河北省秦皇岛市现代科技中学部高三数学理月考试卷含解析

河北省秦皇岛市现代科技中学部高三数学理月考试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 抛物线y2 = 16x的准线方程为                                                                             （    ）     A．x=4                     B．x=－4                  C．x=8                     D．x= －8 参考答案： B 略 2. 若集合M={（x，y）|x+y=0}，N={（x，y）|x2+y2=0，x∈R，y∈R}，则有（ ） A．M∪N=M B．M∪N=N C．M∩N=M D．M∩N=? 参考答案： A 【分析】据集合的表示法知两个集合一个表示直线一个表示一个点且点在直线上，得到两集合的并集． 【解答】解：∵M={（x，y）|x+y=0}表示的是直线x+y=0 又N={（x，y）|x2+y2=0}表示点（0，0） ∵（0，0）在直线x+y=0上 ∴M∪N=M 故选项为A 【点评】本题考查集合的表示法及两个集合的并集的定义、据定义求并集． 3. 已知将的图象向右平移个单位，得到的函数图象关于y轴对称，若将的图象向左平移个单位，得到的函数图象也关于x轴对称，则的解析式可以为   A．=sinx    B．=sin2x C．=  D．=2sinx 参考答案： B 略 4. 已知向量，，且与的夹角为锐角，则的取值范围是（  ）                                              （A）     （B）   （C）     （D） 参考答案： B 当共线时，，，此时方向相同夹角为，所以要使与的夹角为锐角，则有且不共线。由得，且，即实数的取值范围是，选B. 5. 如图：正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E、F分别是棱A1B1CD的中点，点M是EF的动点，FM=，过直线AB和点M的平面将正方体分成上下两部分，记下面那部分的体积为，则函数的大致图像是 参考答案： C 6. 已知，则（     ） A、        B、       C、        D、 参考答案： A 略 7. 已知由不等式组，确定的平面区域的面积为7，定点M的坐标为，若，O为坐标原点，则的最小值是 A．     B．     C．     D． 参考答案： 【知识点】简单线性规划．E5 【答案解析】B  解析：依题意：画出不等式组所表示的平面区域（如右图所示） 可知其围成的区域是等腰直角三角形面积为，由直线恒过点，且原点的坐标恒满足， 当时，，此时平面区域的面积为，由于，由此可得. 由可得，依题意应有，因此（，舍去） 故有，设，故由，可化为，所以当直线过点时，截距最大，即取得最小值，故选B． 【思路点拨】首先作出不等式组所表示的平面区域，然后根据直线恒过点B（0，2），且原点的坐标恒满足，当k=0时，y≤2，此时平面区域Ω的面积为6，由于6＜7，由此可得k＜0．联立方程组求出D的坐标，根据三角形的面积公式求得k的值，最后把转化为线性目标函数解决． 8. 已知函数,若||≥,则的取值范围是（  ） A．    B.       C.         D． 参考答案： D 略 9. 如图，动点在正方体的对角线上．过点作垂直于平面的直线，与正方体表面相交于．设，，则的图象大致是    B1     参考答案： B 略 10. 矩形ABCD中，AB=2，AD=2，点E为线段BC的中点，点F为线段CD上的动点，则的取值范围是（　　） A．[2，14] B．[0，12] C．[0，6] D．[2，8] 参考答案： A 【考点】平面向量数量积的运算． 【专题】计算题；数形结合；向量法；平面向量及应用． 【分析】先建立坐标系，根据向量的数量积运算得到=2x+2，利用函数的单调性即可求出答案． 【解答】解：如图所示，A（0，0），E（2，1）， 设F（x，2），（0≤x≤2） ∴=（2，1），=（x，2）， ∴=2x+2， 设f（x）=2x+2，（0≤x≤2）， ∴f（x）为增函数， ∴f（0）=2，f（2）=14， ∴2≤f（x）≤14， 故则的取值范围[2，14]， 故选：A． 【点评】本题考查了向量的坐标运算，向量的数量积运算，以及函数的单调性，考查了推理能力和计算能力，属于中档题． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知向量，，且，，则（）的最小值为        ． 参考答案： 12. 若关于x的不等式2x2﹣8x﹣4﹣a＞0在1＜x＜4内有解，则a的取值范围　　． 参考答案： a＜﹣4 略 13. 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则          ． 参考答案： 本题考查正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用,考查运算求解能力. 因为 ,所以. 由余弦定理得 ，又，所以. ，所以. 由正弦定理得，即，解得. 14. 已知实数x,y满足，则的最大值为_______. 参考答案： 22 【分析】 ，作出可行域，利用直线的截距与b的关系即可解决. 【详解】作出不等式组表示的平面区域如下图中阴影部分所示， 由可得，观察可知，当直线过点时，取得最大值， 由，解得，即，所以. 故答案为：22. 【点睛】本题考查线性规划中线性目标函数的最值问题，要做好此类题，前提是正确画出可行域，本题是一道基础题. 15. 函数f（x）=|cosx|（x≥0）的图象与过原点的直线恰有四个交点，设四个交点中横坐标最大值为θ，则=　　． 参考答案： ﹣2 【考点】函数的图象． 【分析】依题意，过原点的直线与函数y=|cosx|（x≥0）在区间（，2π）内的图象相切，利用导数知识可求得切线方程，利用直线过原点，可求得θ=﹣，代入所求关系式即可求得答案 【解答】解：∵函数f（x）=|cosx|（x≥0）的图象与过原点的直线恰有四个交点， ∴直线与函数y=|cosx|（x≥0）在区间（，2π）内的图象相切， 在区间（，2π）上，y的解析式为y=cosx， 故由题意切点坐标为（θ，cosθ）， ∴切线斜率k=y′=﹣sinx|x=θ=﹣sinθ， ∴由点斜式得切线方程为： y﹣cosθ=﹣sinθ（x﹣θ）， ∴y=﹣sinθx+θsinθ+cosθ， ∵直线过原点， ∴θsinθ+cosθ=0，得θ=﹣， ∴==﹣（tanθ+）sin2θ=﹣（+）?2sinθcosθ=﹣2（sin2θ+cos2θ）=﹣2． 故答案为：﹣2． 【点评】本题考查直线与余弦曲线的交点，考查导数的几何意义，直线的点斜式方程的应用，求得θ=﹣是关键，考查三角函数间的关系的综合应用，属于难题． 16. 若一个正三棱柱的各条棱均与一个半径为的球相切，则该正三棱柱的体积为____________ 参考答案： 略 17. 若椭圆的方程为+=1，且此椭圆的焦距为4，则实数a=           ． 参考答案： 4或8 【考点】椭圆的简单性质． 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】首先分两种情况：①焦点在x轴上．②焦点在y轴上，分别求出a的值即可． 解：①焦点在x轴上时：10﹣a﹣（a﹣2）=4 解得：a=4． ②焦点在y轴上时a﹣2﹣（10﹣a）=4 解得：a=8 故答案为：4或8． 【点评】本题考查的知识要点：椭圆方程的两种情况：焦点在x轴或y轴上，考察a、b、c的关系式，及相关的运算问题． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分13分）       已知直线y=－x+1与椭圆相交于A、B两点。     （Ⅰ）若椭圆的离心率为，焦距为2．求椭圆方程；     （Ⅱ）若向量·=0（其中0为坐标原点），当椭圆的离心率时，求椭圆的长轴长的最大值． 参考答案： 略 19. 如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是边长为2的的菱形，，四边形BDEF是矩形，G和H分别是CE和CF的中点. （1）求证：平面BDGH//平面AEF； （2）若平面BDEF⊥平面ABCD，，求平面CED与平面CEF所成角的余弦值． 参考答案： （1）连接交于点，显然，平面， 平面，可得平面，同理平面，， 又平面，可得：平面平面. ……5分 （2）过点在平面中作轴，显然轴、、两两垂直，如图所示建立空间直角坐标系. ……7分 ，，，，，，.设平面与平面法向量分别为，. ，设；，设. …10分 ，综上：面与平面所成角的余弦值为. …12分 20. 某高校在2013年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组得到的频率分布表如下： 组号 分组 频数 频率 第一组 [160，165） 5 0.050 第二组 [165，170） a 0.350 第三组 [170，175） 30 b 第四组 [175，180） c 0.200 第五组 [180，185] 10 0.100 合计   100 1.00 （1）为了能选拔出优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第三、四、五组中用分层抽样法抽取6名学生进入第二轮面试，试确定a，b，c的值并求第三、四、五组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试； （2）在（1）的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生接受A考官的面试，求第四组中至少有一名学生被A考官面试的概率． 参考答案： 【考点】古典概型及其概率计算公式；频率分布直方图． 【专题】概率与统计． 【分析】本题的关键是找到频率分布直方图每一组的频数，在根据古典概型的计算公式求得概率． 解：（1）由频率分布表知a=100×0.35=35，，c=100×0.2=20 因为第三、四、五组共有60名学生，所以利用分层抽样法在60名学生中抽取6名学生，每组分别为：第三组人，第四组人，第五组人． 所以第三、四、五组分别抽取3人、2人、1人进入第二轮面试． （2）设第三组的3名学生为A1、A2、A3，第四组的2名学生为B1、B2， 第五组的1名学生为C1．则从6名学生中抽取2名学生有15种可能： （A1，A2），（A1，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A1，C1），（A2，A3），（A2，B1），（A2，B2），（A2、C1），（A3，B1），（A3，B2），（A3，C1），（B1，B2），（B1，C1），（B2，C1）， 第四组的2名学生至少有一名学生被A考官面试共有9种可能 其中第四组的2名学生至少有一名学生被A考官面试的概率为． 【点评】本题考察频率分布直方图、分层抽样、古典概型的基本知识，是一道常见的高考题． 21. 数列{an}的前n项和记为Sn，a1＝t，点(Sn，an＋1)在直线 y＝2x＋1上，n∈N*. (1)当实数t为何值时，数列{an}是等比数列？ (2)在(1)的结论下，设bn＝log3an＋1，Tn是数列{}的前n项和，求T2013的值． 参考答案： 略 22. 已知函数f（x）=|a﹣3x|﹣|2+x|． （1）若a=2，解不等式f（x）≤3； （2）若存在实数x，使得不等式f（x）≥1﹣a+2|2+x|成立，求实数a的取值范围． 参考答案： 【考点】R5：绝对值不等式的解法． 【分析】（1）通过讨论x的范围，得到关于x的不等式组，解出取并集即可； （2）由