ADM，进一步得到△ADM与△ABC面积的关系得答案． 【解答】解：如图， 设三棱锥P﹣ABC的底面三角形ABC的面积为S，高为h， ∵，， ∴AD=，DM=，且∠ABC=∠ADM， ∴=． ∴=． 故选：D． 【点评】本题考查棱柱、棱锥、棱台体积的求法，考查平面向量在求解立体几何问题中的应用，是中档题． 2. 从1，2，3，4，5这5个数中任取两数，其中：①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；②至少有一个是奇数和两个都是奇数；③至少有一个是奇数和两个都是偶数；④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数．  上述事件中，是对立事件的是（　　） A．① B．②④ C．③ D．①③ 参考答案： C 【考点】互斥事件与对立事件． 【专题】计算题；概率与统计． 【分析】分析四组事件，①中表示的是同一个事件，②前者包含后者，④中两个事件都含有同一个事件，只有第三所包含的事件是对立事件． 【解答】解：∵在①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数中，这两个事件是同一个事件， 在②至少有一个是奇数和两个都是奇数中，至少有一个是奇数包括两个都是奇数， 在③至少有一个是奇数和两个都是偶数中，至少有一个是奇数包括有一个奇数和有两个奇数，同两个都是偶数是对立事件， 在④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数中，都包含一奇数和一个偶数的结果， ∴只有第三所包含的事件是对立事件 故选：C 【点评】分清互斥事件和对立事件之间的关系，互斥事件是不可能同时发生的事件，对立事件是指一个不发生，另一个一定发生的事件． 3. 将两个数交换,使,则下面语句正确的一组是(    ). a=b b=a c=b b=a a=c b=a a=b a=c c=b b=a A B C D           参考答案： B 4. 设在处可导，则等于（  ） A. B. C. D. 参考答案： C 【分析】 利用导数的定义即可得出． 【详解】在处可导    本题正确选项： 【点睛】本题考查了导数的定义，属于基础题． 5. 定义在R上的函数f（x）对任意x1、x2（x1≠x2）都有＜0，且函数y=f（x﹣1）的图象关于（1，0）成中心对称，若s，t满足不等式f（s2﹣2s）≤﹣f（2t﹣t2），则当1≤s≤4时，的取值范围是（　　） A．[﹣3，﹣） B．[﹣3，﹣] C．[﹣5，﹣） D．[﹣5，﹣] 参考答案： D 【考点】函数单调性的性质． 【分析】根据已知条件便可得到f（x）在R上是减函数，且是奇函数，所以由不等式f（s2﹣2s）≤﹣f（2t﹣t2）便得到，s2﹣2s≥t2﹣2t，将其整理成（s﹣t）（s+t﹣2）≥0，画出不等式组所表示的平面区域．设，所以得到t=，通过图形求关于s的一次函数的斜率范围即可得到z的范围，从而求出的取值范围． 【解答】解：由已知条件知f（x）在R上单调递减，且关于原点对称； ∴由f（s2﹣2s）≤﹣f（2t﹣t2）得： s2﹣2s≥t2﹣2t； ∴（s﹣t）（s+t﹣2）≥0； 以s为横坐标，t为纵坐标建立平面直角坐标系； 不等式组所表示的平面区域，如图所示： 即△ABC及其内部，C（4，﹣2）； 设，整理成：； ； ∴，解得：； ∴的取值范围是[]． 故选：D． 【点评】考查减函数的定义，图象的平移，奇函数的定义，以及二元一次不等式组表示平面区域，线性规划的概念，及其应用，过原点的一次函数的斜率的求解． 6. 下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y=±x的是（　　） A．x2﹣=1 B．﹣y2=1 C．﹣x2=1 D．y2﹣=1 参考答案： D 【考点】双曲线的标准方程． 【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】求得焦点的位置，渐近线方程，即可得出结论． 【解答】解：由题意，A，B焦点在x轴上，C，D焦点在y轴上，D渐近线方程为y=±x． 故选：D． 【点评】本题考查双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，是基本知识的考查． 7. 设全集，，则                  （    ） A．         B．          C．          D． 参考答案： A 8. 方程表示一个圆，则实数的取值范围是（      ）    （A）     （B）     （C）      （D）或 参考答案： D 9. 已知定义域为R的偶函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，且，则不等式f(log4x)>0的解集为(　　) A．{x|x>2}    B.    C.    D. 参考答案： C 略 10. 若l为一条直线，α、β、γ为三个互不重合的平面，给出下面三个命题：①α⊥γ，β⊥γ?α⊥β；②α⊥γ，β∥γ?α⊥β；③l∥α，l⊥β?α⊥β.其中正确的命题有 (　　) A．0个　　　　　　B．1个       C．2个              D．3个 参考答案： C 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知a为实数，若复数是纯虚数，则a=__________． 参考答案： -3 【分析】 利用复数的除法、乘法运算整理可得：，利用复数是纯虚数列方程可得：，问题得解。 【详解】 若复数是纯虚数，则 解得： 故填：－3 【点睛】本题主要考查了复数的乘法、除法运算，还考查了纯虚数的概念及方程思想，属于基础题。 12.  一个长方体的各顶点均在同一个球的球面上，且过同一个顶点的 三条棱的长分别为1，2，3，则此球的表面积是        ； 参考答案： 14π 13. 在红、黄、蓝、白四种颜色中任选几种给 “田”字形的4个小方格涂色，要求每格涂一种颜色，相邻（有公共边）两格必须涂不同的颜色。则满足条件所有涂色方案中，其中恰好四格颜色均不同的概率是     （用数字作答）； 参考答案： 略 14. 设函数是定义在R上的偶函数，且对任意的恒有，已知当时，，则其中所有正确命题的序号是--------____________。  ① 2是函数的周期； ② 函数在上是减函数，在上是增函数；  ③ 函数的最大值是1，最小值是0； ④ 当时，。 参考答案： ①②④ 15. 如图，在△中，是边上的点，且，则的值为___________。 参考答案：   16. 函数f（x）=ax3+x恰有三个单调区间，则a的取值范围是　　． 参考答案： （﹣∞，0） 【考点】利用导数研究函数的单调性． 【分析】求出函数f（x）的导数，要使f（x）=ax3+x恰有三个单调区间，则f'（x）=0，有两个不等的实根，利用判别式△＞0，进行求解即可． 【解答】解：∵f（x）=ax3+x， ∴f′（x）=3ax2+1， 若a≥0，f′（x）≥0恒成立，此时f（x）在（﹣∞，+∞）上为增函数，函数只有一个增区间，不满足条件． 若a＜0，由f′（x）＞0，得， 由f′（x）＜0，得x，或x ∴满足f（x）=ax3+x恰有三个单调区间的a的范围是（﹣∞，0）； 故答案为：（﹣∞，0）； 17. 已知抛物线的焦点为F，经过F的直线与抛物线在第一象限的交点为A,与准线l交于点B、A在B的上方,且AK⊥l于K，若△KFB是等腰三角形,腰长为2,则p=__。 参考答案： 1 如下图，因为是等腰三角形，腰长为2，所以必有，简单可证也为等腰三角形且，由抛物线的定义可得，又因为，所以，即   三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分12分） 已知命题：方程有两个不等的负实根；：方程无实根．若“或”为真，“且”为假，求实数的取值范围． 参考答案： 当P为真时，有   （3分）   当Q为真时，有       （5分）       由题意:“P或Q”真，“P且Q”为假 等价于                          （1）P真Q假：   （8分） （2）Q真P假：      （11分）                  综合（1）（2）故的取值范围是（12分） 19. 如图，四边形ABCD为正方形，E、F分别为AD、BC的中点，以DF为折痕把折起，使点C到达点P的位置，且. (Ⅰ)证明:面PED⊥面BFP； (Ⅱ)求二面角D-PF-B的大小. 参考答案： ……6分             ……..9分 20. 已知集合A={x|x2﹣2x﹣15＞0}，B={x|x﹣6＜0}．命题p：“m∈A”；命题q：“m∈B”． （1）若命题p为真命题，求实数m的取值范围； （2）若命题“p∨q”和“p∧q”中恰有一个真命题，求实数m的取值范围． 参考答案： 【考点】命题的真假判断与应用． 【分析】（1）若命题p为真命题，则m2﹣2m﹣15＞0，解得答案； （2）若命题“p∨q”和“p∧q”中恰有一个真命题，m∈A∪B且m?A∩B．进而得到答案． 【解答】解：（1）由x2﹣2x﹣15＞0?x＜﹣3或x＞5… 由命题m∈A为真命题，得m＜﹣3或m＞5． 故实数m的取值范围是（﹣∞，﹣3）∪（5，+∞）．… （2）由A=（﹣∞，﹣3）∪（5，+∞）， B=（﹣∞，6）， 则A∩B=（﹣∞，﹣3）∪（5，6），A∪B=R． 由命题“p∨q”和“p∧q”中恰有一个真命题知m∈A∪B且m?A∩B． 故﹣3≤m≤5或x≥6， 即m的取值范围是[﹣3，5]∪[6，+∞）．  … 21. 已知圆O的方程为x2+y2=5． （1）P是直线y=x﹣5上的动点，过P作圆O的两条切线PC、PD，切点为C、D，求证：直线CD过定点； （2）若EF、GH为圆O的两条互相垂直的弦，垂足为M（1，1），求四边形EGFH面积的最大值． 参考答案： 【考点】圆的标准方程． 【分析】（1）设P的坐标，写出以OP为直径的圆的方程，与圆方程联立即可求得直线CD的方程，结合P在直线y=x﹣5，利用线系方程证明直线CD过定点； （2）设圆心O到直线EF、GH的距离分别为d1、d2，则且，代入四边形面积公式，利用基本不等式求得四边形EGFH面积的最大值． 【解答】（1）证明：设P（x0，y0），则， 由题意，OCPD四点共圆，且直径是OP， 其方程为，即x2+y2﹣x0x﹣y0y=0， 由，得：x0x+y0y=5． ∴直线CD的方程为：x0x+y0y=5． 又，∴，即（2x+y）x0﹣10（y+1）=0． 由，得：． ∴直线CD过定点； （2）解：设圆心O到直线EF、GH的距离分别为d1、d2，则． ∴， 故． 当且仅当，即d1=d2=1时等号成立． ∴四边形EGFH面积的最大值为8． 22. 已知不等式ax2+x+c＞0的解集为{x|1＜x＜3}． （1）求a，c的值； （2）若不等式ax2+2x+4c＞0的解集为A，不等式3ax+cm＜0的解集为B，且A?B，求实数m的取值范围． 参考答案： 【考点】一元二次不等式的解法． 【分析】（1）由一元二次不等式和对应方程的关系，利用根与系数的关系即可求出a、c的值； （2）由（1