广东省河源市老龙田家炳中学高三数学理模拟试题含解析

广东省河源市老龙田家炳中学高三数学理模拟试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知i是虚数单位，复数对应于复平面内一点（0，1），则|z|=（　　） A． B．4 C．5 D． 参考答案： A 【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义． 【分析】由题意可得=i，变形后利用复数代数形式的乘法运算化简，再由复数模的计算公式求解． 【解答】解：由题意， =i，则z=i（2﹣3i）=3+2i， ∴|z|=． 故选：A． 2. 设函数，则方程的根有 (A)1个          (B)  2个        (C)3个           (D)无数个 参考答案： C 3. 已知函数f（x）=aex﹣2x﹣2a，且a∈[1，2]，设函数f（x）在区间[0，ln2]上的最小值为m，则m的取值范围是（　　） A．[﹣2，﹣2ln2] B．[﹣2，﹣] C．[﹣2ln2，﹣1] D．[﹣1，﹣] 参考答案： A 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值． 【分析】构造函数g（a），根据a的范围，求出f（x）的最大值，设为M（x），求出M（x）的导数，根据函数的单调性求出m的范围即可． 【解答】解：构造函数g（a）=（ex﹣2）a﹣2x是关于a的一次函数， ∵x∈[0，ln2]，∴ex﹣2＜0，即y=g（a）是减函数， ∵a∈[1，2]，∴f（x）max=2（ex﹣2）﹣2x，设M（x）=2（ex﹣2）﹣2x， 则M′（x）=2ex﹣2，∵x∈[0，ln2]， ∴M′（x）≥0，则M（x）在[0，ln2]上递增， ∴M（x）min=M（0）=2，M（x）max=M（ln2）=﹣2ln2， m的取值范围是[﹣2，﹣2ln2]， 故选：A． 【点评】本题考查了一次函数的单调性、利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了转化能力与计算能力，属于难题． 　 4. 一个几何体的三视图如右图所示，其中正视图和侧视图均是腰长为6的等腰直角三角形．则它的体积为            ． 参考答案： 72 略 5. 已知函数，其中为常数．那么“”是“为奇函数”的（   ） （A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件   （D）既不充分也不必要条件 参考答案： C 若，则为奇函数。若为奇函数，则有，即，所以是为奇函数的充分必要条件，选C. 6. 已知三棱锥S﹣ABC中，底面ABC为边长等于的等边三角形，SA垂直于底面ABC，SA=1，那么三棱锥S﹣ABC的外接球的表面积为（　　） A．2π B．4π C．6π D．5π 参考答案： D 【考点】LG：球的体积和表面积． 【分析】由已知结合三棱锥和正三棱柱的几何特征，可得此三棱锥外接球，即为以△ABC为底面以SA为高的正三棱柱的外接球，分别求出棱锥底面半径r，和球心距d，代入R=，可得球的半径R，即可求出三棱锥S﹣ABC的外接球的表面积． 【解答】解：根据已知中底面△ABC是边长为的等边三角形，SA垂直于底面ABC， 可得此三棱锥外接球，即为以△ABC为底面以SA为高的正三棱柱的外接球 ∵△ABC是边长为的正三角形， ∴△ABC的外接圆半径r=1， 球心到△ABC的外接圆圆心的距离d= 故球的半径R== 故三棱锥P﹣ABC外接球的表面积S=4πR2=5π． 故选：D． 7. 函数  是 (A) 周期为的偶函数                        (B) 周期为2的偶函数 (C) 周期为2的奇函数        (D) 周期为的奇函数 参考答案： D 略 8. 若向量=（2，4），=（﹣2，2n）， =（m，2），m，n∈R，则m+n的值为（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1 参考答案： B 【分析】利用=即可得出． 【解答】解：∵ =， ∴（m，2）=（2，4）+（﹣2，2n）， 可得：m=2﹣2=0，2=4+2n，解得n=﹣1． ∴m+n=﹣1． 故选：B． 9. 已知F1是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点，点B的坐标为（0，b），直线F1B与双曲线C的两条渐近线分别交于P，Q两点，若=4，则双曲线C的离心率为（　　） A． B． C． D．2 参考答案： B 【考点】双曲线的简单性质． 【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】求出P，Q的坐标，利用=4，求出双曲线C的离心率． 【解答】解：由题意，kPQ=． ∴直线PQ为：y=（x+c），与y=x．联立得：Q（，）； 与y=﹣x．联立得：P（﹣，）． ∵=4， ∴﹣﹣=4（﹣c+）， ∴e==． 故选：B． 【点评】本题考查双曲线C的离心率，考查学生的计算能力，确定P，Q的坐标是关键． 10. 已知命题p：?x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）≥0，则￢p是（　　） A．?x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）≤0 B．?x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）≤0 C．?x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）＜0 D．?x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）＜0 参考答案： C 【考点】命题的否定． 【分析】由题意，命题p是一个全称命题，把条件中的全称量词改为存在量词，结论的否定作结论即可得到它的否定，由此规则写出其否定，对照选项即可得出正确选项 【解答】解：命题p：?x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）≥0是一个全称命题，其否定是一个特称命题， 故?p：?x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）＜0． 故选：C． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知函数  是定义在上的减函数，函数  的图象关于点 对称. 若对任意的 ，不等式  恒成立，的最小值是（　　）   A、0            B、1           C、2          D、3 参考答案： C 略 12. 从中随机选一个数,从中随机选取一个数,则的概率是_____ 参考答案： 13. 沿对角线AC将正方形ABCD折成直二面角后，AB与CD所在的直线所成的角等于       ． 参考答案： 60° 【考点】异面直线及其所成的角． 【专题】空间角． 【分析】取AC、BD、BC的中点依次为E、F、G，连接BD、EF、EG、FG，则FG∥CD，EG∥AB，∠FGE为异面直线AB与CD所成的角，由此能求出结果． 【解答】解：如下图，取AC、BD、BC的中点依次为E、F、G， 连接BD、EF、EG、FG， 则FG∥CD，EG∥AB， 故∠FGE为异面直线AB与CD所成的角（或其补角）， 设正方形的边长为2个单位，则FG=1，EG=1，EF=1， 从而∠FGE=60°， 故答案为：60°． 【点评】本题考查异面直线所成角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维培养． 14. 参考答案： 15. 设数列，都是正项等比数列，，分别为数列与的前项和，且，则＝              参考答案： 略 16. 某顾客在超市购买了以下商品：①日清牛肉面24袋，单价1.80元/袋，打八折；②康师傅冰红茶6盒，单价1.70元/盒，打八折；③山林紫菜汤5袋，单价3.40元/袋，不打折；④双汇火腿肠3袋，单价11.20元/袋，打九折．该顾客需支付的金额为 元． 参考答案： 89.96 【考点】函数的值． 【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用． 【分析】依次算出四种商品金额，相加求和即可． 【解答】解：该顾客需支付的金额为： 24×1.8×0.8+6×1.7×0.8+5×3.4+3×11.2×0.9=89.96（元）． 故答案为：89.96． 【点评】本题考查顾客需支付的金额的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数在生产生活中的合理运用． 17. 已知数列=_    __ 参考答案： 4 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 电子商务在我国发展迅猛，网上购物成为很多人的选择．某购物网站组织了一次促销活动，在网页的界面上打出广告：高级口香糖，10元钱三瓶，有8种口味供你选择（其中有一种为草莓口味）．小王点击进入网页一看，只见有很多包装完全相同的瓶装口香糖排在一起，看不见具体口味，由购买者随机点击进行选择．（各种口味的高级口香糖均超过3瓶，且各种口味的瓶数相同，每点击选择一瓶后，网页自动补充相应的口香糖．） （1）小王花10元钱买三瓶，请问小王共有多少种不同组合选择方式？ （2）小王花10元钱买三瓶，由小王随机点击三瓶，请列出有小王喜欢的草莓味口香糖瓶数ξ的分布列，并计算其数学期望和方差． 参考答案： 【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列；计数原理的应用． 【专题】概率与统计． 【分析】（1）若8种口味均不一样，有种，若其中两瓶口味一样，有种，若三瓶口味一样，有8种．由此能求出小王共有多少种选择方式． （2）由已知得，由此能求出小王喜欢的草莓味口香糖瓶数ξ的分布列、数学期望和方差． 【解答】（本题满分12分） 解：（1）若8种口味均不一样，有=56种， 若其中两瓶口味一样，有=56种， 若三瓶口味一样，有8种．所以小王共有56+56+8=120种选择方式．…（5分） （2）ξ的取值为0，1，2，3．由于各种口味的高级口香糖均超过3瓶， 且各种口味的瓶数相同，有8种不同口味， 所以小王随机点击一次获得草莓味口香糖的概率均为，…（7分） 故随机变量ξ服从二项分布，即， ， ， ， ， ∴ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 P …（10分） 其数学期望， 方差．…（12分） 【点评】本题考查概率、随机变量分布列以及数学期望等基础知识，考查运用概率统计知识解决简单实际问题的能力，要认真审题，要将题目中的关系读懂，是中档题． 19. （本小题满分12分） 2012年“双节”期间，高速公路车辆较多。某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速（km/t）分成六段： 后得到如图4的频率分布直方图．问：（1）某调查公司在采样中，用到的是什么抽样方法？（2）求这40辆小型车辆车速的众数和中位数的估计值. （3）若从车速在的车辆中任抽取2辆，求抽出的2辆车中速车在的车辆数的分布列及其均值（即数学期望）． 参考答案： 解:（1）系统抽样                                                      (2分)   （2）众数的估计值为最高的矩形的中点，即众数的估计值等于            (4分) 设图中虚线所对应的车速为，则中位数的估计值为： ，解得 即中位数的估计值为                                           (6分) （3）从图中可知，车速在的车辆数为：（辆），(7分) 车速在的车辆数为：（辆）             (8分) ∴， ，，， 的分布列为 0 1 2                                                                  (11分) 均值.                                 (12分) 20