广东省汕头市植英初级中学高三数学理上学期期末试题含解析

广东省汕头市植英初级中学高三数学理上学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 若实数x、y满足不等式组则z=|x|+2y的最大值是(     ) A．10 B．11 C．13 D．14 参考答案： D 考点：简单线性规划． 专题：不等式的解法及应用． 分析：由约束条件作出可行域，分类化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案． 解答： 解：由约束条件作出可行域如图， 当x≥0时，z=|x|+2y化为y=﹣x+z，表示的是斜率为﹣，截距为的平行直线系， 当过点（1，5）时，直线在y轴上的截距最大，z最大，zmax=1+2×5=11； 当x＜0时，z=|x|+2y化为，表示斜率为，截距为，的平行直线系， 当直线过点（﹣4，5）时直线在y轴上的截距最大，z最大，zmax=4+2×5=14． ∴z=|x|+2y的最大值是14． 故选：D． 点评：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题． 2. 设{an}是首项大于零的等比数列，则“a1>a2”是“数列{an}为递减数列”的(　　) (A)充分而不必要条件                 (B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件         (D)既不充分也不必要条件 参考答案： B 略 3. 若直角坐标平面内A、B两点满足条件：①点A、B都在f(x)的图象上；②点A、B关于原点对称，则对称点对(A，B)是函数的一个“姊妹点对”(点对(A，B)与（B，A）可看作一个“姊妹点对”). 已知函数 f(x)=，则f(x)的“姊妹点对”有（    ）个 A．1          B．2            C．3           D．4 参考答案： B 4. 的值为   (A) -2     (B) -l   (C)     (D) 1 参考答案： A 略 5. 在等差数列{an}中，若a6+a8+a10=72，则2a10﹣a12的值为（　　） A．20 B．22 C．24 D．28 参考答案： C 【考点】84：等差数列的通项公式． 【分析】由等差数列通项公式求出a8=24，2a10﹣a12=2（a1+9d）﹣（a1+11d）=a1+7d=a8，由此能求出结果． 【解答】解：∵在等差数列{an}中，a6+a8+a10=72， ∴a6+a8+a10=3a8=72， 解得a8=24， ∴2a10﹣a12=2（a1+9d）﹣（a1+11d）=a1+7d=a8=24． 故选：C． 6. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个四面体的三视图，则该四面体的表面积为(    ) A.     B.     C.     D. 参考答案： A 该几何体为如图中的三棱锥C－A1C1E，EC＝EA1＝，A1C＝＝4， 三角形EA1C的底边A1C上的高为：2， 表面积为：S＝24＋24＋44＋24＝ 7. 已知三角形的面积，则角的大小为 A.         B.          C.         D. 参考答案： B 8. 复数的共轭复数为（   ） A．         B．       C．       D． 参考答案： C 9. 执行如图所示的程序框图，若输入的，则输出的j=（    ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 7 参考答案： C 【分析】 根据框图流程，依次计算运行的结果，直到不满足条件，输出j值． 【详解】由程序框图知：n=4，第一次运行， i＝1，j＝1,j=2i-j=1,满足i<4， 第二次运行i＝2，j=2i-j＝3；满足i<4， 第三次运行i＝3，j=2i-j＝3；满足i<4， 第四次运行i＝4，j=2i-j＝5；不满足i<4， 程序运行终止，输出j＝5． 故选：C． 【点睛】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图流程依次计算运行结果是解答此类问题的常用方法． 10. （5分）（2015?南昌校级模拟）i是虚数单位，的共轭复数为（　　） 　 A． ﹣1+i B． 1+i C． ﹣1﹣i D． 1﹣i 参考答案： D 【考点】： 复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念． 【专题】： 数系的扩充和复数． 【分析】： 利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出． 解：==i+1的共轭复数为1﹣i． 故选：D． 【点评】： 本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，属于基础题． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知四棱锥的底面为矩形，平面 平面，于点，，，，，则三棱锥的外接球半径为__________． 参考答案： 2 12. 设、分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时 且，则不等式的解集为           参考答案： 略 13. 已知，则      参考答案： 解：．对等式两边求导得 ．继续对此等式两边求导，得 ．令得 ） ． 14. 已知长方形ABCD中，AB=4，BC=1，M为AB的中点，则在此长方形内随机取一点P，P与M的距离小于1的概率为　　． 参考答案： 【考点】几何概型． 【专题】计算题；规律型；数形结合；转化法；概率与统计． 【分析】本题利用几何概型解决，这里的区域平面图形的面积．欲求取到的点P到M的距离大于1的概率，只须求出圆外的面积与矩形的面积之比即可． 【解答】解：根据几何概型得： 取到的点到M的距离小1的概率： p== ==． 故答案为：． 【点评】本题主要考查几何概型．如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型． 15. 已知是虚数单位，则＝           参考答案： 16. 几何证明选做题）如图所示．A，B是两圆的交点。AC是小圆的直径D，E分别是CA，CB的延长线与大圆的交点，已知AC=4，BE=10，且BC=AD，则AB=        ． 参考答案： 17. 已知向量，，且，则实数x=_____ 参考答案： 【分析】 可求出，根据即可得出，进行数量积的坐标运算即可求出． 【详解】解：因为，， 所以； 因为； 所以； 解得：． 故答案为． 【点睛】本题考查了向量坐标的减法和数量积的运算，解决本题的关键是要将向量垂直的条件进行代数转化． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，E是AB上一点．已知，CD＝4，。 （Ⅰ）若，求证：CE⊥平面PDE； （Ⅱ）当点A到平面PDE的距离为时，求三棱锥A-PDE的侧面积． 参考答案： 考点：立体几何综合 试题解析：（Ⅰ）在Rt△DAE中，，， ∴ 又AB＝CD＝4，∴BE＝3． 在Rt△EBC中，，∴，∴． 又，∴，即CE⊥DE． ∵PD⊥底面ABCD，CE底面ABCD， ∴PD⊥CE． ∴CE⊥平面PDE． （Ⅱ）∵PD⊥底面ABCD，PD平面PDE， ∴平面PDE⊥平面ABCD． 如图，过A作AF⊥DE于F，∴AF⊥平面PDE， ∴AF就是点A到平面PDE的距离，即． 在Rt△DAE中，由AD·AE＝AF·DE，得 ，解得AE＝2． ∴， ， ∵BA⊥AD，BA⊥PD，∴BA⊥平面PAD， ∵PA平面PAD，∴BA⊥PA． 在Rt△PAE中，AE＝2，， ∴． ∴三棱锥A-PDE的侧面积．   19. 已知向量＝（，），＝(cosx，－1)。 (1)当∥时，求2cos2x－sin2x的值； (2)求f(x)＝(＋)·在[，0]上的值域。 参考答案： (1)∵，∴cosx＋sinx＝0，∴tanx＝－， ∴2cos2x－sin2x＝。 (2)∵＝，∴f(x)＝(＋)·＝， ∵－≤x≤0，∴－≤≤，∴－1≤≤， ∴－≤f(x)≤，  ∴函数f(x)的值域为。 20. 在中，的对边分别为且成等差数列． （1）求B的值； （2）求的范围． 参考答案： 解：（1）成等差数列， ．         由正弦定理得， 代入得，， 即：， ． 又在中，． ，  .      （2）， ．               ， ．    的范围是 略 21. 设数列{an}的前n项和为.满足，且，设 （1）求数列{bn}的通项公式； （2）证明：对一切正整数n，有. 参考答案： （1）；（2）详见解析. 【分析】 （1）由题可得：当时，有，结合已知方程作差，可得：，两边除以，再整理得：，可得，问题得解 （2）利用（1）可求得：，通过放缩可得：，由此可得：，结合等比数列求和公式即可证明原不等式成立。 【详解】（1）∵， ∴当时，有， 两式相减整理得， 则， 即，∴， 当时，，且，则， ∴，满足. ∴. 故数列是首项为3，公比为的等比数列，即. （2）由（1）知，∴， 则， 当时，，即， ∴. 当时，，上式也成立. 综上可知，对一切正整数n，有. 【点睛】本题主要考查了赋值法及化简、整理能力，还考查了构造思想及等比数列的通项公式，考查了放缩法证明不等式，还考查了等比数列前项和公式，考查转化能力及计算能力，属于难题。 22. （本小题满分14分）在△ABC中，a,b,c分别为角A，B，C的对边，A为锐角，已知向量=（1，cos），=（2sin， 1-cos2A），且∥. (1)若a2-c2=b2-mbc，求实数m的值； (2)若a=，求△ABC面积的最大值，以及面积最大时边b，c的大小.      参考答案： 解：（Ⅰ）由得，所以……2分 又角为锐角，                         ……4分 而可变形为                ……5分 即                                     ……6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，又     ……7分 即                          ……9分 故                            ……11分 当且仅当时的面积有最大值                  ……14分 略