四川省德阳市广汉三星中学高三数学理联考试题含解析

四川省德阳市广汉三星中学高三数学理联考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 若函数同时具有以下两个性质: ① 是偶函数; ②对任意实数x, 都有 。则的解析式可以是 （   ） A． =cos x B． = C． = D． =cos 6 x 参考答案： C【知识点】函数的奇偶性B4 由题意可得，函数f（x）是偶函数，且它的图象关于直线x=对称． ∵f（x）=cosx是偶函数，当x=时，函数f（x）=，不是最值，故不满足图象关于直线x= 对称，故排除A．∵函数f（x）=cos（2x+）=-sin2x，是奇函数，不满足条件，故排除B． ∵函数f（x）=sin（4x+）=cos4x是偶函数，当x=时，函数f（x）=-4，是最大值，故满足图象关于直线x=对称，故C满足条件．∵函数f（x）=cos6x是偶函数，当x=时，函数f（x）=0，不是最值，故不满足图象关于直线x=对称，故排除D， 【思路点拨】先判断三角函数的奇偶性，再考查三角函数的图象的对称性，从而得出结论． 2. 设集合M={y|y=1x—x|,x∈R}, ,i为虚数单位，x∈R},则M∩N为        A．（0,1）                    B．（0,1]                      C．[0,1）                    D．[0,1]   参考答案： C 本题考查了三角恒等变换、复数模的运算以及集合的运算问题，难度中等。  由，所以， 由，即，解得，因此交集为，故选C 3. 复数满足：，则 A．        B．     C．    D． 参考答案： D 略 4. 函数的图象大致是 参考答案： C 略 5. 将5本不同的书全发给4名同学，每名同学至少有一本书的概率是        A．       B．    C．    D． 参考答案： 6. 直线与曲线交于两点，且，则     A.         B.       C.    D. 参考答案： D 略 7. 已知圆交y轴正半轴于点A，在圆O内随机取一点B，则成立的概率为（      ） A．         B．       C.         D． 参考答案： A 8. 已知函数（，且）的图象恒过定点A，若点A在函数的图象上，其中，则的最小值为 A．1                B．4             C．             D．2 参考答案： B 略 9. 如果的展开式中含有非零常数项，则正整数的最小值为（　　） Ａ．10           Ｂ．6            Ｃ．5            Ｄ．3 参考答案： 答案：选C 解析：由展开式通项有       由题意得，故当时，正整数的最小值为5，故选C 点评：本题主要考察二项式定理的基本知识，以通项公式切入探索，由整数的运算性质易得所求。本题中“ 非零常数项”为干扰条件。 易错点：将通项公式中误记为，以及忽略为整数的条件。 10. 已知函数f（x）=e|lnx|﹣|x﹣|，则函数y=f（x）的大致图象为(     ) A． B． C． D． 参考答案： C 考点：函数的图象． 专题：函数的性质及应用． 分析：利用排除法，根据定义域排除A，B，根据f（1）=1排除D，问题得以解决 解答： 解：∵f（x）=e|lnx|﹣|x﹣|， ∴函数的定义域为（0，+∞），故排除A，B， 当x=1时，f（1）=1﹣0=1，故排除D 故选：C 点评：本题考查了函数图象的识别，排除法时做选择题的一种常用方法，属于基础题 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 为等比数列，若和是方程＋＋＝的两个根，则＝________。 参考答案： 略 12. 已知一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为　　． 参考答案： 4 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积． 【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，代入锥体体积公式，可得答案． 【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥， 底面面积S=×2×3=3， 高h=4， 故体积V==4； 故答案为：4 【点评】本题考查的知识点是棱柱的体积和表面积，棱锥的体积和表面积，简单几何体的三视图，难度中档． 13. 已知函数①f(x)＝x2；②f(x)＝ex；③f(x)＝ln x；④f(x)＝cos x．其中对于 f(x)定义域内的任意一个x1都存在唯一的x2，使f(x1)f(x2)＝1成立的函数是　　 参考答案： ② 14. 某小卖部为了了解热茶销售量y（杯）与气温x（℃）之间的关系，随机统计了某4天卖出的热茶的杯数与当天气温，并制作了对照表： 气温（℃） 18 13 10 ﹣1 杯  数 24 34 38 64 由表中数据算得线性回归方程中的b≈﹣2，预测当气温为﹣5℃时，热茶销售量为　 　杯． 参考答案： 70 【考点】回归分析的初步应用． 【分析】先计算样本中心点，再求出线性回归方程，进而利用方程进行预测． 【解答】解：由题意， ==10， ==40 将b≈﹣2及（10，40）代入线性回归方程，可得a=60 ∴x=﹣5时，y=﹣2×（﹣5）+60=70 故答案为：70 15. 一个直角三角形的三个顶点分别在底面棱长为2的正三棱柱的侧棱上，则该直角三角形斜边的最小值为          ． 参考答案： 如图，不妨设N在B处，， 则有 由 该直角三角形斜边 故答案为 . 16. 观察下列各式：=3125，=15625，=78125，…，则的末四位数字为          . 参考答案： 3125 17. 若函数,则满足的实数的值为　　　　　　． 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知函数. (1) 求的单调区间 (2)如果 存在，，使得，求满足上述条件的最大整数M； （3）若对任意,，都有成立，求实数的取值范围. 参考答案： (Ⅰ)递减区间 递增区间， (Ⅱ)             M=4 （Ⅲ）=1           任意,，都有成立等价于                                         当时当时        19. 已知函数为实常数。 (1)若，求证：函数在上是增函数； (2)求函数在上的最小值及相应的值； (3)若存在，使得成立，求实数a的取值范围。 参考答案： （1）当时，，当，， 故函数在上是增函数．………………………………………2分 （2），当， ①若，在上非负（仅当，x=1时，），故函数在上是增函数，此时．　……………………………………………4分 ②若，当时，；当时，，此时 是减函数； 当时，，此时是增函数．故 ．……………………………………………6分 ③若，在上非正（仅当，x=e时，），故函数在上是减函数，此时．…………………………………8分 综上可知，当时，的最小值为1，相应的值为1；当时， 的最小值为，相应的值为；当时，的最小值为， 相应的值为……………………………………………………………10分 （3）不等式， 可化为． ∵, ∴且等号不能同时取，所以，即， 因而（）……………………………………………………………12分 令（），又，………………………14分 当时，，， 从而（仅当x=1时取等号），所以在上为增函数， 故的最小值为，所以a的取值范围是． ………………………16分 20. （14分）已知函数f（x）=Asin（wx+φ）（A＞0，w＞0，|φ|＜）的图象在y轴上的截距为，它在y轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为（x0，2）和（x0+π，﹣2）． （1）求函数f（x）的解析式； （2）若△ABC中的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且锐角A满足，又已知a=7，sinB+sinC=，求△ABC的面积． 参考答案： 考点： 由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式． 专题： 三角函数的图像与性质． 分析： （1）由题意易得A=2，由T=π，可得ω=1，再由截距为可得2sinφ=，结合角的范围可得φ=，可得解析式； （2）结合（1）易得A=由正弦定理可得sinB=，sinC=，代入已知可得b+c=13，在结合余弦定理可得bc的值，由三角形的面积公式可得． 解答： 解：（1）由最值点可得A=2，设函数的周期为T， 由三角函数的图象特点可得T==π，解得ω=1， 又图象在y轴上的截距为，∴2sinφ=， ∴sinφ=，又|φ|＜，∴φ=， ∴f（x）=2sin（x+）； （2）∵锐角A满足， ∴2sin（A+﹣）=， 解得sinA=，∴A=； 由正弦定理可得==， 变形可得sinB=，sinC=， ∴sinB+sinC=（b+c）=，∴b+c=13， 再由余弦定理可得72=b2+c2﹣2bc×， =b2+c2﹣bc=（b+c）2﹣3bc=169﹣3bc，∴bc=40， ∴△ABC的面积S=bcsinA=×40×=10． 点评： 本题考查三角函数解析式的求解，涉及正余弦定理和三角形的面积公式，属中档题． 21. 已知函数f（x）=2x的反函数为f﹣1（x） （1）若f﹣1（x）﹣f﹣1（1﹣x）=1，求实数x的值； （2）若关于x的方程f（x）+f（1﹣x）﹣m=0在区间[0，2]内有解，求实数m的取值范围． 参考答案： 【考点】反函数；根的存在性及根的个数判断． 【专题】函数的性质及应用． 【分析】（1）易得f﹣1（x）=log2x，解关于x的对数方程可得； （2）易得m的范围即为函数y=2x+21﹣x在[0，2]的值域，由“对勾函数”的单调性可得． 【解答】解：（1）f（x）=2x的反函数为f﹣1（x）=log2x， 由若f﹣1（x）﹣f﹣1（1﹣x）=1可得log2x﹣log2（1﹣x）=1， ∴log2=1，∴ =2，解得x=； （2）∵关于x的方程f（x）+f（1﹣x）﹣m=0在区间[0，2]内有解， ∴2x+21﹣x=m在区间[0，2]内有解， ∴m的范围即为函数y=2x+21﹣x在[0，2]的值域， 函数y=2x+21﹣x=2x+在（0，）单调递减，在（，2）单调递增， ∴当x=时，函数取最小值2， 当x=2时，函数取最大值， ∴实数m的取值范围为． 【点评】本题考查反函数，涉及函数的值域和对数函数的性质，属基础题． 22. 已知，，分别为三个内角，，的对边，. （1）求； （2）若，是边上一点，且的面积为，求. 参考答案： 解法一：（1）根据正弦定理， 等价于． 又因为在中， ． 故， 从而， 因为，所以，得， 因为，所以． （2）由，可得， 因为，所以． 根据余弦定理，得，即． 在中，根据正弦定理有， 得． 因为， 故． 解法二：（1）同解法一． （2）由，可得， 根据正弦定理， 可得． 取的中点，连接， 为边上的高，且， 由，得． 又在直角三角形中，， ，得． 所以．