河南省郑州市第三中学高二数学理期末试卷含解析

河南省郑州市第三中学高二数学理期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知两点A( –2, 0 ) , B( 0 , 2 ), 点P是椭圆=1上任意一点，则点P到直线AB距离的最大值是 （    ） A..           B. 3.           C. .         D. 0.   参考答案： A 2. 如果f′（x）是二次函数，且f′（x）的图象开口向上，顶点坐标为，那么曲线y=f（x）上任一点的切线的倾斜角α的取值范围是（　　） 　 A． B． C． D． 参考答案： B 考点： 导数的几何意义；直线的倾斜角． 专题： 计算题． 分析： 由二次函数的图象可知最小值为，再根据导数的几何意义可知k=tanα≥，结合正切函数的图象求出角α的范围． 解答： 解：根据题意得f′（x）≥ 则曲线y=f（x）上任一点的切线的斜率k=tanα≥ 结合正切函数的图象 由图可得α∈ 故选B． 点评： 本题考查了导数的几何意义，以及利用正切函数的图象求倾斜角，同时考查了数形结合法的应用，本题属于中档题． 3. 已知双曲线 （ ， ）的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（   ） A.(1,2] B.(1,2) C. [2,+∞) D. (2,+∞) 参考答案： C 已知双曲线双曲线 （ ， ）的右焦点为 ，若过点 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率， ，离心率 ，故选C 【点睛】本题考查双曲线的性质及其应用，解题时要注意挖掘隐含条件． 4. 在复平面内，复数i（2﹣i）对应的点位于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 参考答案： A 【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义． 【分析】首先进行复数的乘法运算，得到复数的代数形式的标准形式，根据复数的实部和虚部写出对应的点的坐标，看出所在的象限． 【解答】解：∵复数z=i（2﹣i）=﹣i2+2i=1+2i ∴复数对应的点的坐标是（1，2） 这个点在第一象限， 故选A． 【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，本题解题的关键是写成标准形式，才能看出实部和虚部的值． 5. 在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C为正态分布N（0，1）的密度曲线）的点的个数的估计值为（　　） 温馨提示：若X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）=68.26%，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）=95.44% A．7614 B．6587 C．6359 D．3413 参考答案： B 【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义． 【分析】求出P（0＜X≤1）=×0.6826=0.3413，即可得出结论． 【解答】解：由题意P（0＜X≤1）=×0.6826=0.3413， ∴落入阴影部分点的个数的估计值为10000﹣10000×0.3413=10000﹣3413=6587， 故选：B． 【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量μ和σ的应用，考查曲线的对称性，属于基础题． 6. 函数y=1+3x﹣x3有（　　） A．极小值﹣1，极大值3 B．极小值﹣2，极大值3 C．极小值﹣1，极大值1 D．极小值﹣2，极大值2 参考答案： A 【考点】函数在某点取得极值的条件． 【分析】利用导数工具去解决该函数极值的求解问题，关键要利用导数将原函数的单调区间找出来，即可确定出在哪个点处取得极值，进而得到答案． 【解答】解：∵y=1+3x﹣x3， ∴y′=3﹣3x2， 由y′=3﹣3x2＞0，得﹣1＜x＜1， 由y′=3﹣3x2＜0，得x＜﹣1，或x＞1， ∴函数y=1+3x﹣x3的增区间是（﹣1，1），减区间是（﹣∞，﹣1），（1，+∞）． ∴函数y=1+3x﹣x3在x=﹣1处有极小值f（﹣1）=1﹣3﹣（﹣1）3=﹣1， 函数y=1+3x﹣x3在x=1处有极大值f（1）=1+3﹣13=3． 故选A． 7. 观察下面的演绎推理过程，判断正确的是                           (　　) 大前提：若直线a⊥直线l，且直线b⊥直线l，则a∥b. 小前提：正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1B1⊥AA1，且AD⊥AA1. 结论：A1B1∥AD. A．推理正确 B．大前提出错导致推理错误 C．小前提出错导致推理错误 D．仅结论错误 参考答案： B 8. 某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x，y，10，11，9．已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x﹣y|的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 参考答案： D 【考点】极差、方差与标准差． 【分析】由题意知这组数据的平均数为10，方差为2可得到关于x，y的一个方程组，解这个方程组需要用一些技巧，因为不要直接求出x、y，只要求出|x﹣y|，利用换元法来解出结果． 【解答】解：由题意这组数据的平均数为10，方差为2可得：x+y=20，（x﹣10）2+（y﹣10）2=8， 解这个方程组需要用一些技巧， 因为不要直接求出x、y，只要求出|x﹣y|， 设x=10+t，y=10﹣t，由（x﹣10）2+（y﹣10）2=8得t2=4； ∴|x﹣y|=2|t|=4， 故选D． 9. 已知函数对定义域内的任意都有=,且当时其导函数满足若则（     ） A.     B. C.     D. 参考答案： C 略 10. 若是R上的偶函数，且在[0，+∞）上是增函数，则下列各式成立的是：（   ）                                 参考答案： B 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 圆心为C，半径为3的圆的极坐标方程                  参考答案： 略 12. 设为实数，且，则              ．    参考答案： 4 略 13. 设数列{an},{bn}都是等差数列，若a1+b1=7，a3+b3=21，则a5+b5=___________。 参考答案： 35 14. 某射击运动员在一次射击测试中射击6次，每次命中的环数为：7,8,7,9,5,6.则其射击成绩的方差为_____________. 参考答案： 略 15. 设U为全集，A、B是U的子集，则“存在集合C使得A?C，B??UC”是“A∩B=?”的         条件．（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”） 参考答案： 充要条件 考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断． 专题：简易逻辑． 分析：根据充分条件和必要条件的定义结合集合关系进行判断即可． 解答： 解：若存在集合C使得A?C，B??UC，则可以推出A∩B=?； 若A∩B=?，由Venn图（如图）可知， 存在A=C，同时满足A?C，B??UC． 故“存在集合C使得A?C，B??UC”是“A∩B=?”的充要条件． 故答案为：充要条件 点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据集合关系是解决本题的关键． 16. 用辗转相除法求和的最大公约数为___________. 参考答案： 81 略 17. 已知点A（﹣1，0，1），B（0，0，1），C（2，2，2），D（0，0，3），则向量与的夹角的余弦值为　　     ． 参考答案： ﹣ 【考点】M6：空间向量的数量积运算． 【分析】先求出向量，，利用cos＜＞=，能求出向量与的夹角的余弦值． 【解答】解：∵点A（﹣1，0，1），B（0，0，1），C（2，2，2），D（0，0，3）， ∴=（1，0，0），=（﹣2，﹣2，1）， ∴cos＜＞===﹣． ∴向量与的夹角的余弦值为﹣． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 某市环保研究所对市中心每天环境污染情况进行调查研究后，发现一天中综合污染指数与时间x(小时)的关系为＝｜｜＋2a，，其中a为与气象有关的参数，且．若将每天中的最大值作为当天的综合污染指数，并记作M(a) ． (Ⅰ)令t＝，，求t的取值范围； (Ⅱ) 求函数M(a)的解析式； (Ⅲ) 为加强对环境污染的整治，市政府规定每天的综合污染指数不得超过2，试问目前市中心的综合污染指数是否超标？ 参考答案： 解析：(Ⅰ)：因为，所以，所以，故． (Ⅱ)因为,所以， ．． 当时，； 当，． 而， 当，，; 当，，． 所以， (Ⅲ)由(Ⅱ)知的最大值为，它小于2，所以目前市中心的综合污染指数没有超标 19. (改编题)设. （1）若以作为矩形的边长，记矩形的面积为，求的概率； （2）若求这两数之差不大于2的概率。 参考答案： 解（1）若则所有的结果为（1，1）,(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3，1)，（3，2），（3，3），共9个，满足的所有的结果为1，1）,(1,2),(1,3),(2,1),(2,2), (2,3),(3，1)，共5个，故的概率为. （2）所有的结果的区域为两个之差不大于2的所有结果的区域为则 . 略 20. 已知函数f（x）=（a、b为常数），且f（1）=，f（0）=0． （Ⅰ）求函数f（x）的解析式； （Ⅱ）判断函数f（x）在定义域上的奇偶性，并证明； （Ⅲ）对于任意的x∈[0，2]，f（x）（2x+1）＜m?4x恒成立，求实数m的取值范围． 参考答案： 【考点】函数恒成立问题． 【专题】函数的性质及应用；不等式的解法及应用． 【分析】（Ⅰ）运用代入法，得到a，b的方程，解得a，b，可得f（x）的解析式； （Ⅱ） 函数f（x）为奇函数．运用奇函数的定义，即可得证； （Ⅲ）f（x）（2x+1）＜m?4x恒成立，即为2x﹣1＜m?4x，运用参数分离和换元法，结合指数函数和二次函数的值域，可得右边的最大值，即可得到m的范围． 【解答】解：（Ⅰ）由已知可得，， 解得a=1，b=﹣1， 所以； （Ⅱ） 函数f（x）为奇函数． 证明如下：f（x）的定义域为R， ∵， ∴函数f（x）为奇函数；                           （Ⅲ）∵，∴， ∴2x﹣1＜m?4x ∴=g（x）， 故对于任意的x∈[0，2]，f（x）（2x+1）＜m?4x恒成立等价于m＞g（x）max 令，则y=t﹣t2， 则当时， 故， 即m的取值范围为． 【点评】本题主要考查函数的解析式、奇偶性等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，抽象概括能力，考查化归的思想． 21. 抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，直线y=4与抛物线和y轴分别交于点P、Q，且|PF|=2|PQ| （1）求抛物线的方程； （2）过点F作互相垂直的两直线分别交抛物线于点A、B、C、D，求四边形ACBD面积的最小值． 参考答案： 【考点】抛物线的简单性质． 【分析】（1）求得抛物线的焦点和准线方程，以及P，Q的坐标，运用抛物线的定义和两点的距离公式，解方程可得p=4，进而得到抛物线的方程； （2）设AB：x=my+2，CD：x=﹣y+2（m≠0），联立抛物线方程，消去x，得到y的方程，运用韦达定理和弦长公式可得|AB|，|CD|，由四边形的面积公式可得S=|AB||CD|，运用基本不等式即可得到所求最小值． 【解答】解：（1）抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F（