湖南省常德市董家当中学2022年高三数学理模拟试题含解析

湖南省常德市董家当中学2022年高三数学理模拟试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知复数（i是虚数单位），它的实部和虚部的和是（　　） A．4 B．6 C．2 D．3 参考答案： C 【考点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算． 【分析】利用复数的除法法则，把分子、分母分别乘以分母的共轭复数即可得到． 【解答】解：∵===， ∴它的实部和虚部的和==2． 故选C． 2. 函数的部分图象大致是（   ） A．         B．       C．           D． 参考答案： B 3. 若函数的图象关于直线及直线对称，且时，，则  (      ) A．       B．     C．   D． 参考答案： B 略 4. 函数的零点所在的区间是（    ） A．       B．    C．     D． 参考答案： C 5. 设实数x、y满足，则的取值范围是(  ) A．    B．     C．      D． 参考答案： B 略 6. 设函数，若不等式有正实数解，则实数的最小值为(    ) A.3 B.2 C. D. 参考答案： D 7. 已知向量                             （    ）        A．-3                          B．3                            C．                D． 参考答案： A 略 8. 已知和，若，则||=（　　） A．5 B．8 C． D．64 参考答案： A 【考点】平面向量数量积的运算． 【分析】由题意可得x+2﹣2x=0，解方程可得x，即可求出||． 【解答】解：∵和，， ∴x+2﹣2x=0， 解得x=2， ∴||=|（5，0）|=5． 故选：A． 9. 已知向量，则“”是“”的 (A) 充分不必要条件  (B) 必要不充分条件 (C) 充要条件  (D) 既不充分也不必要条件 参考答案： A 10. 已知平面向量，，且，则＝ A. B. C. 5 D. 13 参考答案： B 【分析】 根据向量平行求出x的值，结合向量模长的坐标公式进行求解即可． 【详解】且 ，则 故 故选B. 【点睛】本题考查向量模长的计算，根据向量平行的坐标公式求出x的值是解决本题的关键． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，则不等式的解集是__________． 参考答案： 12. 已知函数若关于的方程有两个不同的实根，则实数的取值范围是__________________. 参考答案： 略 13. （x+y+z）8的展开式中项x3yz4的系数等于　　．（用数值作答） 参考答案： 280 【考点】DC：二项式定理的应用． 【分析】由条件利用二项式的意义以及组合的知识，求得展开式中x3yz4的系数． 【解答】解：（x+y+z）8的展开式表示8个因式（x+y+z）的积， 故展开式中项x3yz4，即这8个因式中任意选出3个取x，从剩下的5个中任意选4个取z，最后的一个取y，即可得到含项x3yz4的项， 故x3yz4的系数为等于??=280， 故答案为：280． 【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题 14. 函数(，), 有下列命题： ①的图象关于y轴对称； ②的最小值是2 ； ③在上是减函数，在上是增函数； ④没有最大值． 其中正确命题的序号是                    . (请填上所  有正确命题的序号） 参考答案： ①④ 15. 若实数且，则          ，          ． 参考答案：   16. 已知抛物线C：的焦点为F，准线为l，抛物线C有一点P，过点P作，垂足为M，若等边的面积为，则p=          ． 参考答案： 2 设准线l和x轴交于N点，PM平行于x轴， 由抛物线的定义得到|NF|=p,故|MF|=2p,故 故答案为：2.   17. 在边长为的正方形中, 动点和分别在边和上, 且 ,则的最小值为        ． 参考答案： 考点：向量的几何运算和数量积公式及的运用． 【易错点晴】本题考查的是向量的几何形式为背景的数量的最小值问题.解答时充分借助题设条件和向量运算的三角形法则,将向量表示为；将向量表示为 ,这是解答好本题的关键.然后运用向量的乘法运算建立关于为变量的目标函数,在求该函数的最小值时,巧妙地运用了基本不等式这一重要工具. 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 设函数，为函数的极值点． （1）若为函数的极大值点，求的单调区间（用表示）； （2）若函数恰有一个零点，求实数的取值范围． 参考答案： 【点评】：本题属于导数问题的中档题，主要考查导数和函数单调性、零点问题，涉及的主要思路是对参数范围的分类讨论，其中的正负问题用到构造函数再求导分析，难度不大． 解：由题意可得：定义域为 且为极值点， 故 且 （） （1）为函数的极大值点       当时，的单调递增； 时，的单调递减； 时，的单调递增. （2）①若时，在的单调递减；在时单调递增 恰有一个零点， ②若时， 在单调递增；在单调递减；在单调递增. 为极大值点      为极小值点 又    恰有一个零点 ③若时， 在单调递增；在单调递减；在单调递增. 为极大值点      为极小值点 设   则，故      又     恰有一个零点 综上所述：若函数恰有一个零点，则实数 19. [选修4-4：坐标系与参数方程]（本题满分10分） （10分）已知直线l的参数方程：（t为参数），曲线C的参数方程： （α为参数），且直线交曲线C于A，B两点． （Ⅰ）将曲线C的参数方程化为普通方程，并求θ=时，|AB|的长度； （Ⅱ）已知点P：（1，0），求当直线倾斜角θ变化时，|PA|?|PB|的范围． 参考答案： 【分析】（Ⅰ）利用三角函数的平方关系式，将曲线C的参数方程化为普通方程，求出直线AB的方程，代入，可得3x2﹣4x=0，即可求出|AB|的长度； （Ⅱ）直线参数方程代入，A，B对应的参数为t1，t2，则|PA|?|PB|=﹣t1t2，即可求出|PA|?|PB|的范围． 【解答】解：（Ⅰ）曲线C的参数方程：（α为参数），曲线C的普通方程为． 当θ=时，直线AB的方程为，y=x﹣1， 代入，可得3x2﹣4x=0，∴x=0或x= ∴|AB|=?= ； （Ⅱ）直线参数方程代入，得（cos2θ+2sin2θ）t2+2tcosθ﹣1=0． 设A，B对应的参数为t1，t2，∴|PA|?|PB|=﹣t1t2==∈[，1]． 【点评】本题主要考查了参数方程化成普通方程，熟练掌握参数方程与直角坐标的互化公式是解题的关键． 20. (本小题满分12分) 某险种的基本保费为a（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：   上年度出险次数 0 1 2 3 4 ≥5 保费 0.85a  a 1.25a  1.5a  1.75a  2a    随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：   出险次数 0 1 2 3 4 ≥5 频数 60 50 30 30 20 10   (I)记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”。求P(A)的估计值； (II)记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”.求P(B)的估计值； （III）求续保人本年度平均保费的估计值. 参考答案： (Ⅰ)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2.由所给数据知，一年内出险次数小于2的频率为， 故P(A)的估计值为0.55. （Ⅱ）事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由所给数据知，一年内出险次数大于1且小于4的频率为， 故P(B)的估计值为0.3. (Ⅲ)由所给数据得： 保费 0.85a  a 1.25a  1.5a  1.75a  2a  频率 0.30 0.25 0.15 0.15 0.10 0.05 调查200名续保人的平均保费为 0.85a×0.30+ a×0.25+1.25a×0.15+1.5a×0.15+1.75a×0.10+2a×0.05=1.1925a. 因此，续保人本年度平均保费估计值为1.1925a. 21. 已知AB和CD是曲线C：（t为参数）的两条相交于点P（2，2）的弦，若AB⊥CD，且|PA|?|PB|=|PC|?|PD|． （1）将曲线C的参数方程化为普通方程，并说明它表示什么曲线； （2）试求直线AB的方程． 参考答案： 【考点】QI：参数方程的优越性；QH：参数方程化成普通方程． 【分析】（1）直接消去参数t，可得曲线C的普通方程，说明曲线特征即可． （2）直线AB和CD的倾斜角为α、β，求出直线AB和CD的参数方程，与y2=4x联立，由t的几何意义以及韦达定理，通过由|PA|?|PB|=|PC|?|PD|．AB⊥CD求出直线AB的倾斜角，得到直线AB的方程． 【解答】解：（1）曲线C：（t为参数）消去t可得y2=4x，轨迹是顶点在原点对称轴为x轴，焦点为（1，0）的抛物线． （2）设直线AB和CD的倾斜角为α、β， 则直线AB和CD的参数方程分别为：…①和…②， 把①代入y2=4x中的：t2sin2α+（4sinα﹣4cosα）t﹣4=0，…③ 依题意可知sinα≠0且方程③的△=16（sinα﹣cosα）2+16sin2α＞0 ∴方程③有两个不相等的实数根t1，t2 则t1?t2=…④， 由t的几何意义可知|PA|=|t1|，|PB|=|t2|， |PA|?|PB|=|t1?t2|=…⑤， 同理，|PC|?|PD|=…⑥， 由|PA|?|PB|=|PC|?|PD|． 可知：即sin2α=sin2β，∵0≤α，β＜π． ∴α=π﹣β，∵AB⊥CD∴β=α+90°或α=β+90° ∴直线AB的倾斜角为或． ∴kAB=1或﹣1，故直线AB的方程为：y=x或x+y﹣4=0． 【点评】本题考查参数方程与直角坐标方程的互化，参数方程的几何意义是解题的关键，体现参数方程的优越性． 22.  某企业去年的纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降．若不能进行技术改造，预测从今年起每年比上一年纯利润减少20万元，今年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第n年（今年为第一年）的利润为500（1+）万元（n为正整数）．     (Ⅰ）设从今年起的前n年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为万元，进行技术改造后的累计纯利润为万元（须扣除技术改造资金），求、的表达式；     (Ⅱ）依上述预测，从今年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润？ 参考答案： （Ⅰ）依题意知，数列是一个以500为首项，－20为公差的等差数列，所以， = ＝ =  　(Ⅱ）依题意得，，即， 可化简得， 可设， 又，可设是减函数，是增函数， 又 则时不等式成立，即4年