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广东省汕头市植英初级中学高三数学理上学期期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 若实数x、y满足不等式组则z=|x|+2y的最大值是( )
A.10 B.11 C.13 D.14
参考答案:
D
考点:简单线性规划.
专题:不等式的解法及应用.
分析:由约束条件作出可行域,分类化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合得到最优解,求出最优解的坐标,代入目标函数得答案.
解答: 解:由约束条件作出可行域如图,
当x≥0时,z=|x|+2y化为y=﹣x+z,表示的是斜率为﹣,截距为的平行直线系,
当过点(1,5)时,直线在y轴上的截距最大,z最大,zmax=1+2×5=11;
当x<0时,z=|x|+2y化为,表示斜率为,截距为,的平行直线系,
当直线过点(﹣4,5)时直线在y轴上的截距最大,z最大,zmax=4+2×5=14.
∴z=|x|+2y的最大值是14.
故选:D.
点评:本题考查了简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,是中档题.
2. 设{an}是首项大于零的等比数列,则“a1>a2”是“数列{an}为递减数列”的( )
(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件
(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件
参考答案:
B
略
3. 若直角坐标平面内A、B两点满足条件:①点A、B都在f(x)的图象上;②点A、B关于原点对称,则对称点对(A,B)是函数的一个“姊妹点对”(点对(A,B)与(B,A)可看作一个“姊妹点对”). 已知函数 f(x)=,则f(x)的“姊妹点对”有( )个
A.1 B.2 C.3 D.4
参考答案:
B
4. 的值为
(A) -2 (B) -l
(C) (D) 1
参考答案:
A
略
5. 在等差数列{an}中,若a6+a8+a10=72,则2a10﹣a12的值为( )
A.20 B.22 C.24 D.28
参考答案:
C
【考点】84:等差数列的通项公式.
【分析】由等差数列通项公式求出a8=24,2a10﹣a12=2(a1+9d)﹣(a1+11d)=a1+7d=a8,由此能求出结果.
【解答】解:∵在等差数列{an}中,a6+a8+a10=72,
∴a6+a8+a10=3a8=72,
解得a8=24,
∴2a10﹣a12=2(a1+9d)﹣(a1+11d)=a1+7d=a8=24.
故选:C.
6. 如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某个四面体的三视图,则该四面体的表面积为( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
该几何体为如图中的三棱锥C-A1C1E,EC=EA1=,A1C==4,
三角形EA1C的底边A1C上的高为:2,
表面积为:S=24+24+44+24=
7. 已知三角形的面积,则角的大小为
A. B. C. D.
参考答案:
B
8. 复数的共轭复数为( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
9. 执行如图所示的程序框图,若输入的,则输出的j=( )
A. 1 B. 3 C. 5 D. 7
参考答案:
C
【分析】
根据框图流程,依次计算运行的结果,直到不满足条件,输出j值.
【详解】由程序框图知:n=4,第一次运行, i=1,j=1,j=2i-j=1,满足i<4,
第二次运行i=2,j=2i-j=3;满足i<4,
第三次运行i=3,j=2i-j=3;满足i<4,
第四次运行i=4,j=2i-j=5;不满足i<4,
程序运行终止,输出j=5.
故选:C.
【点睛】本题考查了循环结构的程序框图,根据框图流程依次计算运行结果是解答此类问题的常用方法.
10. (5分)(2015?南昌校级模拟)i是虚数单位,的共轭复数为( )
A. ﹣1+i B. 1+i C. ﹣1﹣i D. 1﹣i
参考答案:
D
【考点】: 复数代数形式的乘除运算;复数的基本概念.
【专题】: 数系的扩充和复数.
【分析】: 利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出.
解:==i+1的共轭复数为1﹣i.
故选:D.
【点评】: 本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义,属于基础题.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知四棱锥的底面为矩形,平面 平面,于点,,,,,则三棱锥的外接球半径为__________.
参考答案:
2
12. 设、分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x<0时 且,则不等式的解集为
参考答案:
略
13. 已知,则
参考答案:
解:.对等式两边求导得
.继续对此等式两边求导,得
.令得
)
.
14. 已知长方形ABCD中,AB=4,BC=1,M为AB的中点,则在此长方形内随机取一点P,P与M的距离小于1的概率为 .
参考答案:
【考点】几何概型.
【专题】计算题;规律型;数形结合;转化法;概率与统计.
【分析】本题利用几何概型解决,这里的区域平面图形的面积.欲求取到的点P到M的距离大于1的概率,只须求出圆外的面积与矩形的面积之比即可.
【解答】解:根据几何概型得:
取到的点到M的距离小1的概率:
p==
==.
故答案为:.
【点评】本题主要考查几何概型.如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称为几何概型.
15. 已知是虚数单位,则=
参考答案:
16. 几何证明选做题)如图所示.A,B是两圆的交点。AC是小圆的直径D,E分别是CA,CB的延长线与大圆的交点,已知AC=4,BE=10,且BC=AD,则AB= .
参考答案:
17. 已知向量,,且,则实数x=_____
参考答案:
【分析】
可求出,根据即可得出,进行数量积的坐标运算即可求出.
【详解】解:因为,,
所以;
因为;
所以;
解得:.
故答案为.
【点睛】本题考查了向量坐标的减法和数量积的运算,解决本题的关键是要将向量垂直的条件进行代数转化.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PD⊥底面ABCD,E是AB上一点.已知,CD=4,。
(Ⅰ)若,求证:CE⊥平面PDE;
(Ⅱ)当点A到平面PDE的距离为时,求三棱锥A-PDE的侧面积.
参考答案:
考点:立体几何综合
试题解析:(Ⅰ)在Rt△DAE中,,,
∴
又AB=CD=4,∴BE=3.
在Rt△EBC中,,∴,∴.
又,∴,即CE⊥DE.
∵PD⊥底面ABCD,CE底面ABCD,
∴PD⊥CE.
∴CE⊥平面PDE.
(Ⅱ)∵PD⊥底面ABCD,PD平面PDE,
∴平面PDE⊥平面ABCD.
如图,过A作AF⊥DE于F,∴AF⊥平面PDE,
∴AF就是点A到平面PDE的距离,即.
在Rt△DAE中,由AD·AE=AF·DE,得
,解得AE=2.
∴,
,
∵BA⊥AD,BA⊥PD,∴BA⊥平面PAD,
∵PA平面PAD,∴BA⊥PA.
在Rt△PAE中,AE=2,,
∴.
∴三棱锥A-PDE的侧面积.
19. 已知向量=(,),=(cosx,-1)。
(1)当∥时,求2cos2x-sin2x的值;
(2)求f(x)=(+)·在[,0]上的值域。
参考答案:
(1)∵,∴cosx+sinx=0,∴tanx=-,
∴2cos2x-sin2x=。
(2)∵=,∴f(x)=(+)·=,
∵-≤x≤0,∴-≤≤,∴-1≤≤,
∴-≤f(x)≤, ∴函数f(x)的值域为。
20. 在中,的对边分别为且成等差数列.
(1)求B的值;
(2)求的范围.
参考答案:
解:(1)成等差数列,
.
由正弦定理得,
代入得,,
即:,
.
又在中,.
, .
(2),
.
,
.
的范围是
略
21. 设数列{an}的前n项和为.满足,且,设
(1)求数列{bn}的通项公式;
(2)证明:对一切正整数n,有.
参考答案:
(1);(2)详见解析.
【分析】
(1)由题可得:当时,有,结合已知方程作差,可得:,两边除以,再整理得:,可得,问题得解
(2)利用(1)可求得:,通过放缩可得:,由此可得:,结合等比数列求和公式即可证明原不等式成立。
【详解】(1)∵,
∴当时,有,
两式相减整理得,
则,
即,∴,
当时,,且,则,
∴,满足.
∴.
故数列是首项为3,公比为的等比数列,即.
(2)由(1)知,∴,
则,
当时,,即,
∴.
当时,,上式也成立.
综上可知,对一切正整数n,有.
【点睛】本题主要考查了赋值法及化简、整理能力,还考查了构造思想及等比数列的通项公式,考查了放缩法证明不等式,还考查了等比数列前项和公式,考查转化能力及计算能力,属于难题。
22. (本小题满分14分)在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,A为锐角,已知向量=(1,cos),=(2sin, 1-cos2A),且∥.
(1)若a2-c2=b2-mbc,求实数m的值;
(2)若a=,求△ABC面积的最大值,以及面积最大时边b,c的大小.
参考答案:
解:(Ⅰ)由得,所以……2分
又角为锐角, ……4分
而可变形为 ……5分
即 ……6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,又 ……7分
即 ……9分
故 ……11分
当且仅当时的面积有最大值 ……14分
略
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