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广东省清远市第三中学高三数学理上学期期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知某程序框图如图所示,则输出的i的值为( )
A.7 B.8 C.9 D.10
参考答案:
C
解:第一次循环,;第二次循环,;第三次循环,,此时退出循环,输出,故选C.
2. 如右图所示,在一个边长为1的正方形AOBC内,曲线和曲线围成一个叶形图(阴影部分),
向正方形AOBC内随机投一点(该点落在正方形
AOBC内任何一点是等可能的),则所投的点落在
叶形图内部的概率是( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
3. 函数在区间上的最大值是( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
4. 下列函数中,与函数y=﹣e|x|的奇偶性相同,且在(﹣∞,0)上单调性也相同的是( )
A. B.y=ln|x| C.y=x3﹣3 D.y=﹣x2+2
参考答案:
D
【考点】奇偶性与单调性的综合.
【分析】根据函数奇偶性和单调性的性质即可得到结论.
【解答】解:函数y=﹣e|x|为偶函数,且在(﹣∞,0)上单调递增.
A.为奇函数,不满足条件.
B.y=ln|x|为偶函数,当x<0时,函数为y=ln(﹣x)单调递减.不满足条件.
C.y=x3﹣3为非奇非偶函数,不满足条件.
D.y=﹣x2+2为偶函数,在(﹣∞,0)上单调递增,满足条件.
故选:D
5. 已知函数y=f(x)与互为反函数,函数y=g(x)的图像与y=f(x)图像关于x轴对称,若g(a)=1,则实数a值为( )ks5u
A.-e B. C. D.e
参考答案:
C
略
6. 数列是首项的等比数列,且,,成等差数列,则其公比为( )
A. B. C.或 D.
参考答案:
C
略
7. 设集合,,,则集合A∩B= .
参考答案:
8. 命题“?x>0,≥0”的否定是( )
A.?x≤0,<0 B.?x>0,<0 C.?x>0,0≤x<2 D.?x>0,0<x<2
参考答案:
C
【考点】2J:命题的否定.
【分析】根据已知中的原命题,结合全称命题否定的方法,可得答案.
【解答】解:命题“?x>0,≥0”的否定是?x>0,0≤x<2
故选:C
【点评】本题考查的知识点是全称命题,命题的否定,难度不大,属于基础题.
9. 在中,若=°, ∠B=°,BC=,则AC=
A.4 B. 2 C. D.
参考答案:
B
10. 已知复数(其中i为虚数单位),则z=
参考答案:
A
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 设函数f (x) =x5-5x4+10x3-10x2+5x-1,则f (x)的反函数 f-1 (x) =___________
参考答案:
答案:
12. 已知函数f(x)=ax3﹣2x的图象过点(﹣1,4)则a= .
参考答案:
﹣2
【考点】函数解析式的求解及常用方法.
【分析】f(x)是图象过点(﹣1,4),从而该点坐标满足函数f(x)解析式,从而将点(﹣1,4)带入函数f(x)解析式即可求出a.
【解答】解:根据条件得:4=﹣a+2;
∴a=﹣2.
故答案为:﹣2.
【点评】考查函数图象上的点的坐标和函数解析式的关系,考查学生的计算能力,比较基础.
13. 在直角坐标系中,定义为两点之间的“折线距离”;则圆上一点与直线上一点的“折线距离”的最小值为
参考答案:
14. 已知函数和函数,
若存在,使得成立,则实数的取值范围是 .
参考答案:
15. 设是如图定义在区间上的奇函数,令,并有关于函数的五个论断:
①若,对于内的任意实数,
恒成立;
②若,则方程=0有大于2的实根
③函数的极大值为,极小值为;
④若,则方程必有3个实数根;
其中所有正确结论的序号是________
参考答案:
(1)(2)
略
16. 设函数在内可导,且,则______________.
参考答案:
2
略
17. 执行如图1所示的程序框图,若输出,则输入的值为 .
参考答案:
7
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 平面直角坐标系中,直线的参数方程是(为参数),
以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,已知曲线的极坐标方程为.
(Ⅰ)求直线的极坐标方程;
(Ⅱ)若直线与曲线相交于两点,求.
参考答案:
解:(Ⅰ)消去参数得直线的直角坐标方程:
由代入得 .
( 也可以是:或)
(Ⅱ) 得
设,,则.
略
19. 选修4—1:几何证明选讲
如图,C是以AB为直径的半圆O上的一点,过C的直线交
直线AB于E,交过A点的切线于D,BC∥OD .
(Ⅰ)求证:DE是圆O的切线;
(Ⅱ)如果AD =AB = 2,求EB .
参考答案:
略
20. 已知函数的部分图像如图所示.
(1)求的解析式;
(2)方程在上的两解分别为,求,的值.
参考答案:
解:(Ⅰ)由图象可知,
,
又∵,∴,
又∵的图象过点,
即,(),
即(),又∵,
∴,
∴;
(Ⅱ)∵的图象在轴右侧的第一个波峰的横坐标为,
图象在的两解关于直线对称,
所以,
所以
因为
又因为
所以
21. 已知函数f(x)=|x﹣3|+|2x+t|,t∈R.
(1)当t=1时,解不等式f(x)≥5;
(2)若存在实数a满足f(a)+|a﹣3|<2,求t的取值范围.
参考答案:
【考点】绝对值不等式的解法;绝对值三角不等式.
【分析】(1)当t=1时,根据绝对值不等式的解法,讨论x的取值范围即可解不等式f(x)≥5;
(2)根据绝对值不等式的性质将不等式转化为[f(a)+|a﹣3|]min<2成立,结合不等式的性质进行求解即可.
【解答】解:(1)当t=1时,f(x)=|x﹣3|+|2x+1|,
由f(x)≥5得|x﹣3|+|2x+1|≥5,
当x≥3时,不等式等价为x﹣3+2x+1≥5,即3x≥7,得x≥,此时x≥3,
当﹣<x<3时,不等式等价为﹣(x﹣3)+2x+1≥5,即x≥1,此时1≤x<3,
当x<﹣时,不等式等价为3﹣x﹣2x﹣1≥5,解集x≤﹣1,得x≤﹣1,
综上此时x≥1,或x≤﹣1,即不等式的解集为(﹣∞,﹣1]∪[1,+∞)
(2)f(a)+|a﹣3|=2|a﹣3|+|2a+t|≥|2a+t﹣(2a﹣6)|=|t+6|,
则命题f(a)+|a﹣3|<2,等价为[f(a)+|a﹣3|]min<2,
即|t+6|<2,
则﹣2<t+6<2,即﹣8<t<﹣4,
即t的取值范围是(﹣8,﹣4).
22. 某网购平台为了解某市居民在该平台的消费情况,从该市使用其平台且每周平均消费额超过100元的人员中随机抽取了100名,并绘制如图所示频率分布直方图,已知中间三组的人数可构成等差数列.
(1)求m,n的值;
(2)分析人员对100名调查对象的性别进行统计发现,消费金额不低于300元的男性有20人,低于300元的男性有25人,根据统计数据完成下列2×2列联表,并判断是否有99%的把握认为消费金额与性别有关?
(3)分析人员对抽取对象每周的消费金额y与年龄x进一步分析,发现他们线性相关,得到回归方程.已知100名使用者的平均年龄为38岁,试判断一名年龄为25岁的年轻人每周的平均消费金额为多少.(同一组数据用该区间的中点值代替)
2×2列联表
男性
女性
合计
消费金额≥300
消费金额<300
合计
临界值表:
0050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
,其中
参考答案:
(1),(2)详见解析(3)395元
【分析】
(1)根据频率分布直方图可得,结合可得的值.
(2)根据表格数据可得,再根据临界值表可得有的把握认为消费金额与性别有关.
(3)由频率分布直方图可得调查对象的周平均消费,从而得到,利用线性回归方程可计算年龄为25岁的年轻人每周的平均消费金额.
【详解】(1)由频率分布直方图可知,,
由中间三组的人数成等差数列可知,
可解得,
(2)周平均消费不低于300元的频率为,因此100人中,周平均消费不低于300元的人数为人.
所以列联表为
男性
女性
合计
消费金额
20
40
60
消费金额
25
15
40
合计
45
55
100
所以有的把握认为消费金额与性别有关.
(3)调查对象的周平均消费为
,
由题意,∴
.
∴该名年龄为25岁的年轻人每周的平均消费金额为395元.
【点睛】(1)频率分布直方图中,各矩形的面积之和为1,注意直方图中,各矩形的高是;
(2)两类变量是否相关,应先计算的值,再与临界值比较后可判断是否相关.
(3)线性回归方程对应的直线必经过.
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